2022年湖南省长沙市湖南广益实验中学中考数学全真模拟试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．

4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如果两圆只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是(       )

A．内切 B．外切 C．相交 D．外离

2．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（　　）

A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟

3．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（　　）

A． B． C． D．

4．下列图案中，是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．115°

6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（　　）

A．方有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0

C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0

7．已知一次函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（　　）

A．一、二 B．二、三 C．三、四 D．一、四

8．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为(　　)

A．55×103 B．5.5×104 C．5.5×105 D．0.55×105

9．解分式方程时，去分母后变形为

A． B．

C． D．

10．化简：（a+）（1﹣）的结果等于（　　）

A．a﹣2 B．a+2 C． D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于____________．

12．从﹣2，﹣1，2，0这四个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点不在第三象限的概率是_____．

13．请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________

14．不等式组的解集为________.

15．分解因式：a3－a=          

16．分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝_____．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣1．求一次函数的解析式；求△AOB的面积；观察图象，直接写出y1＞y1时x的取值范围．

18．（8分）春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在年春节共收到红包元，年春节共收到红包元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率.

19．（8分）如图所示，在中，，

（1）用尺规在边BC上求作一点P，使；(不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接AP当为多少度时，AP平分．

20．（8分）如图，正方形ABCD的边长为2，BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP记作l.

(1)若l的解析式为y＝2x＋4，判断此时点A是否在直线l上，并说明理由；

(2)当直线l与AD边有公共点时，求t的取值范围．

21．（8分） [阅读]我们定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“中边三角形”，把这条边和其边上的中线称为“对应边”．

[理解]如图1，Rt△ABC是“中边三角形”，∠C=90°，AC和BD是“对应边”，求tanA的值；

[探究]如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，试求的值．

22．（10分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．求m的值；求|m﹣1|+（m+6）0的值．

23．（12分）某商店老板准备购买A、B两种型号的足球共100只，已知A型号足球进价每只40元，B型号足球进价每只60元．

（1）若该店老板共花费了5200元，那么A、B型号足球各进了多少只；

（2）若B型号足球数量不少于A型号足球数量的，那么进多少只A型号足球，可以让该老板所用的进货款最少？

24．计算：﹣3tan30°．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】
两圆内含时，无公切线；两圆内切时，只有一条公切线；两圆外离时，有4条公切线；两圆外切时，有3条公切线；两圆相交时，有2条公切线．

【详解】

根据两圆相交时才有2条公切线．

故选C．

【点睛】

本题考查了圆与圆的位置关系．熟悉两圆的不同位置关系中的外公切线和内公切线的条数．

2、C

【解析】
先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．

【详解】

解：设反比例函数关系式为：，将（7，100）代入，得k=700，

∴，

将y=35代入，

解得；

∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，

故选C．

【点睛】

本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．

3、D

【解析】

解：作直径AD，连结BD，如图．∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD==8，∴cosD===．∵∠C=∠D，∴cosC=．故选D．

点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．

4、B

【解析】
根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.

【详解】

A、C是中心对称图形，但不是轴对称图形；B是轴对称图形；D不是对称图形.

故选B.

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的定义.

5、B

【解析】
根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，
∴∠C=180°-130°=50°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=25°，
∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，
故选：B．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．

6、C

【解析】

试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．

解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，

把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，

∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，

∴1+（﹣1）=0，

即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；

故选C．

7、D

【解析】

分析：根据一次函数的图形与性质，由一次函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.

详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），

∴y=（a-1）x-（a-1）

当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；

当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.

故其函数的图像一定过一四象限.

故选D.

点睛：此题主要考查了一次函数的图像与性质，利用一次函数的图像与性质的关系判断即可.

一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.

8、B

【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

【详解】

55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4，

所以，55000用科学记数法表示为5.5×104，

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

9、D

【解析】

试题分析：方程，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.

考点：解分式方程的步骤.

10、B

【解析】
解：原式====．

故选B．

考点：分式的混合运算．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、58°

【解析】

如图,∠2=180°−50°−72°=58°，

∵两个三角形全等，

∴∠1=∠2=58°.

故答案为58°.

12、

【解析】
列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可．

【详解】

如图：

共有12种情况，在第三象限的情况数有2种，
故不再第三象限的共10种，
不在第三象限的概率为，
故答案为．

【点睛】

本题考查了树状图法的知识，解题的关键是列出树状图求出概率．

13、（答案不唯一）

【解析】
根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．

【详解】

∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1）

∴二次函数的一般表达式中，a<0，c=1，

∴二次函数表达式可以为：（答案不唯一）.

【点睛】

本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键.

14、x>1

【解析】
分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．

【详解】

，

解不等式①，得：x>1，

解不等式②，得：x＞-3，

所以不等式组的解集为：x>1，

故答案为：x>1．

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

15、

【解析】

a3－a=a(a2-1)=

16、y（x﹣y）2

【解析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可

【详解】

x2y﹣2xy2+y3＝y（x2-2xy+y2）=y（x-y）2.

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）y1=﹣x+1，（1）6；（3）x＜﹣1或0＜x＜4

【解析】

试题分析：（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；

（1）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；

（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．

试题解析：（1）设点A坐标为（﹣1，m），点B坐标为（n，﹣1）

∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y1=﹣的图象交于A、B两点

∴将A（﹣1，m）B（n，﹣1）代入反比例函数y1=﹣可得，m=4，n=4

∴将A（﹣1，4）、B（4，﹣1）代入一次函数y1=kx+b，可得

，解得

∴一次函数的解析式为y1=﹣x+1；,

（1）在一次函数y1=﹣x+1中，

当x=0时，y=1，即N（0，1）；当y=0时，x=1，即M（1，0）

∴=×1×1+×1×1+×1×1=1+1+1=6；

（3）根据图象可得，当y1＞y1时，x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜4

考点：1、一次函数，1、反比例函数，3、三角形的面积

18、小王在这两年春节收到的年平均增长率是

【解析】
增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2018年收到微信红包金额400（1+x）元，在2018年的基础上再增长x，就是2019年收到微信红包金额400（1+x）（1+x）元，由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．

【详解】

解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是.

依题意得：

解得（舍去）.

答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．

19、（1）详见解析；（2）30°．

【解析】
（1）根据线段垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线即可；

（2）连接PA，根据等腰三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得∠B的度数，可得答案．

【详解】

（1）如图所示：分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点E、F，作直线EF，交BC于点P，

∵EF为AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

∴点P即为所求．

（2）如图，连接AP，

∵，

∴，

∵AP是角平分线，

∴，

∴，

∵，

∴∠PAC+∠PAB+∠B=90°，

∴3∠B=90°，

解得：∠B=30°，

∴当时，AP平分．

【点睛】

本题考查尺规作图，考查了垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．

20、 (1)点A在直线l上，理由见解析；(2)≤t≤4.

【解析】
（1）由题意得点B、A坐标，把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4得出y的值，即可得出点A在直线l上；

（2）当直线l经过点D时，设l的解析式代入数值解出即可

【详解】

(1)此时点A在直线l上．

∵BC＝AB＝2，点O为BC中点，

∴点B(－1，0)，A(－1，2)．

把点A的横坐标x＝－1代入解析式y＝2x＋4，得

y＝2，等于点A的纵坐标2，

∴此时点A在直线l上．

(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，

当直线l经过点D时，设l的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，

∴解得

由(1)知，当直线l经过点A时，t＝4.

∴当直线l与AD边有公共点时，t的取值范围是≤t≤4.

【点睛】

本题考查的知识点是一次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握一次函数综合题.

21、tanA=；综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，的值为或．

【解析】
(1)由AC和BD是“对应边”，可得AC=BD，设AC=2x，则CD=x，BD=2x，可得∴BC=x，可得tanA===

(2) 当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，可得AC是QP的垂直平分线.可求得△AEF∽△CEP，=，分两种情况：

当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，

==，

∴=；

当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，

（3）作QN⊥AP于N，可得tan∠APQ===，

tan∠APE===，

∴=，

【详解】

解：[理解]∵AC和BD是“对应边”，

∴AC=BD，

设AC=2x，则CD=x，BD=2x，

∵∠C=90°，

∴BC===x，

∴tanA===；

[探究]若β=45°，当点P在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“中边三角形”，

如图2，当点P在BC上时，连接AC，交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵PC=QC，∠ACB=∠ACD，

∴AC是QP的垂直平分线，

∴AP=AQ，

∵∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴===，

∵PE=CE，

∴=，

分两种情况：

当底边PQ与它的中线AE相等，即AE=PQ时，

==，

∴=；

当腰AP与它的中线QM相等时，即AP=QM时，QM=AQ，

如图3，作QN⊥AP于N，

∴MN=AN=PM=QM，

∴QN=MN，

∴ntan∠APQ===，

∴ta∠APE===，

∴=，

综上所述，当β=45°时，若△APQ是“中边三角形”，的值为或．

【点睛】本题是一道相 似形综合运用的试题, 考查了相 似三角形的判定及性质的运用, 勾股定理的运用, 等腰直角三角形的性质的运用, 等腰三角形的性质的运用, 锐角三角形函数值的运用, 解答时灵活运用三角函数值建立方程求解是解答的关键.

22、（1）2- ；（2）

【解析】

试题分析： 点表示 向右直爬2个单位到达点，点表示的数为

把的值代入，对式子进行化简即可．

试题解析： 由题意点和点的距离为，其点的坐标为 因此点坐标

把的值代入得：

23、（1）A型足球进了40个，B型足球进了60个；（2）当x=60时，y最小=4800元.

【解析】
（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,根据该店老板共花费了5200元列方程求解即可；

（2）设进货款为y元，根据题意列出函数关系式，根据B型号足球数量不少于A型号足球数量的求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可.

【详解】

解：（1）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

∴ 40x +60（100-x）=5200  ,

解得：x=40 ,

∴100-x=100-40=60个,

答：A型足球进了40个，B型足球进了60个．

（2）设A型足球x个，则B型足球（100-x）个,

100-x≥ ,

解得：x≤60 ,

设进货款为y元，则y=40x+60(100-x)=-20x+6000 ,

∵k=-20，∴y随x的增大而减小,

∴当x=60时，y最小=4800元.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，仔细审题，找出解决问题所需的数量关系是解答本题的关键.

24、1.

【解析】
直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质和负整数指数幂的性质及特殊角三角函数值分别化简得出答案．

【详解】

﹣3tan30°

=4+﹣1﹣1﹣3×

=1．

【点睛】

此题主要考查了实数运算及特殊角三角函数值，正确化简各数是解题关键．