2022年北京市第四十四中学中考适应性考试数学试题含解析

这是一份2022年北京市第四十四中学中考适应性考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，如图是反比例函数等内容，欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列运算正确的是（　　）
A． =2 B．4﹣=1 C．=9 D．=2
2．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）

A．40° B．45° C．50° D．55°
4．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是( )

A． B． C． D．
5．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( )
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
6．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为（ ）

A．3 B．4 C． D．5
7．在实数﹣3.5、、0、﹣4中，最小的数是（　　）
A．﹣3.5 B． C．0 D．﹣4
8．如图是反比例函数（k为常数，k≠0）的图象，则一次函数的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
9．已知点为某封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点运动的时间为，线段的长为．表示与的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能是( )

A． B． C． D．
10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）

A． B． C． D．
11．在△ABC中，若=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
12．若=1，则符合条件的m有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：a3﹣a=_____．
14．一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．

16．如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是_____平方米．

17．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是_____．
18．已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：
信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天；
信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
生产甲产品数（件）
生产乙产品数（件）
所用时间（分钟）
10
10
350
30
20
850
信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元．
信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
（2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为　 　，并在图上标出此时点P的位置．

21．（6分）某校为了解本校学生每周参加课外辅导班的情况，随机调査了部分学生一周内参加课外辅导班的学科数，并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整统计图（其中A：0个学科，B：1个学科，C：2个学科，D：3个学科，E：4个学科或以上），请根据统计图中的信息，解答下列问题：
请将图2的统计图补充完整；根据本次调查的数据，每周参加课外辅导班的学科数的众数是　 　个学科；若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有　 　人．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，边结DE，OE、OD，求证：DE是⊙O的切线．

23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD•AO．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，且经过点.
求反比例函数和一次函数的表达式；求当时自变量的取值范围.
25．（10分）据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．
26．（12分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，∠EAD＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，连接EF．求证：EF＝ED；若AB＝2，CD＝1，求FE的长．

27．（12分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）




参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【详解】
A、原式=2，所以A选项正确；
B、原式=4-3=，所以B选项错误；
C、原式==3，所以C选项错误；
D、原式=，所以D选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2、C
【解析】
试题分析：∵解不等式得：，解不等式，得：x≤5，∴不等式组的解集是，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选C．
考点：一元一次不等式组的整数解．
3、D
【解析】
试题分析：如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选D．
考点：1、平行线的性质；2、圆周角定理；3等腰三角形的性质
4、B
【解析】
试题分析：长方体的主视图为矩形，圆柱的主视图为矩形，根据立体图形可得：主视图的上面和下面各为一个矩形，且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点，两个矩形的宽一样大小．
考点：三视图．
5、D
【解析】
根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.
故本题选：D.
【点睛】
本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.
6、B
【解析】
连接DF，在中，利用勾股定理求出CF的长度，则EF的长度可求．
【详解】
连接DF，

∵四边形ABCD是矩形
∴
在中，



故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
7、D
【解析】
根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可
【详解】
在实数﹣3.5、、0、﹣4中，最小的数是﹣4，故选D．
【点睛】
掌握实数比较大小的法则
8、B
【解析】
根据图示知,反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴k>0，
∴一次函数y=kx−k的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，且该一次函数在定义域内是增函数，
∴一次函数y=kx−k的图象经过第一、三、四象限；
故选：B.
9、A
【解析】
解：分析题中所给函数图像，
段，随的增大而增大，长度与点的运动时间成正比．
段，逐渐减小，到达最小值时又逐渐增大，排除、选项，
段，逐渐减小直至为，排除选项．
故选．

【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
10、C
【解析】
根据已知三点和近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.
【详解】
解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，

抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃
∴旋钮的旋转角度在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.
故选：C，
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．
11、C
【解析】
根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】
由题意，得 cosA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C．
12、C
【解析】
根据有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法得出两个有关m的等式，即可得出.
【详解】
=1
m2-9=0或m-2= 1
即m= 3或m=3,m=1
m有3个值
故答案选C.
【点睛】
本题考查的知识点是有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、a（a+1）（a﹣1）
【解析】
解：a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）．故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
14、1.
【解析】解：因为众数为3，可设a=3，b=3，c未知，平均数=（1+3+1+1+3+3+c）÷7=1，解得c=0，将这组数据按从小到大的顺序排列：0、1、1、1、3、3、3，位于最中间的一个数是1，所以中位数是1，故答案为：1．
点睛：本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
15、
【解析】
认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案
【详解】
解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，

当PM⊥AB时，PM最短，
因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，
可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），
在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，
∴△PBM∽△ABO，
∴，
即：，
所以可得：PM=．
16、
【解析】
试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5，圆心角度数为90°的扇形和半径为1，圆心角为60°的扇形，则．
点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型．本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键．在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算．
17、且
【解析】
分式方程去分母得：2（2x-a）=x-2，
去括号移项合并得：3x=2a-2，
解得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴ 且 ，
解得：a≥1 且a≠4 ．
18、y=﹣1x+1．
【解析】
由对称得到P′（1，﹣2），再代入解析式得到k的值，再根据平移得到新解析式.
【详解】
∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y=kx+3上，
∴﹣2=k+3，解得：k=﹣1，
则y=﹣1x+3，
∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣1x+1．
故答案为y=﹣1x+1．
考点：一次函数图象与几何变换．

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；（2）小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．
【解析】
（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值．
（2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．
【详解】
（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分．
由题意得：，
解这个方程组得：，
答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分．
（2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分．
则生产甲种产品件，生产乙种产品件．
∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x=-0.04x+1680，
又≥60，得x≥900，
由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元），
则小王该月收入最多是1644+1900=3544（元），
此时甲有=60（件），
乙有：=555（件），
答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件．
【点睛】
考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
20、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得；
（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，利用三角函数求解．
【详解】
（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．
∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，∴DE=AB=AE=BE．
同理，BF=DF．
∵平行四边形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形；
（2）连接BF．
∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等边三角形．
∵M是BF的中点，∴EM⊥BF．
则EM=BE•sin60°=4×=2．
即PF+PM的最小值是2．
故答案为：2．

【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键．
21、（1）图形见解析；（2）1；（3）1.
【解析】
（1）由A的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其它类别人数求得B的人数即可补全图形；
（2）根据众数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中D和E人数占总人数的比例即可得．
【详解】
解：（1）∵被调查的总人数为20÷20%＝100（人），
则辅导1个学科（B类别）的人数为100﹣（20+30+10+5）＝35（人），
补全图形如下：

（2）根据本次调查的数据，每周参加课外辅导班的学科数的众数是1个学科，
故答案为1；
（3）估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有2000× ＝1（人），
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查了条形统计图的应用以及扇形统计图应用、利用样本估计总体等知识，利用图形得出正确信息求出样本容量是解题关键．
22、详见解析.
【解析】
试题分析：由三角形的中位线得出OE∥AB，进一步利用平行线的性质和等腰三角形性质，找出△OCE和△ODE相等的线段和角，证得全等得出答案即可．
试题解析：证明：∵点E为AC的中点，OC=OB，∴OE∥AB，∴∠EOC=∠B，∠EOD=∠ODB．又∵∠ODB=∠B，∴∠EOC=∠EOD．
在△OCE和△ODE中，∵OC=OD，∠EOC=∠EOD， OE=OE，∴△OCE≌△ODE（SAS），∴∠EDO=∠ECO=90°，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
点睛：此题考查切线的判定．证明的关键是得到△OCE≌△ODE．
23、（1）证明见解析.（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．
详解：（1）如图，连接OC，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即AC2=AB•AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD•AO．
点睛：本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．
24、 (1) ，；（2）或.
【解析】
（1）把点A坐标代入可求出m的值即可得反比例函数解析式；把点A、点C代入可求出k、b的值，即可得一次函数解析式；（2）联立一次函数和反比例函数解析式可求出点B的坐标，根据图象，求出一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围即可．
【详解】
（1）把代入得.
∴反比例函数的表达式为
把和代入得，
解得
∴一次函数的表达式为.
（2）由得
∴当或时，.
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．求反比例函数与一次函数的交点坐标时，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，若方程组无解，则两者无交点．
25、第二、三季度的平均增长率为20%．
【解析】
设增长率为x，则第二季度的投资额为10（1+x）万元，第三季度的投资额为10（1+x）2万元，由第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．
【详解】
设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x，由题意，得：
10（1+x）2＝14.4，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：第二、三季度的平均增长率为20%．
【点睛】
本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x）2＝14.4建立方程是关键．
26、（1）见解析；（2）EF＝.
【解析】
（1）由旋转的性质可求∠FAE＝∠DAE＝45°，即可证△AEF≌△AED，可得EF＝ED；
（2）由旋转的性质可证∠FBE＝90°，利用勾股定理和方程的思想可求EF的长．
【详解】
（1）∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠DAC，AF＝AD，CD＝BF，∠ABF＝∠ACD＝45°，
∴∠BAF+∠BAE＝45°＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠DAE，AD＝AF，AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴DE＝EF
（2）∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝4，
∵CD＝1，
∴BF＝1，BD＝3，即BE+DE＝3，
∵∠ABF＝∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴1+（3﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键．
27、这棵树CD的高度为8.7米
【解析】
试题分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
试题解析：∵∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，
∴∠A=∠ACB，
∴BC=AB=10（米）．
在直角△BCD中，CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．
答：这棵树CD的高度为8.7米．
考点：解直角三角形的应用