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人教B版 (2019)2.2.4 均值不等式及其应用教学课件ppt
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这是一份人教B版 (2019)2.2.4 均值不等式及其应用教学课件ppt,共27页。PPT课件主要包含了新知探究,2均值不等式,a=b,几个重要不等式,拓展深化微判断,微训练,答案③,微思考,答案≥,答案B等内容,欢迎下载使用。
如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计,颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标,你能找到一些相等或不等关系吗?提示 由图可知①a2+b2=(a-b)2+2ab;②a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,取“=”.
1.算术平均值与几何平均值
(1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义给定两个正数a,b,数_______称为a,b的算术平均值;数_______称为a,b的几何平均值.
如果条件改为a≥0,b≥0,均值不等式仍成立
已知a,b∈R,则有(1)a2+b2≥2ab;(2)(a+b)2≥4ab;(3)2(a2+b2)≥(a+b)2;当且仅当a=b时,等号成立.
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.
解析 当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.答案 a=1
2.当a,b∈R时,下列不等关系成立的是________(填序号).
题型一 利用均值不等式比较大小【例1】 设0规律方法 利用均值不等式比较实数大小的注意事项(1)利用均值不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用均值不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
规律方法 在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件是否具备.
【训练2】 已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)·(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
角度2 有附加条件的不等式证明【例3-2】 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(2)法一 ∵a>0,b>0,a+b=1,
规律方法 利用均值不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用均值不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之满足能使用均值不等式的条件;若题目中还有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中隐含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到.
证明 ∵a,b,c都是正数,
3.在利用均值不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用均值不等式.
1.下列不等式成立的是( )
2.若04.已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
证明 ∵a+b+c=1,
如图,是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计,颜色的明暗使其看起来像一个风车.
问题 依据会标,你能找到一些相等或不等关系吗?提示 由图可知①a2+b2=(a-b)2+2ab;②a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,取“=”.
1.算术平均值与几何平均值
(1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义给定两个正数a,b,数_______称为a,b的算术平均值;数_______称为a,b的几何平均值.
如果条件改为a≥0,b≥0,均值不等式仍成立
已知a,b∈R,则有(1)a2+b2≥2ab;(2)(a+b)2≥4ab;(3)2(a2+b2)≥(a+b)2;当且仅当a=b时,等号成立.
1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是________.
解析 当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.答案 a=1
2.当a,b∈R时,下列不等关系成立的是________(填序号).
题型一 利用均值不等式比较大小【例1】 设0规律方法 利用均值不等式比较实数大小的注意事项(1)利用均值不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用均值不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
规律方法 在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件是否具备.
【训练2】 已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)·(1+y)的最大值为( )
A.16 B.25 C.9 D.36
角度2 有附加条件的不等式证明【例3-2】 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(2)法一 ∵a>0,b>0,a+b=1,
规律方法 利用均值不等式证明不等式时,要先观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用均值不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之满足能使用均值不等式的条件;若题目中还有已知条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中隐含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到.
证明 ∵a,b,c都是正数,
3.在利用均值不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用均值不等式.
1.下列不等式成立的是( )
2.若04.已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.
证明 ∵a+b+c=1,