2022年湖北省黄石市名校中考考前最后一卷数学试卷含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.二次函数y=3(x﹣1)2+2,下列说法正确的是( )
A.图象的开口向下
B.图象的顶点坐标是(1,2)
C.当x>1时,y随x的增大而减小
D.图象与y轴的交点坐标为(0,2)
2.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为( )
A.5 B.6 C.8 D.12
3.用铝片做听装饮料瓶,现有100张铝片,每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个,一个瓶身和两个瓶底可配成一套,设用张铝片制作瓶身,则可列方程( )
A. B.
C. D.
4.如图,半径为的中,弦,所对的圆心角分别是,,若,,则弦的长等于( )
A. B. C. D.
5.的相反数是
A. B.2 C. D.
6.方程的解为( )
A.x=4 B.x=﹣3 C.x=6 D.此方程无解
7.若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6>0的解,且使关于y的分式方程+3=有整数解,则满足条件的所有整数a的个数是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
8.如图,已知在△ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( )
A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
9.已知两点都在反比例函数图象上,当时, ,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.下列因式分解正确的是( )
A.x2+9=(x+3)2 B.a2+2a+4=(a+2)2
C.a3-4a2=a2(a-4) D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)
11.如图,不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
12.若关于x的不等式组无解,则m的取值范围( )
A.m>3 B.m<3 C.m≤3 D.m≥3
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.若代数式的值不小于代数式的值,则x的取值范围是_____.
14.已知代数式2x﹣y的值是,则代数式﹣6x+3y﹣1的值是_____.
15.在矩形ABCD中,AB=4, BC=3, 点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的处,则AP的长为__________.
16.如图,AB,AC分别为⊙O的内接正六边形,内接正方形的一边,BC是圆内接n边形的一边,则n等于_____.
17.如图,线段 AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,AB=8,∠CAB=22.5°,则 CD的长等于___________________________.
18.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为__________.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.5,≈1.73)
20.(6分)某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后,接通电源,则自动开始加热,每分钟水温上升10℃,待加热到100℃,饮水机自动停止加热,水温开始下降,水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例关系,直至水温降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程.设某天水温和室温为20℃,接通电源后,水温和时间的关系如下图所示,回答下列问题:
(1)分别求出当0≤x≤8和8<x≤a时,y和x之间的关系式;
(2)求出图中a的值;
(3)李老师这天早上7:30将饮水机电源打开,若他想再8:10上课前能喝到不超过40℃的开水,问他需要在什么时间段内接水.
21.(6分)计算:﹣﹣|4sin30°﹣|+(﹣)﹣1
22.(8分)某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
23.(8分)解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.
24.(10分)尺规作图:校园有两条路OA、OB,在交叉路口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮助画出灯柱的位置P.(不写画图过程,保留作图痕迹)
25.(10分)在平面直角坐标系中,关于的一次函数的图象经过点,且平行于直线.
(1)求该一次函数表达式;
(2)若点Q(x,y)是该一次函数图象上的点,且点Q在直线的下方,求x的取值范围.
26.(12分)抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c均是常数)经过点O(0,0),A(4,4),与x轴的另一交点为点B,且抛物线对称轴与线段OA交于点P.
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)过点P作x轴的平行线l,若点Q是直线上的动点,连接QB.
①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,求点Q的坐标;
②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时,求点Q的坐标(直接写出答案即可).
27.(12分)如图,已知▱ABCD.作∠B的平分线交AD于E点。(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);若▱ABCD的周长为10,CD=2,求DE的长。
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、B
【解析】
由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性,则可判断四个选项,可求得答案.
【详解】
解:A、因为a=3>0,所以开口向上,错误;
B、顶点坐标是(1,2),正确;
C、当x>1时,y随x增大而增大,错误;
D、图象与y轴的交点坐标为(0,5),错误;
故选:B.
【点睛】
考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).
2、B
【解析】
试题分析:由基本作图得到AB=AF,AG平分∠BAD,故可得出四边形ABEF是菱形,由菱形的性质可知AE⊥BF,故可得出OB=4,再由勾股定理即可得出OA=3,进而得出AE=2AO=1.
故选B.
考点:1、作图﹣基本作图,2、平行四边形的性质,3、勾股定理,4、平行线的性质
3、C
【解析】
设用张铝片制作瓶身,则用张铝片制作瓶底,可作瓶身16x个,瓶底个,再根据一个瓶身和两个瓶底可配成一套,即可列出方程.
【详解】
设用张铝片制作瓶身,则用张铝片制作瓶底,
依题意可列方程
故选C.
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系.
4、A
【解析】
作AH⊥BC于H,作直径CF,连结BF,先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF,然后再根据同圆中,相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6,由AH⊥BC,根据垂径定理得CH=BH,易得AH为△CBF的中位线,然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=1,从而求解.
解:作AH⊥BC于H,作直径CF,连结BF,如图,
∵∠BAC+∠EAD=120°,而∠BAC+∠BAF=120°,
∴∠DAE=∠BAF,∴弧DE=弧BF,∴DE=BF=6,
∵AH⊥BC,∴CH=BH,
∵CA=AF,∴AH为△CBF的中位线,∴AH=BF=1.
∴,
∴BC=2BH=2.
故选A.
“点睛”本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和三角形中位线性质.
5、B
【解析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】
因为-2+2=0,所以﹣2的相反数是2,
故选B.
【点睛】
本题考查求相反数,熟记相反数的性质是解题的关键 .
6、C
【解析】
先把分式方程化为整式方程,求出x的值,代入最简公分母进行检验.
【详解】
方程两边同时乘以x-2得到1-(x-2)=﹣3,解得x=6.将x=6代入x-2得6-2=4,∴x=6就是原方程的解.故选C
【点睛】
本题考查的是解分式方程,熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键.
7、D
【解析】
由不等式组有解且满足已知不等式,以及分式方程有整数解,确定出满足题意整数a的值即可.
【详解】
不等式组整理得:,
由不等式组有解且都是2x+6>0,即x>-3的解,得到-3<a-1≤3,
即-2<a≤4,即a=-1,0,1,2,3,4,
分式方程去分母得:5-y+3y-3=a,即y=,
由分式方程有整数解,得到a=0,2,共2个,
故选:D.
【点睛】
本题考查了分式方程的解,解一元一次不等式,以及解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
8、C
【解析】
解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,∴BE=BC,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠BAC=∠EBC.故选C.
点睛:本题考查了等腰三角形的性质,当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等,难度不大.
9、B
【解析】
根据反比例函数的性质判断即可.
【详解】
解:∵当x1<x2<0时,y1<y2,
∴在每个象限y随x的增大而增大,
∴k<0,
故选:B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质.
10、C
【解析】
试题分析:A、B无法进行因式分解;C正确;D、原式=(1+2x)(1-2x)
故选C,考点:因式分解
【详解】
请在此输入详解!
11、B
【解析】
首先分别解出两个不等式,再确定不等式组的解集,然后在数轴上表示即可.
【详解】
解:解第一个不等式得:x>-1;
解第二个不等式得:x≤1,
在数轴上表示,
故选B.
【点睛】
此题主要考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时 “≥” ,“≤” 要用实心圆点表示; “ <“ >” 要用空心圆点表示.
12、C
【解析】
根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m-1,即可得出m的取值范围.
【详解】
,
由①得:x>2+m,
由②得:x<2m﹣1,
∵不等式组无解,
∴2+m≥2m﹣1,
∴m≤3,
故选C.
【点睛】
考查了解不等式组,根据求不等式的无解,遵循“大大小小解不了”原则得出是解题关键.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、x≥
【解析】
根据题意列出不等式,依据解不等式得基本步骤求解可得.
【详解】
解:根据题意,得:,
6(3x﹣1)≥5(1﹣5x),
18x﹣6≥5﹣25x,
18x+25x≥5+6,
43x≥11,
x≥,
故答案为x≥.
【点睛】
本题主要考查解不等式得基本技能,熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.
14、
【解析】
由题意可知:2x-y=,然后等式两边同时乘以-3得到-6x+3y=-,然后代入计算即可.
【详解】
∵2x-y=,
∴-6x+3y=-.
∴原式=--1=-.
故答案为-.
【点睛】
本题主要考查的是求代数式的值,利用等式的性质求得-6x+3y=-是解题的关键.
15、或
【解析】
①点A落在矩形对角线BD上,如图1,
∵AB=4,BC=3,
∴BD=5,
根据折叠的性质,AD=A′D=3,AP=A′P,∠A=∠PA′D=90°,
∴BA′=2,设AP=x,则BP=4﹣x,∵BP2=BA′2+PA′2,
∴(4﹣x)2=x2+22,
解得:x=,∴AP=;
②点A落在矩形对角线AC上,如图2,根据折叠的性质可知DP⊥AC,
∴△DAP∽△ABC,
∴,
∴AP===.
故答案为或.
16、12
【解析】
连接AO,BO,CO,如图所示:
∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边,
∴∠AOB==60°,∠AOC==90°,
∴∠BOC=30°,
∴n==12,
故答案为12.
17、4
【解析】
连接 OC,如图所示,由直径 AB 垂直于 CD,利用垂径定理得到 E 为CD 的中点,即 CE=DE,由 OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,确定出三角形 COE 为等腰直角三角形,求出 CE 的长,进而得出 CD.
【详解】
连接 OC,如图所示:
∵AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,
∴OC= AB=4,
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA=22.5°,
∵∠COE 为△AOC 的外角,
∴∠COE=45°,
∴△COE 为等腰直角三角形,
∴CE= OC=,
∴CD=2CE=,
故答案为.
【点睛】
考查了垂径定理,等腰直角三角形的性质,以及圆周角定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
18、
【解析】
根据题意画出草图,可得OG=2,,因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.
【详解】
解:如图,连接、,作于;
则,
∵六边形正六边形,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查多边形的内接圆和外接圆,关键在于根据题意画出草图,再根据三角函数求解,这是多边形问题的解题思路.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.
【解析】
解:在Rt△BAE中,∠BAE=680,BE=162米,∴(米).
在Rt△DEC中,∠DGE=600,DE=176.6米,∴(米).
∴(米).
∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.
在Rt△BAE和Rt△DEC中,应用正切函数分别求出AE和CE的长即可求得AC的长.
20、(1)当0≤x≤8时,y=10x+20;当8<x≤a时,y=;(2)40;(3)要在7:50~8:10时间段内接水.
【解析】
(1)当0≤x≤8时,设y=k1x+b,将(0,20),(8,100)的坐标分别代入y=k1x+b,即可求得k1、b的值,从而得一次函数的解析式;当8<x≤a时,设y=,将(8,100)的坐标代入y=,求得k2的值,即可得反比例函数的解析式;(2)把y=20代入反比例函数的解析式,即可求得a值;(3)把y=40代入反比例函数的解析式,求得对应x的值,根据想喝到不低于40 ℃的开水,结合函数图象求得x的取值范围,从而求得李老师接水的时间范围.
【详解】
解: (1)当0≤x≤8时,设y=k1x+b,
将(0,20),(8,100)的坐标分别代入y=k1x+b,可求得k1=10,b=20
∴当0≤x≤8时,y=10x+20.
当8<x≤a时,设y=,
将(8,100)的坐标代入y=,
得k2=800
∴当8
当8<x≤a时,y=
(2)将y=20代入y=,
解得x=40,即a=40.
(3)当y=40时,x==20
∴要想喝到不低于40 ℃的开水,x需满足8≤x≤20,即李老师要在7:38到7:50之间接水.
【点睛】
本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题,是一个分段函数问题,分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.
21、﹣4﹣1.
【解析】
先逐项化简,再合并同类项或同类二次根式即可.
【详解】
解:原式=﹣3﹣(﹣2)﹣12
=﹣3﹣+2﹣12
=﹣4﹣1.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算,熟练掌握特殊角的三角函数值,二次根式的性质以及负整数指数幂的意义是解答本题的关键.
22、 (1) 4800元;(2) 降价60元.
【解析】
试题分析:(1)先求出降价前每件商品的利润,乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润;(2)设每件商品应降价x元,由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程,解方程即可解决问题.
试题解析:
(1)由题意得60×(360-280)=4800(元).即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元;
(2)设每件商品应降价x元,
由题意得(360-x-280)(5x+60)=7200,
解得x1=8,x2=60.
要更有利于减少库存,则x=60.
即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价60元.
点睛:本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题,解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键.
23、x≥
【解析】
分析:分别求解两个不等式,然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集,然后表示在数轴上即可.
详解:,
由①得,x>﹣2;
由②得,x≥,
故此不等式组的解集为:x≥.
在数轴上表示为:.
点睛:本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
24、见解析.
【解析】
分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线,它们的交点即为点P.
【详解】
如图,点P为所作.
【点睛】
本题考查了作图−应用与设计作图,熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键.
25、(1);(2).
【解析】
(1)由题意可设该一次函数的解析式为:,将点M(4,7)代入所设解析式求出b的值即可得到一次函数的解析式;
(2)根据直线上的点Q(x,y)在直线的下方可得2x-1<3x+2,解不等式即得结果.
【详解】
解:(1)∵一次函数平行于直线,∴可设该一次函数的解析式为:,
∵直线过点M(4,7),
∴8+b=7,解得b=-1,
∴一次函数的解析式为:y=2x-1;
(2)∵点Q(x,y)是该一次函数图象上的点,∴y=2x-1,
又∵点Q在直线的下方,如图,
∴2x-1<3x+2,
解得x>-3.
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系,属于常考题型,熟练掌握待定系数法与一次函数与不等式的关系是解题的关键.
26、(1)y=﹣(x﹣)2+;(,);(2)①(﹣,)或(,);②(0,);
【解析】
1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐标代入
y=﹣x2+bx+c,转化为解方程组即可.
(2)先求出直线OA的解析式,点B坐标,抛物线的对称轴即可解决问题.
(3)①如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,首先证明四边形BOQC是菱形,设Q(m,),根据OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解决问题.
②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的OB上运动,当A,D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.先求出D、H两点坐标,再求出直线BH的解析式即可解决问题.
【详解】
(1)把O(0,0),A(4,4)的坐标代入y=﹣x2+bx+c,
得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+.
所以抛物线的顶点坐标为(,);
(2)①由题意B(5,0),A(4,4),
∴直线OA的解析式为y=x,AB==7,
∵抛物线的对称轴x=,
∴P(,).
如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,
∵QC∥OB,
∴∠CQB=∠QBO=∠QBC,
∴CQ=BC=OB=5,
∴四边形BOQC是平行四边形,
∵BO=BC,
∴四边形BOQC是菱形,
设Q(m,),
∴OQ=OB=5,
∴m2+()2=52,
∴m=±,
∴点Q坐标为(﹣,)或(,);
②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动,当A、D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.
∵AB=7,BD=5,
∴AD=2,D(,),
∵OH=HD,
∴H(,),
∴直线BH的解析式为y=﹣x+,
当y=时,x=0,
∴Q(0,).
【点睛】
本题二次函数与一次函数的关系、几何动态问题、最值问题、作辅助圆解决问题,难度较大,需积极思考,灵活应对.
27、(1)作图见解析;(2)1
【解析】
(1)以点B为圆心,任意长为半径画弧分别与AB、BC相交。然后再分别以交点为圆心,以交点间的距离为半径分别画弧,两弧相交于一点,画出射线BE即得.
(2)根据平行四边形的对边相等,可得AB+AD=5,由两直线平行内错角相等可得∠AEB=∠EBC,利用角平分线即得∠ABE=∠EBC,即证 ∠AEB=∠ABE .根据等角对等边可得AB=AE=2,从而求出ED的长.
【详解】
(1)解:如图所示:
(2)解:∵平行四边形ABCD的周长为10
∴AB+AD=5
∵AD//BC
∴∠AEB=∠EBC
又∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE=2
∴ED=AD-AE=3-2=1
【点睛】
此题考查作图-基本作图和平行四边形的性质,解题关键在于掌握作图法则
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