2022年广东省湛江市名校中考数学模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列关于x的方程一定有实数解的是(   )

A． B．

C． D．

3．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

4．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（        ）

A． B． C． D．

5．在中，，，下列结论中，正确的是（   ）

A． B．

C． D．

6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BOC＝120°，则∠A等于（　　）

A．50° B．60° C．55° D．65°

7．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（1，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣；③sinα=；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

8．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3

9．﹣22×3的结果是（　　）

A．﹣5 B．﹣12 C．﹣6 D．12

10．如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠CAC′为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．50°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第n个图案中的“”的个数是_____（用含n的代数式表示）

12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：∽；；；其中正确的结论有______．

13．已知a2+1=3a，则代数式a+的值为　　．

14． “五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程_____．

15．有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：

方式1：如图1；

方式2：如图2；

若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是_______.有个边长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则的最大值为__________．

16．在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，则cos∠AOA′=__．

17．如图，平行线AB、CD被直线EF所截，若∠2=130°，则∠1=_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）已知.

（1）化简A；

（2）如果a,b 是方程的两个根，求A的值．

19．（5分）为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高　   　米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）

20．（8分）先化简，再求值：(1﹣)÷，其中x＝1．

21．（10分）2018年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元.

22．（10分）某公司销售一种新型节能电子小产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售:①若只在国内销售,销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y＝－x＋150,成本为20元/件,月利润为W内（元）;②若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件（a为常数,10≤a≤40）,当月销量为x（件）时,每月还需缴纳x2元的附加费,月利润为W外（元）．

（1）若只在国内销售,当x＝1000（件）时,y＝         （元/件）;

（2）分别求出W内、W外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）;

（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值．

23．（12分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字1，2，3的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．

（1）用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果；

（2）求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率P．

24．（14分）某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要，需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成．甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误，

故选A.

【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.

2、A

【解析】
根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得．

【详解】

A．x2-mx-1=0中△=m2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B．ax=3中当a=0时，方程无解，不符合题意；
C．由可解得不等式组无解，不符合题意；
D．有增根x=1，此方程无解，不符合题意；
故选A．

【点睛】

本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根．

3、A

【解析】
由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．

【详解】

点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，

∴x=ax2+bx+c，

∴ax2+（b-1）x+c=0；

由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，

∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．

∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，

又∵-＞0，a＞0

∴-=-+＞0

∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，

∴A符合条件，

故选A．

4、D

【解析】

∵一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

∴a<0，b>0，

∴a+b不一定大于0，故A错误，

a−b<0，故B错误，

ab<0，故C错误，

<0，故D正确．

故选D.

5、C

【解析】
直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．

【详解】

∵，，

∴，

∴，

故选项A，B错误，

∵，

∴，

故选项C正确；选项D错误．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．

6、B

【解析】
由圆周角定理即可解答.

【详解】

∵△ABC是⊙O的内接三角形，

∴∠A＝ ∠BOC，

而∠BOC＝120°，

∴∠A＝60°.

故选B．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解决问题的关键.

7、B

【解析】
根据抛物线图象性质确定a、b符号，把点A代入y=ax2+bx得到a与b数量关系，代入②，不等式kx≤ax2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系．

【详解】

解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，则a＞0，b＜0，则①错误

将A（1，2）代入y=ax2+bx，则2=9a+1b

∴b=，

∴a﹣b=a﹣（）=4a﹣＞-，故②正确；

由正弦定义sinα=，则③正确；

不等式kx≤ax2+bx从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx的图象

则满足条件x范围为x≥1或x≤0，则④错误．

故答案为：B．

【点睛】

二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．

8、B

【解析】
把代入方程组得：，

解得：，

所以a−2b=−2×()=2.

故选B.

9、B

【解析】
先算乘方，再算乘法即可．

【详解】

解：﹣22×3＝﹣4×3＝﹣1．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．有理数的混合运算，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号内的．

10、A

【解析】
根据旋转的性质可得AC=AC,∠BAC=∠BAC',再根据两直线平行,内错角相等求出∠ACC=∠CAB,然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC,再求出∠BAB=∠CAC,从而得解

【详解】

∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，

∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，

又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，

∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，

∴∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．

故选A．

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，旋转的性质和平行线的性质，运用好旋转的性质是解题关键

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、3n+1

【解析】
根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13个图案，由此可得出规律．

【详解】

解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，

∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）＝3n+1

故答案为：3n+1.

【点睛】

本题考查学生的观察能力，解题的关键是熟练正确找出图中的规律，本题属于基础题型．

12、

【解析】
①证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；

②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得到，由AE=AD=BC，得到，即CF=2AF；

③作DM∥EB交BC于M，交AC于N，证明DM垂直平分CF，即可证明；

④设AE=a，AB=b，则AD=2a，根据△BAE∽△ADC，得到，即b=a，可得tan∠CAD=．

【详解】

如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵AE=AD=BC，

∴，即CF=2AF，

∴CF=2AF，故②正确；

作DM∥EB交BC于M，交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=BC，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DM垂直平分CF，

∴DF=DC，故③正确；

设AE=a，AB=b，则AD=2a，

由△BAE∽△ADC，

∴，即b=a，

∴tan∠CAD=，故④错误；

故答案为：①②③．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．

13、1

【解析】
根据题意a2+1=1a，整体代入所求的式子即可求解.

【详解】

∵a2+1=1a，

∴a+=+===1．

故答案为1．

14、 ﹣=1．

【解析】

原有的同学每人分担的车费应该为，而实际每人分担的车费为，方程应该表示为：﹣=1．

故答案是：﹣=1．

15、18    1   

【解析】
有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，利用4n+2的规律计算；把六个正六边形围着一个正六边按照方式2进行拼接可使周长为8，六边形的个数最多．

【详解】

解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4×4+2=18；

按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18，此时正六边形的个数最多，即n的最大值为1．

故答案为：18；1．

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，以及图形的变化类规律总结问题，根据题意，得出规律是解决此题的关键．

16、．

【解析】
依据点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，即可得到A'O=1，AA'=2，AO=，进而得出cos∠AOA′的值．

【详解】

如图所示，点A（1，2）在x轴上的正投影为点A′，

∴A'O=1，AA'=2，

∴AO=，

∴cos∠AOA′=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．

17、50°

【解析】
利用平行线的性质推出∠EFC=∠2=130°，再根据邻补角的性质即可解决问题.

【详解】

∵AB∥CD，

∴∠EFC=∠2=130°，

∴∠1=180°-∠EFC=50°，

故答案为50°

【点睛】

本题考查平行线的性质、邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）；（2）-. 

【解析】
（1）先通分，再根据同分母的分式相加减求出即可；

（2）根据根与系数的关系即可得出结论．

【详解】

（1）A=﹣

=

=；

（2）∵a，b 是方程的两个根，∴a+b=4，ab=－12，∴．

【点睛】

本题考查了分式的加减和根与系数的关系，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．

19、2.1．

【解析】
据题意得出tanB = , 即可得出tanA, 在Rt△ADE中, 根据勾股定理可求得DE, 即可得出∠FCE的正切值, 再在Rt△CEF中, 设EF=x,即可求出x, 从而得出CF=1x的长.

【详解】

解：

据题意得tanB=，

∵MN∥AD，

∴∠A=∠B，

∴tanA=，

∵DE⊥AD，

∴在Rt△ADE中，tanA=，

∵AD=9，

∴DE=1，

又∵DC=0.5，

∴CE=2.5，

∵CF⊥AB，

∴∠FCE+∠CEF=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠A+∠CEF=90°，

∴∠A=∠FCE，

∴tan∠FCE=

在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2

设EF=x，CF=1x（x＞0），CE=2.5，

代入得（）2=x2+（1x）2

解得x=（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x=±，舍负”），

∴CF=1x=≈2.1，

∴该停车库限高2.1米．

【点睛】

点评: 本题考查了解直角三角形的应用, 坡面坡角问题和勾股定理, 解题的关键是坡度等于坡角的正切值.

20、.

【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【详解】

原式==

当x=1时，原式=．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

21、15元．

【解析】
首先设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元，根据题意列出一元一次方程进行求解.

【详解】

解：设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元.

根据题意，列方程得：， 解得：x=15

答：每棵柏树苗的进价是15元.

【点睛】

此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

22、（1）140;（2）W内＝－x2＋130x,W外＝－x2＋ (150－a)x;（3）a＝1．

【解析】

试题分析:（1）将x=1000代入函数关系式求得y,;

（2）根据等量关系“利润=销售额﹣成本”“利润=销售额﹣成本﹣附加费”列出函数关系式;

（3）对w内函数的函数关系式求得最大值,再求出w外的最大值并令二者相等求得a值．

试题解析:（1）x=1000,y=－×1000+150=140;

（2）W内＝(y－1)x＝(－x＋150－1)x＝－x2＋130x．

W外＝(150－a)x－x2＝－x2＋(150－a)x;

（3）W内＝－x2＋130x=－（x－6500）2+2,

由W外＝－x2＋(150－a)x得:W外最大值为:(750－5a)2,

所以:(750－5a)2＝2．

解得a＝280或a＝1．

经检验,a＝280不合题意,舍去,

∴a＝1．

考点:二次函数的应用．

23、 (1见解析；(2).

【解析】
（1）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数；
（2）根据（1）可得共有9种情况，两次取出小球上的数字和为奇数的情况，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】

(1)列表得，

(2)两次取出的小球上的数字之和为奇数的共有4种，

∴P两次取出的小球上数字之和为奇数的概率P=．

【点睛】

此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24、（1）甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；（2）应该选择甲工程队承包该项工程．

【解析】
（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．

【详解】

（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天.

根据题意得：

方程两边同乘以，得

解得：

经检验，是原方程的解.

∴当时，.

答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.

（2）因为甲乙两工程队均能在规定的35天内单独完成，所以有如下三种方案：

方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：（万元）；

方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：（万元）；

方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：（万元）.

∵∴应该选择甲工程队承包该项工程.

【点睛】

本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．