2022年广西壮族自治区南宁市第三十七中学中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列运算正确的是（　　）

A． B．

C．a2•a3=a5 D．（2a）3=2a3

2．函数y=的自变量x的取值范围是（    ）

A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2

3．若a与5互为倒数，则a=（    ）

A． B．5 C．-5 D．

4．如图，一张半径为的圆形纸片在边长为的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（ ）

A． B． C． D．

5．计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（　　）

A．﹣8    B．8    C．﹣2    D．2

6．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是

A．–999×（52+49）=–999×101=–100899

B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900

C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898

D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998

7．如图，AB∥CD，FH平分∠BFG，∠EFB＝58°，则下列说法错误的是（　　）

A．∠EGD＝58° B．GF＝GH C．∠FHG＝61° D．FG＝FH

8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）

A． B．8 C． D．

9．某春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

这些运动员跳高成绩的中位数是（　　）

A． B． C． D．

10．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（　　）

A．棱柱    B．正方形    C．圆柱    D．圆锥

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．甲、乙两个搬运工搬运某种货物．已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为_____．

12．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为__________．

13．计算：＝________．

14．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度．

15．数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于________．

16．分解因式： ____________．

17．已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE=AF；

（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的长．

19．（5分）计算：．先化简，再求值：，其中．

20．（8分）（1）解不等式组：；

（2）解方程：.

21．（10分）化简，再求值：

22．（10分）如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣1．求一次函数的解析式；求△AOB的面积；观察图象，直接写出y1＞y1时x的取值范围．

23．（12分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．求小明选择去白鹿原游玩的概率；用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．

24．（14分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

求反比例函数和一次函数的解析式；直接写出当x＞0时，的解集．点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
根据算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及积的乘方的运算法则逐一计算即可判断．

【详解】

解：A、=2，此选项错误；

B、不能进一步计算，此选项错误；

C、a2•a3=a5，此选项正确；

D、（2a）3=8a3，此选项计算错误；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次根式的加减和幂的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法及积的乘方的运算法则．

2、D

【解析】
根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.

【详解】

解：∵函数y=有意义,

∴x-20,

即x＞2

故选D

【点睛】

本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,注意分母也不能等于零是解题关键.

3、A

【解析】

分析：当两数的积为1时，则这两个数互为倒数，根据定义即可得出答案．

详解：根据题意可得：5a=1，解得：a=， 故选A．

点睛：本题主要考查的是倒数的定义，属于基础题型．理解倒数的定义是解题的关键．

4、C

【解析】
这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积．

【详解】

解：如图：

∵正方形的面积是：4×4=16；

扇形BAO的面积是：，

∴则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1-4×=4-π，

∴这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16-（4-π）=12+π，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式，正确记忆公式是解题的关键．

5、C

【解析】分析：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 依此计算即可求解．

详解：（-5）-（-3）=-1．

故选：C．

点睛：考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）．

6、B

【解析】
根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题．

【详解】

原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－1．

故选B．

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．

7、D

【解析】
根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到正确的结论．

【详解】

解：

，故A选项正确；

又

故B选项正确；

平分

，

，故C选项正确；

，故选项错误；

故选．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．

8、D

【解析】

∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=1．

设⊙O的半径为r，则OC=r－2，

在Rt△AOC中，∵AC=1，OC=r－2，

∴OA2=AC2+OC2，即r2=12+（r﹣2）2，解得r=2．

∴AE=2r=3．

连接BE，

∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．

在Rt△ABE中，∵AE=3，AB=8，∴．

在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=1，∴．故选D．

9、C

【解析】
根据中位数的定义解答即可．

【详解】

解：在这15个数中，处于中间位置的第8个数是1.1，所以中位数是1.1．
所以这些运动员跳高成绩的中位数是1.1．
故选：C．

【点睛】

本题考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．

10、C

【解析】试题解析：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，

根据俯视图是圆可判断出该几何体为圆柱.

故选C.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、＝

【解析】
设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．

【详解】

解：设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，

由题意得：＝．

故答案是：＝．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找到等量关系是关键．

12、6

【解析】
利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．

【详解】

解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，

∴AC=3，

∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE，

∵AD∥CE， ∴∠DAE=∠E， ∴∠CAE=∠E， ∴CE=CA=3，

 ∵FA⊥AE，

∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，

∴∠FAC=∠F， ∴CF=AC=3，

∴EF=CF+CE=3+3=6

13、．

【解析】
根据异分母分式加减法法则计算即可．

【详解】

原式．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则．

14、22.5

【解析】

∵ABCD是正方形，

∴∠DBC=∠BCA=45°，

∵BP=BC，

∴∠BCP=∠BPC=（180°-45°）=67.5°，

∴∠ACP度数是67.5°-45°=22.5°

15、

【解析】
根据题意作图，可得AB=6cm，设正方体的棱长为xcm，则AC=x，BC=3x，根据勾股定理对称62=x2+（3x）2，解方程即可求得．

【详解】

解：如图示，

根据题意可得AB=6cm，
设正方体的棱长为xcm，则AC=x，BC=3x，
根据勾股定理，AB2=AC2+BC2，即，
解得

故答案为：．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．

16、

【解析】

试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据平方差公式分解：.

考点：因式分解

17、

【解析】
坡度=坡角的正切值，据此直接解答．

【详解】

解：∵，

∴坡角=30°．

【点睛】

此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（1）证明见解析；（3）1.

【解析】
（1）连接OB、OC、OD，根据圆心角与圆周角的性质得∠BOD=1∠BAD，∠COD=1∠CAD，又AD平分∠BAC，得∠BOD=∠COD，再根据圆周角相等所对的弧相等得出结论.

（1）过点O作OM⊥AD于点M，又一组角相等，再根据平行线的性质得出对应边成比例，进而得出结论；

（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA，BC为⊙O直径，则∠G=∠CFE=∠FEG=90°，四边形CFEG是矩形，得EG=CF，又AD平分∠BAC，再根据邻补角与余角的性质可得∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，AE=BE，AF=CF，再根据直角三角形的三角函数计算出边的长，根据“角角边”证明出△HBO∽△ABC，根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而得出结论.

【详解】

（1）如图1，连接OB、OC、OD，

∵∠BAD和∠BOD是所对的圆周角和圆心角，

∠CAD和∠COD是所对的圆周角和圆心角，

∴∠BOD=1∠BAD，∠COD=1∠CAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∴∠BOD=∠COD，

∴=；

（1）如图1，过点O作OM⊥AD于点M，

∴∠OMA=90°，AM=DM，

∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，

∴∠CFM=90°，∠MEB=90°，

∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，

∴OM∥BE，OM∥CF，

∴BE∥OM∥CF，

∴，

∵OB=OC，

∴=1，

∴FM=EM，

∴AM﹣FM=DM﹣EM，

∴DE=AF；

（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA．

∵BC为⊙O直径，

∴∠BAC=90°，∠G=90°，

∴∠G=∠CFE=∠FEG=90°，

∴四边形CFEG是矩形，

∴EG=CF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAF=∠CAF=×90°=45°，

∴∠ABE=180°﹣∠BAF﹣∠AEB=45°，

∠ACF=180°﹣∠CAF﹣∠AFC=45°，

∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，

∴AE=BE，AF=CF，

在Rt△ACF中，∠AFC=90°，

∴sin∠CAF=，即sin45°=，

∴CF=1×=，

∴EG=，

∴EF=1EG=1，

∴AE=3，

在Rt△AEB中，∠AEB=90°，

∴AB==6，

∵AE=BE，OA=OB，

∴EH垂直平分AB，

∴BH=EH=3，

∵∠OHB=∠BAC，∠ABC=∠ABC

∴△HBO∽△ABC，

∴，

∴OH=1，

∴OE=EH﹣OH=3﹣1=1．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点.

19、 (1)1；（2）2-1.

【解析】
（1）分别计算负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根；

（2）先把括号内通分相减，再计算分式的除法，除以一个分式，等于乘它的分子、分母交换位置.

【详解】

(1)原式=3+﹣1﹣2×+1﹣2=3+﹣1﹣+1﹣2=1．

（2）原式=[﹣]•

=•

=，

当x=﹣2时，原式= ==2-1.

【点睛】

本题考查负指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根以及分式的化简求值，解题关键是熟练掌握以上性质和分式的混合运算.

20、（1）﹣2≤x＜2；（2）x=．

【解析】
（1）先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；

（2）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．

【详解】

（1），

∵解不等式①得：x＜2，

解不等式②得：x≥﹣2，

∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2；

（2）方程两边都乘以（2x﹣1）（x﹣2）得

2x（x﹣2）+x（2x﹣1）=2（x﹣2）（2x﹣1），

解得：x=，

检验：把x=代入（2x﹣1）（x﹣2）≠0，

所以x=是原方程的解，

即原方程的解是x=．

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1 ）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．

21、

【解析】

试题分析：把分式化简，然后把x的值代入化简后的式子求值就可以了．

试题解析：原式=

=

当时，原式=.

考点：1.二次根式的化简求值；2.分式的化简求值．

22、（1）y1=﹣x+1，（1）6；（3）x＜﹣1或0＜x＜4

【解析】

试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；

（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；

（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．

试题解析：（1）设点A坐标为（﹣1，m），点B坐标为（n，﹣1）

∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y1=﹣的图象交于A、B两点

∴将A（﹣1，m）B（n，﹣1）代入反比例函数y1=﹣可得，m=4，n=4

∴将A（﹣1，4）、B（4，﹣1）代入一次函数y1=kx+b，可得

，解得

∴一次函数的解析式为y1=﹣x+1；,

（1）在一次函数y1=﹣x+1中，

当x=0时，y=1，即N（0，1）；当y=0时，x=1，即M（1，0）

∴=×1×1+×1×1+×1×1=1+1+1=6；

（3）根据图象可得，当y1＞y1时，x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜4

考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积

23、（1）；（2）

【解析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，

∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝；

（2）画树状图分析如下：

两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，

所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

24、（1），y＝﹣x+5；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）P的坐标为（，0），见解析.

【解析】
（1）把A（1，4）代入y＝，求出m＝4，把B（4，n）代入y＝，求出n＝1，然后把把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，即可求出一次函数解析式；

（2）根据图像解答即可；

（3）作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.

【详解】

解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝；

把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，

得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；

（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；

∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，

∵B（4，1），

∴B′（4，﹣1），

设直线AB′的解析式为y＝px+q，

∴，

解得，

∴直线AB′的解析式为，

令y＝0，得，

解得x＝，

∴点P的坐标为（，0）．

【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.