2021-2022学年山东省济南市天桥区八年级（下）期末数学试卷-（含解析）

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2021-2022学年山东省济南市天桥区八年级（下）期末数学试卷 题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共12小题，共48分）下列图案中，是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 下列式子中，从左边到右边的变形是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 如图，在平行四边形中，，延长到点，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 下列各式是最简分式的是(    )A.  B.  C.  D. 在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到的点的坐标是(    )A.   B.  C.  D. 平行四边形的对角线一定具有的性质是(    )A. 相等 B. 互相平分 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分不等式在数轴上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是(    )A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 如图，中，，现在将绕点逆时针旋转，得到，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 如图，菱形中，，，，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 关于的一元二次方程的解是，，那么方程的解是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ， 二、填空题（本大题共6小题，共24分）分解因式：______．如图，一块等边三角形的空地中，，分别是边，的中点，量得米，他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是______米．
 某市客流量已连续两周下降，由每周万次下降至每周万次，设平均下降率为，则根据题意列方程是______．已知关于的方程有增根，则的值为______．如图，平行四边形中，，分别平分，交于点，点，已知，，则的长为______．如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接，把沿对折得到，延长与交于点，则的长为______．
   三、解答题（本大题共9小题，共78分）解不等式组．先化简，再求值：，其中．如图，在平行四边形中，于点，于点求证：．
因式分解：；
解方程．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

将向右平移个单位长度得到，请画出；
画出关于点的中心对称图形；
若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．某商店购进甲，乙两种玩具，甲玩具比乙玩具每件进件低元，用元购进甲种玩具和用元购进的乙种玩具数量相等．
购进的甲，乙两种玩具的进价各多少元？
计划购进两种玩具共件，且总价不超过元，问至少购进多少件甲种玩具．把代数式通过配方等方法，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方，配方法在代数式求值．
例：用配方法因式分解：
原式
例：若，利用配方求的最小值．


当时，的最小值是．
在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式，______．
用配方法因式分解．
若，则的最小值是______．
已知，则的值为______．如图，在平面直角坐标系中，，是的中点，，点坐标是，所在的直线的函数关系式为，点是上的一个动点．
点的坐标是______，点的坐标是______．
当点在边上运动过程中，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的长；
在的条件下，请你判断以点，，，为顶点的四边形构成菱形，并说明理由．
已知四边形和四边形均为正方形，连接，，直线与交于点．

如图，当点在上时，线段和的数量关系是______，的度数为______．
如图，将正方形绕点旋转任意角度．
请你判断中的结论是否仍然成立，并说明理由．
当点在直线左侧时，连接，则存在实数，满足等式，猜想，的值，并予以证明；
若，，则正方形绕点旋转过程中，点，是否重合？若能，请直接写出此时线段的长，若不能，说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 2.【答案】 【解析】解：原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
B.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 3.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质求出，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等这一性质是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：．，此选项不符合题意；
B.，此选项不符合题意；
C.是最简分式，符合题意；
D.，此选项不符合题意；
故选：．
根据最简分式的概念逐一判断即可．
本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 5.【答案】 【解析】解：将点向右平移个单位长度后得到的点的坐标为，即，
故选：．
根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得．
此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：．
根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质．
 7.【答案】 【解析】解：移项得，，
在数轴上表示为：

故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式的解集，解答此类题目的关键是熟知实心圆点与空心圆点的区别．
 8.【答案】 【解析】解：解法一：设所求正多边形边数为，
则，
解得，这个正多边形是正六边形．
解法二：正多边形的每个内角都等于，
正多边形的每个外角都等于，
又多边形的外角和为，
这个正多边形边数．
故选：．
边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形内角和定理：且为整数．
 9.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有实数解，
，
解得：，
故选B．
根据方程解的情况和根的判别式得到，求出即可．
本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用根的判别式进行计算是解此题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：如图，对角线、交于点，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
菱形的面积，
即，
，
故选：．
由菱形的性质和勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：方程可变形为，
关于的一元二次方程的解是，，
方程的解为，，即，．
故选：．
将方程变形为，由关于的一元二次方程的解是，，可得方程的解为，，依此即可求解．
本题考查了一元二次方程的解，关键是将方程变形为．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 14.【答案】 【解析】解：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
米，
米，
为等边三角形，
米，
米，米，
需要篱笆的长为：米，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，根据等边三角形的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：第一周客流量下降后为：，
第二周客流量下降后为：，
．
故答案为：．
先表示出第二周客流量下降后的人数，根据两周下降后下降至每周万次列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据两周下降后下降至每周万次列出方程是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
，
方程有增根，
，
，
故答案为：．
先解分式方程可得，再由题意可知，即可求的值．
本题考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的含义是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
则，
，
同理可证：，
．
故答案为：．
先证，则，同理可证，进而得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：根据折叠的性质可知：，，，
点是边的中点，
，
点，点在以为圆心，长为半径的圆上，
，，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
．
故答案为：．
根据矩形的性质，结合翻折变换的规律特点解答即可．
本题主要考查了翻折变换，作出辅助圆得到是解答本题的关键．
 19.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为． 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 20.【答案】解：原式

，
当时，原式． 【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中第二项变形后利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
 21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，，
，
在和中
，
≌，
． 【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 22.【答案】解：原式
；

，
，
则，即，
，
，． 【解析】先提取公因式，再利用公式法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 23.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
根据图形可知：
旋转中心的坐标为：． 【解析】本题考查了平移、中心对称、旋转作图，掌握相关的点的变换是解题关键．
根据平移的性质即可将向右平移个单位长度得到；
根据中心对称的定义即可画出关于点的中心对称图形；
根据旋转的性质即可将绕某一点旋转可得到，进而写出旋转中心的坐标．
 24.【答案】解：设甲种玩具的进价为元，则乙种玩具的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种玩具的进价为元，乙种玩具的进价为元．
设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，
依题意得：，
解得：．
答：至少购进件甲种玩具． 【解析】设甲种玩具的进价为元，则乙种玩具的进价为元，利用数量总价单价，结合用元购进甲种玩具和用元购进的乙种玩具数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出甲种玩具的进价，再将其代入中即可求出乙种玩具的进价；
设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 25.【答案】     【解析】解：；
故答案为：；




；

，
当，即时，取最小值，最小值为；
故答案为：；
，
，
即，
，，，
，，，
解得：，，
则．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出所求；
原式常数项分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分解即可；
配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；
已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，熟练掌握各自的运算法则及公式是解本题的关键．
 26.【答案】   【解析】解：，点坐标是，
点的纵坐标是，
直线的函数关系式为，
点的横坐标为，
，
，是的中点，
，
，
，
，
故答案为：，；
作于点，则四边形为矩形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
当点在的左边，，
当点在的右边，，
综上所述：的长为或；
点，，，为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：
当点在的左边，，
，
，
，
，
此时平行四边形不能构成菱形；
当点在的右边，，
，
由知，，
，
，
，
平行四边形是菱形；
综上所述：点，，，为顶点的四边形能构成菱形．
先确定点的纵坐标是，再由直线的函数关系式为，可求点坐标；求出，由即可求点坐标；
作于点，则四边形为矩形，先判断为等腰直角三角形，分两种情况讨论：当点在的左边，，当点在的右边，；
当点在的左边，，，此时平行四边形不能构成菱形；当点在的右边，，，平行四边形是菱形．
本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键．
 27.【答案】   【解析】解：四边形和四边形是正方形，
，，，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：，；

的结论仍然成立，理由如下：
设交于，

四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
，．
证明：在上取，使得，连接，，

，，
≌，
，，
，
，
即，
为等腰直角三角形，
，
，
存在实数，满足等式，
，；
如图：

，，四边形和四边形均为正方形，
，，
直线与交于点点，重合，
点、、在同一直线上，
，
，
，
；
如图：

，，四边形和四边形均为正方形，
，，
直线与交于点点，重合，
点、、在同一直线上，
，
，
，
；
综上，正方形绕点旋转过程中，点，能重合，此时线段的长为或．
由“”可证≌，可得，，由余角的性质即可得的度数；
由“”可证≌，可得，，由余角的性质即可得的度数；
在上取，使得，连接，，证明≌，可得，，求出，则为等腰直角三角形，，则，根据存在实数，满足等式，即可得，；
分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．