苏科版九年级下册第7章 锐角函数7.2 正弦、余弦课时训练

7.2正弦.余弦苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，由边长为的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，，是反比例函数图象上的两点，过点，分别作轴的平行线交轴于点，，直线交轴正半轴于点若点的横坐标为，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，：：，连接，过点作交的延长线于若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，线段经过的圆心，，分别与相切于点，若，，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，关于与的同一种三角函数值，有三个结论：，，正确的结论为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在四边形中，，，，平分，若，分别是，上的动点，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，与地面的夹角为，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为直径的圆与轴相切，与轴交于，两点，则的值是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，是的直径，弦于点，连结，若的半径为，，则下列结论一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图：正方形的边长为，点，分别为，边的中点，连接，交于点，连接，则______．

14. 如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点若，则的值为________．

15. 如图，在边长为的正方形网格中，点，，在格点上，以为直径的圆过，两点，则的值为          ．

16. 如图，在矩形中，是边上一点，，，是边的中点，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于．
    求的值；
    将点绕原点逆时针方向旋转后记作点，求点的坐标；
    将平移得到，点的对应点是，点的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点、的坐标．

18. 如图，在平行四边形中，，，点为的中点，交的延长线于点，连接过点作的垂线交于点若动点从点沿以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点到达点时，停止运动．设运动时间为．
    求证：≌；
    若．
    当时，求点到的距离；
    若以为边向上作正方形，当正方形的顶点落在的边上时，求的值．

19. 如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．
    试判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求的长．

20. 小丽和小明想测量河对岸一建筑物的高度如图，他们先在地面上放一面平面镜，小丽在射线上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到建筑物的顶端，此时她与镜子的距离米，然后小明在距离建筑物米处安装了一个测倾器，测得，若小丽的眼睛距离地面高度米，米，，，，点，，，在同一条直线上请你利用这些数据，求建筑物的高度结果精确到米，参考数据，

21. 如图，的半径，于点，．
    求弦的长．
    求的长．

22. 如图，中，为直角，是边上的中线，过点作，过点作，与、分别交于点、点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
首先根据圆周角定理可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正弦值．
本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的定义，勾股定理，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求的正弦值．
【解答】
解：如图，

和所对的弧长都是，
根据圆周角定理知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，表示出、的坐标是解题的关键．
由，设，，根据勾股定理求得，即可求得，得出，设，则，根据题意得出，，从而求得，则，，设点的纵坐标为，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得．
【解答】
解：轴，
，
，
设，，，
，
点的横坐标为，
，则，
，
设，则，其中，
，
，
，
，
，
，则，
，，
设点的纵坐标为，
，则，其中，
，，
，是反比例函数图象上的两点，
，
解得，．  

3.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，
，
，，
∽，
：：：，
，
，
：：：，
，
，
，
．
故选：．
根据，证明出∽，得到：：：，过点作轴于点，根据，得到，根据平行线分线段成比例定理得到：：：，根据，得到，得到，根据正切的定义即可得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到：：：是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接．

是斜边上的中线，，
是的垂直平分线．
，，
，A.
，
．
在中，．
是的斜边上的中线，
．
．
又，
，A.
．
．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是切线的性质、弧长的计算、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，连接、，根据切线的性质得到，，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据正切的定义求出，根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】
解：连接、，

，分别是的切线，
，，
，
，
在和中，

≌，
，
，
，
在中，，
的长，
故选B．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理．
根据网格，设出小正方形的边长为，表示出，进而得出是等腰直角三角形，，再证明，得出，进而在中，由正切的意义求值即可．
【解答】
解：设小正方形的边长为，
由图形可知，，，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：根据图形得：，
，，．
正确．
故选A．
首先根据图形可得：，然后根据各锐角函数的增减性，即可求得答案．
此题考查了锐角函数的增减性与三角形外角的性质．注意当角度在间变化时，
正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小；
余弦值随着角度的增大或减小而减小或增大；
正切值随着角度的增大或减小而增大或减小．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是菱形的性质，坐标与图形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理有关知识，先利用锐角三角函数的定义得出，然后再利用勾股定理得出，最后计算周长即可
【解答】
解：点，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长为．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，锐角三角函数的定义，易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把进行转化，转化后把两个线段的和的最小值转化为，垂线段最短对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．
延长至，使，作，分别交、于点、，连接易得≌，则，则时最小，进一步由锐角三角函数的定义求得即可得到答案．
【解答】
解：如图，延长至，使．

作，分别交、于点、，连接．
平分，
，
在和中，

≌，
，则时最小，
，
，
即的最小值为，
故选B．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并据此设出各边的长首先根据在中，，设，，则，，然后根据题意和勾股定理列出关于的方程并求解，计算出、、的长，最后根据勾股定理求出长梯的长度，即可通过求出的值．
【解答】
解：如图，

在中，，
设，，则，，
，
解得，，
，，，
，
．
故选A．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了切线的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，锐角三角函数的概念，解答本题的关键是掌握求锐角三角函数的思路与方法；设以为圆心，为直径的圆与轴相切于点，连接，过点作于，根据，于，，得出，，，在中，，，，利用勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的概念进行解答，即可求解．
【解答】
解：设以为圆心，为直径的圆与轴相切于点，连接，过点作于，如图：

则，，
，于，，
，，
，
在中，，，，
，
，即．
故选C．  

12.【答案】 

【解析】解：是的直径，，
，
的半径为，，
，
，
故选：．
根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．
本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是掌握垂径定理，锐角三角函数的定义等知识．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
，分别是正方形边，的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
故答案为：．
首先证明≌，再利用角的关系求得，证明、、、四点共圆，得，可得结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．连接，设，，利用勾股定理求出，则，再根据可得结论．
【解答】
解：连接．

由作图可知，垂直平分线段，
，
：：，
可以假设，，
，
，
，
，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：连接、，
为圆的直径，
，
，
，
由圆周角定理得：，
，
故答案为：．
连接、，根据圆周角定理得到，，根据勾股定理求出，
根据正弦的定义解答即可．
本题考查的是锐角三角函数、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是边的中点，，
，
，
，
又四边形是矩形，
，，
，
在中，
，
故答案为：．
先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出长，进而求出，再根据矩形的性质得出，，然后解直角三角形即可．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线以及锐角三角函数定义，关键是利用直角三角形斜边上的中线求出的长．
 

17.【答案】解：点，轴于，
，，
                             分

如图，由旋转可知：，，
点的坐标是                             分

如图所示，，分 

【解析】直接利用三角函数求解即可；
根据旋转的性质求出旋转后对应点的坐标；
根据平移的规律求出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可．
本题考查的是平移变换与旋转变换作图．
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．
作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是先确定图形的关键点；利用旋转性质作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．
 

18.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，
由点为中点，
，
，
≌；
解：如图，过点作于点，

由可得：
≌；
四边形为平行四边形，，
，
，
，
，
，
，动点从点沿以每秒个单位长度的速度匀速运动，
，
，
，
，
如图，当点在上时，

，，
，
由知：
，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
解得：，
如图，当点在上时，

四边形为正方形，
，
，
，，
，
解得：，
综上，的值为或． 

【解析】由平行四边形的性质可得，从而可得，由点为中点可得，即可证明；
过点作于点，由可得，从而可得，可得，由可得，从而可得，由即可求解；
分为点在上和点在上两种情况，当点在上时，，则，由知，由勾股定理即可求得，从而可得，当点在上时，，则，由即可求解．
本题考查锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是分情况讨论，正确作出辅助线．
 

19.【答案】解：直线与相切，
理由：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
直线与相切；
在中，，
，
设，则，
，
，
解得：或不符合题意，舍去，
，
，
，
，，
，
解得：，
的长为． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，，结合对顶角的性质得出，由垂直的性质得出，进而得出，即可得出直线与相切；
由，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出的值，进而得出，再利用勾股定理得出，即可求出的长．
本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：由题意得，米，米，米，，
米
，，，
∽．
，即，
米．
答：建筑物的高度约是米． 

【解析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
首先根据已知条件求得米，再进一步证得∽，得出对应边成比例，即可求出．
 

21.【答案】解：的半径，于点，，
，
；
，，
，
，
的长是：． 

【解析】本题考查弧长的计算以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据锐角三角函数的定义，可以求得的长，然后即可得到的长；
根据，可以得到的度数，然后根据弧长公式计算即可．
 

22.【答案】解：证明：，，
四边形是平行四边形，
且，
又是边上的中线，
，
四边形是平行四边形
，
又，是斜边上的中线，

又四边形是平行四边形
四边形是菱形；

四边形是菱形，
，
又，
是的中位线，则，
，
，
在中，． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证四边形是平行四边形，即得；再由，上斜边上的中线，即得，证得四边形是平行四边形，即证；
利用的结论和三角形中位线的性质即可求出的值．
本题考查了平行四边形和菱形的判定和性质以及直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．即直角三角形的外心位于斜边的中点和正切定义的考查，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作即．