人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元测试卷

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 如果关于的不等式的解集是，那么等于．(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子的互化正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知三个函数，，，则(    )

A. 对任意的，三个函数定义域都为
B. 存在，三个函数值域都为
C. 对任意的，三个函数都是奇函数
D. 存在，三个函数在其定义域上都是增函数

7. 设，则函数的零点所在的区间为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知函数则函数的零点是．(    )

A.  B.  C.  D.

10. 下列计算正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 已知，则

11. 下列说法正确是(    )

A. 命题“，”的否定形式是“，”
B. 若函数的定义域是，则函数的定义域为
C. 若，则函数的最小值为
D. 若，则

12. 已知函数，则(    )

A. 函数的定义域为
B. 函数的图象关于轴对称
C. 函数在定义域上有最小值
D. 函数在区间上是减函数

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，则          ．
14. 已知函数，，则其值域为          ．
15. 计算的结果是          ．
16. 用二分法计算的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：

那么方程的一个近似根精确到为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知，

求；

探求的值；

利用的结论求的值．

18. 已知指数函数经过点．

Ⅰ求的解析式及的值；

Ⅱ若，求的取值范围．

19. 已知函数是指数函数，
    求的表达式；
    解不等式：．
20. 计算：
    
    ．
21. 对数函数的图象过，
    求的解析式；
    解关于不等式：．
22. 已知二次函数对，，且不等式的解集为．
    求的解析式；
    设，且关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次不等式的解集的计算以及指数的计算问题，属于基础题．
根据一元二次不等式与相应方程的关系，由根与系数的关系可以得到，的值．

【解答】

解：不等式可化为，其解集是，
那么的两个根为，，
由根与系数的关系得，解得；
所以．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
利用有理数指数幂的运算性质求解．

【解答】

解：对于选项A：当时，，所以选项A错误；
对于选项B：当时，，所以选项B错误；
对于选项C：当时，，所以选项C正确；
对于选项D：当时，无意义，所以选项D错误．
故答案选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于基础题．
根据所给材料的公式列出方程，即可得解．

【解答】

解：由已知，，当时，标志着已初步遏制疫情，
可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查对数式的运算与化简，是基础题

【解答】

解：由，得，所以．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数不等式的解法，对数函数的单调性，属于基础题．
由题意利用对数函数的单调性，求得的范围．

【解答】

解：不等式，即，
因为在上为增函数，
，
求得，或，
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

由指数函数、对数函数、幂函数的性质逐一判断即可．
本题主要考查基本初等函数的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题．

【解答】

解：若且时，的定义域为，故A错误；
对任意的，函数，值域不是，故B错误；
对任意的，且时，，都是非奇非偶函数，故C错误；
当时，函数，，在其定义域上都是增函数，故D正确．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点，已知函数，代入，，再根据函数的零点的判定定理即可得到结果．

【解答】

解：根据题意可得，

，
又因为在定义域内为增函数，
因此函数的零点所在的区间为．

故选 B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题．
令，然后结合选项检验区间端点函数值的正负，利用函数的零点判定定理可求．

【解答】

解：令，
则，，
由题意得连续，根据函数的零点判定定理可知，在上有零点，
所以在上有解．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点，涉及分段函数的性质，属于基础题．
根据题意，求出的解析式，由此结合零点的定义计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数．
当时，即，解可得当时，即，解可得当时，即，解可得故函数的零点为，和．
故本题选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查指数幂运算，属于较易题．
根据指数幂的运算规则，根式和指数间的转化关系，逐一分析各选项即可．

【解答】

解：对于选项，，故A错误；
对于选项，
，故B正确；
对于选项，，故C正确；
对于选项，因为，所以，
所以，故D错误．
故选BC．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查命题的否定，函数的定义域和最小值，以及不等式性质，属于基础题．
由题意利用命题的否定，函数的定义域和值域，函数的最值及不等式的性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】

解：由于命题“，”的否定形式是“，”，故A正确；
若函数的定义域是，则对于函数，有，求得，故函数的定义域为，故B正确；
，则令，则函数 在上是单调递增函数，故当时，函数取得最小值为，故C错误；
若，则且，故有，故D正确，
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数函数的性质，函数的定义域，单调性、奇偶性以及最值，属于基础题．
先求出相应的函数，然后根据函数的性质进行判断即可．

【解答】

解：由已知，，
且，，
函数的定义域为，所以A正确
，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，所以B正确；
，，
则，
因为的取值范围不确定，
所以在区间上的单调性不确定，则最值更不确定，所以CD错误．
故选AB．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查有理数指数幂的计算，熟练掌握完全平方公式是解答此类问题的关键，属于基础题．
将两边平方求解即可．

【解答】

解：， 
， 
．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了利用换元的方法将问题转化为二次函数闭区间上的最值的求法；注意换元后新元的范围，即这里的范围．将解析式变形，设，则，解析式为，求二次函数闭区间的最值．

【解答】

解：设，则，解析式为，
函数在单调递减，在单调递增，
所以函数的最小值为，最大值为；
所以函数的值域是；
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了指数与指数幂的运算，对数与对数运算的应用，属于基础题．
利用指数运算与对数运算求解．

【解答】

解：．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查用二分法求近似根的问题，属于中档题．
先由题中参考数据可得根在区间内，再利用和精确到小数点后面一位都是符合要求，可得答案．

【解答】

解：由题中参考数据可得根在区间内，
又因为和精确到小数点后面一位都是，符合要求．
故答案为：．

17.【答案】解：

故有

【解析】本题考查了函数的性质，考查求和方法，属于容易题．
根据函数解析式求；
计算的值即可；
运用计算即可．
 

18.【答案】解：Ⅰ因为经过点，
所以，所以，
所以 ，
所以；
Ⅱ因为，即，
又 在上为增函数，
所以，
的取值范围为：． 

【解析】本题考查了指数函数的定义、指数函数的单调性以及不等式的解法，属于基础题
Ⅰ将点代入到，解得的值，即可求出解析式，由此可求出的值；
Ⅱ根据指数函数为增函数，转化不等式，解之即可．
 

19.【答案】解：函数是指数函数，
，解得，
，
 ，
．
即不等式的解集为． 

【解析】本题主要考查指数函数的性质以及指数不等式的解法．
根据题中所给条件，结合指数函数的定义，即可得出结果；
利用指数函数单调性求解即可．
 

20.【答案】解：原式．
原式． 

【解析】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用指数的运算法则即可得出．
利用指数和对数的运算法则即可得出．
 

21.【答案】解：设，
将代入上式，得，
；
由，
得解得，
不等式的解集为． 

【解析】本题考查了对数函数及其性质，是基础题．
由题意，设，代点得出的值，即可得出的解析式；
由，得，解出即可．
 

22.【答案】解：设，
对，，
，
所以，解得，
，
又不等式的解集为，即的解集为，
所以，得，
所以；
因为，所以，
令，且，
由，得，
所以，即，
因为关于的方程有三个不同的实数解，
画出函数的图象，如图所示，

由的图象可知，问题等价于方程有两个不同的实根，，
且，，
令，则或，
即或，
解得或，
所以实数的取值范围为 

【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，是中档题．
设，利用待定系数法可求出，的值，再结合不等式的解集为，可求出的值，从而得到函数的解析式．
由的解析式得到的解析式，令，则，即，画出函数的图象，由的图象可知，问题等价于方程有两个不同的实根，，再结合一元二次方程根的分别列出关于的不等式组，即可求出的取值范围．