2020年湖北省随州市中考数学试卷

这是一份2020年湖北省随州市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（3分）（2020•随州）2020的倒数是（　　）
A．﹣2020 B．2020 C．-12020 D．12020
2．（3分）（2020•随州）如图，直线11∥l2，直线1与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）

A．60° B．100° C．120° D．140°
3．（3分）（2020•随州）随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．30，32 B．31，30 C．30，31 D．30，30
4．（3分）（2020•随州）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥
5．（3分）（2020•随州）2x2-4÷1x2-2x的计算结果为（　　）
A．xx+2 B．2xx+2 C．2xx-2 D．2x(x+2)
6．（3分）（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（　　）
A．x+y=352x+4y=94 B．x+y=354x+2y=94
C．2x+y=35x+4y=94 D．x+4y=352x+y=94
7．（3分）（2020•随州）小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　）

A．h＝R+r B．R＝2r C．r=34a D．R=33a
9．（3分）（2020•随州）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（　　）
A．1-5 B．3-5 C．1+5 D．3+5
10．（3分）（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a=-22．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）（2020•随州）计算：（﹣1）2+9=　 　．
12．（3分）（2020•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　 　．

13．（3分）（2020•随州）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣﹣九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为　 　．

14．（3分）（2020•随州）如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为　 　．

15．（3分）（2020•随州）如图，直线AB与双曲线y=kx（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为　 　．

16．（3分）（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：
①△MHN∽△BCF；
②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；
③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；
④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．
其中正确的是　 　．（写出所有正确判断的序号）

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）（2020•随州）先化简，再求值：a（a+2b）﹣2b（a+b），其中a=5，b=3．
18．（7分）（2020•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
19．（10分）（2020•随州）根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（1）统计表中m的值为　 　；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为　 　；
（3）在这50人中女性有　 　人；
（4）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
20．（8分）（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
（1）求A与C之间的距离；
（2）求天线BE的高度．（参考数据：3≈1.73，结果保留整数）

21．（9分）（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．

22．（10分）（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为　 　．
23．（11分）（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　 　个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝　 　；
②b与c的关系为　 　，a与d的关系为　 　．

24．（12分）（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x=32，其图象与x轴交于点A和点B （4，0），与y轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

2020年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（3分）（2020•随州）2020的倒数是（　　）
A．﹣2020 B．2020 C．-12020 D．12020
【解答】解：∵2020×12020=1，
∴2020的倒数是12020，
故选：D．
2．（3分）（2020•随州）如图，直线11∥l2，直线1与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1＝60°，则∠2的度数是（　　）

A．60° B．100° C．120° D．140°
【解答】解：∵∠1＝60°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝120°，
∵直线11∥l2，
∴∠2＝∠3＝120°，
故选：C．

3．（3分）（2020•随州）随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．30，32 B．31，30 C．30，31 D．30，30
【解答】解：这5天最高气温出现次数最多的是30，因此众数是30；
将这5天的最高气温从小到大排列，处在中间位置生物一个数是30，因此中位数是30，
故选：D．
4．（3分）（2020•随州）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．四棱锥
【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
故选：A．
5．（3分）（2020•随州）2x2-4÷1x2-2x的计算结果为（　　）
A．xx+2 B．2xx+2 C．2xx-2 D．2x(x+2)
【解答】解：原式=2(x+2)(x-2)÷1x(x-2)
=2(x+2)(x-2)×x（x﹣2）
=2xx+2．
故选：B．
6．（3分）（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（　　）
A．x+y=352x+4y=94 B．x+y=354x+2y=94
C．2x+y=35x+4y=94 D．x+4y=352x+y=94
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
根据题意，可列方程组为x+y=352x+4y=94，
故选：A．
7．（3分）（2020•随州）小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；
②停留一段时间时，离家的距离不变，
③乘车返回时，离家的距离减小至零，
纵观各选项，只有B选项符合．
故选：B．
8．（3分）（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（　　）

A．h＝R+r B．R＝2r C．r=34a D．R=33a
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
设OE＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R+r，故A正确；
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=12∠BAC=12×60°＝30°，
在Rt△AOE中，
∴R＝2r，故B正确；
∵OD＝OE＝r，
∵AB＝AC＝BC＝a，
∴AE=12AC=12a，
∴（12a）2+r2＝（2r）2，（12a）2+（12R）2＝R2，
∴r=3a6，R=33a，故C错误，D正确；
故选：C．

9．（3分）（2020•随州）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（　　）
A．1-5 B．3-5 C．1+5 D．3+5
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，
x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，
∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x
＝3x+2﹣4x﹣2+3x
＝2x，
解方程x2﹣x﹣1＝0得x1=1+52，x2=1-52，
∵x＞0，
∴x=1+52，
∴x4﹣2x3+3x＝2×1+52=1+5．
故选：C．
10．（3分）（2020•随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：
①2a+b＝0；
②2c＜3b；
③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a=-22．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x=-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确，
当x＝1时，0＝a﹣b+c，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴2c＝3b，故②错误；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0）
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4=9+9a2，
∴a=-73，
当AC＝BC时，4=1+9a2，
∴a=-153，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a=-22，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，
∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或-22，故④错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11．（3分）（2020•随州）计算：（﹣1）2+9=　4　．
【解答】解：（﹣1）2+9=1+3＝4．
故答案为：4．
12．（3分）（2020•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，AD是∠BAC的角平分线，若∠BOC＝120°，则∠CAD的度数为　30°　．

【解答】解：∵∠BAC=12∠BOC=12×120°＝60°，
而AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC＝30°．
故答案为30°．
13．（3分）（2020•随州）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方﹣﹣九宫图．将数字1～9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为　9　．

【解答】解：依题意，得：2+m+4＝15，
解得：m＝9．
故答案为：9．

14．（3分）（2020•随州）如图，△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为　116　．

【解答】解：∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，
∴S△DEF=14S△ABC，
又∵点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，
∴S△PMN=14S△DEF=116S△ABC，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为S△PMNS△ABC=116，
故答案为：116．
15．（3分）（2020•随州）如图，直线AB与双曲线y=kx（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为　2　．

【解答】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AM∥BN，
∴BNAM=CBCA=CNCM=12，
∴CN＝MN，
设BN＝a，则AM＝2a，
∵点A、B在反比例函数的图象上，
∴OM•AM＝ON•BN，
∴OM=12ON，即：OM＝MN＝NC，
设OM＝b，则OC＝3b，
∵△AOC的面积为3，即12OC•AM＝3，
∴12×3b×2a＝3，
∴ab＝1
∴S△AOM=12OM•AM=12×b×2a＝ab＝1=12|k|，
∴k＝﹣2（舍去），k＝2，
故答案为：2．

16．（3分）（2020•随州）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：
①△MHN∽△BCF；
②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；
③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；
④若DF=13DC，则折叠后重叠部分的面积为5512．
其中正确的是　①②③④　．（写出所有正确判断的序号）

【解答】解：①如图1，由折叠可知BF⊥MN，

∴∠BOM＝90°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHP＝90°＝∠BOM，
∵∠BPH＝∠OPM，
∴∠CBF＝∠NMH，
∵∠MHN＝∠C＝90°，
∴△MHN∽△BCF，
故①正确；
②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，
当F与D重合时，如图2，此时MN最大，

由勾股定理得：BD＝5，
∵OB＝OD=52，
∵tan∠DBC=ONOB=CDBC，即ON52=34，
∴ON=158，
∵AD∥BC，
∴∠MDO＝∠OBN，
在△MOD和△NOB中，
∵∠MDO=∠OBNOD=OB∠DOM=∠BON，
∴△DOM≌△BON（ASA），
∴OM＝ON，
∴MN＝2ON=154，
∵点F在线段CD上（不与两端点重合），
∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜154；
故②正确；
③如图3，连接BM，FM，

当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，
∵AD＝BC＝4，
∴AM＝BH＝1，
由勾股定理得：BM=32+12=10，
∴FM=10，
∴DF=FM2-DM2=(10)2-32=1，
∴CF＝3﹣1＝2，
设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，
在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，
∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，
解得：x=32，
∴HN=32，
∵CH＝3，
∴CN＝HN=32，
∴N为HC的中点；
故③正确；
④如图4，连接FM，
∵DF=13DC，CD＝3，

∴DF＝1，CF＝2，
∴BF=22+42=25，
∴OF=5，
设FN＝a，则BN＝a，CN＝4﹣a，
由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，
∴a2＝（4﹣a）2+22，
∴a=52，
∴BN＝FN=52，CN=32，
∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，
∠CFN+∠CNF＝90°，
∴∠DFQ＝∠CNF，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△QDF∽△FCN，
∴QDFC=DFCN，即QD2=132，
∴QD=43，
∴FQ=12+(43)2=53，
∵tan∠HMN＝tan∠CBF=HNHM=CFBC，
∴HN3=24，
∴HN=32，
∴MN=32+(32)2=352，
∵CH＝MD＝HN+CN=32+32=3，
∴MQ＝3-43=53，
∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF=12⋅MN⋅OF+12⋅MQ⋅DF=12×352×5+12×53×1=5512；
故④正确；
所以本题正确的结论有：①②③④；
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（5分）（2020•随州）先化简，再求值：a（a+2b）﹣2b（a+b），其中a=5，b=3．
【解答】解：原式＝a2+2ab﹣2ab﹣2b2
＝a2﹣2b2
当a=5，b=3时，
原式＝（5）2﹣2×（3）2＝5﹣6＝﹣1．
18．（7分）（2020•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【解答】解：（1）∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）
＝4m2+4m+1﹣4m+8
＝4m2+9＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）由根与系数的关系得出x1+x2=-(2m+1)x1x2=m-2，
由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，
解得m＝8．
19．（10分）（2020•随州）根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄x（岁）
人数
男性占比
x＜20
4
50%
20≤x＜30
m
60%
30≤x＜40
25
60%
40≤x＜50
8
75%
x≥50
3
100%
（1）统计表中m的值为　10　；
（2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为　180°　；
（3）在这50人中女性有　18　人；
（4）若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
【解答】解：（1）因为50﹣4﹣25﹣8﹣3＝10，
所以统计表中m的值为10；
故答案为：10；
（2）因为年龄在“30≤x＜40”部分的人数为25，
所对应扇形的圆心角的度数为：360°×2550=180°；
故答案为：180°；
（3）因为4×50%+10×（1﹣60%）+25×（1﹣60%）+8×（1﹣75%）＝18
所以在这50人中女性有18人；
故答案为：18；
（4）因为年龄在“x＜20”的4人中有2名男性，2名女性，
设2名男性用A，B表示，2名女性用C，D表示，
根据题意，画树状图如下：

由上图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，
所以恰好抽到2名男性的概率为：212=16．
20．（8分）（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．
（1）求A与C之间的距离；
（2）求天线BE的高度．（参考数据：3≈1.73，结果保留整数）

【解答】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝25米，
∵CD＝5米，
∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），
即A与C之间的距离是30米；
（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，
∴AE＝30•tan60°＝303（米），
∵AB＝25米，
∴BE＝AE﹣AB＝（303-25）米，
∵3≈1.73，
∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．
即天线BE的高度为27米．
21．（9分）（2020•随州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=35，求ED的长．

【解答】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC＝OD，
∴∠OCM＝∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB＝BD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴∠OMC＝∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM过O，
∴MN是⊙O的切线；

（2）解：连接DM，CE，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD＝CD＝5，
∴M为BC的中，
∵sinB=35，
∴cosB=45，
在Rt△BMD中，BM＝BD•cosB＝4，
∴BC＝2BM＝8，
在Rt△CEB中，BE＝BC•cosB=325，
∴ED＝BE﹣BD=325-5=75．
22．（10分）（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p（元/只）
2
3
4
5
6
销量q（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为　m≥85　．
【解答】解：（1）根据表格数据可知：
前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：
p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；
q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；
（2）当1≤x≤5且x为整数时，
W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）
＝5x2+1352x+652；
当6≤x≤30且x为整数时，
W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）
＝﹣x2+40x﹣100．
即有W=5x2+1352x+652，1≤x≤5且x为整数-x+40x-100，6≤x≤30且x为整数，
当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当x＝5时，W有最大值为：495元；
当6≤x≤30且x为整数时，
W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，
故当x＝20时，W有最大值为：300元；
由495＞300，可知：
第5天时利润最大为495元．
（3）根据题意可知：
获得的正常利润之外的非法所得部分为：
（2﹣0.5﹣0.5）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），
∴1250m≥2000，
解得m≥85．
则m的取值范围为m≥85．
故答案为：m≥85．
23．（11分）（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　3　个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）
①a2+b2+c2+d2＝　m2　；
②b与c的关系为　b＝c　，a与d的关系为　a+d＝m　．

【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
（2）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2=12ab×4+（b﹣a）2，
化简得：a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2+12ab×4，
化简得：a2+b2＝c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即12（a+b）（a+b）=12ab×2+12c2，
化简得：a2+b2＝c2．
（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；
故答案为3；
②结论：S1+S2＝S3．
∵S1+S2=12π（a2）2+12π（b2）2+S3-12π（c2）2，
∴S1+S2=18π（a2+b2﹣c2）+S3，
∴a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝S3．
（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；
②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．
故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．
24．（12分）（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x=32，其图象与x轴交于点A和点B （4，0），与y轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
【解答】解：（1）由题意：-b2a=3216a+4b+1=0，
解得a=-14b=34，
∴抛物线的解析式为y=-14x2+34x+1，
令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），
令y＝0，得到x＝1，
∴C（0，1），
∴OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°．

（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．

∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，
∴∠NME+∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，
∴∠NME＝∠MDF，
∵NM＝DM，
∴△MEN≌△DFM（AAS），
∴NE＝MF，EM＝DF，
∵∠CAO＝45°，AN=2t，AM＝3t，
∴AE＝EN＝t，
∴EM＝AM﹣AE＝2t，
∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，
∴D（4t﹣1，2t），
∴-14（4t﹣1）2+34（4t﹣1）+1＝2t，
∵t＞0，故可以解得t=34，
经检验，t=34时，M，N均没有达到终点，符合题意，
∴D（2，32）．

（3）如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，

取E（12，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，
∵M（54，0），D（2，32），B（4，0）
∴FM＝2-54=34，DM=354，BM=114，BD=52，
∴DF＝2MF，
∵OC＝2OE，
∴tan∠OCE＝tan∠MDF=12，
∴∠OCE＝∠MDF，
∴∠OCP＝∠MDB，
∴∠ECG＝∠FDB，
∴tan∠ECG＝tan∠FDB=43，
∵EC=52，
∴EG=253，可得G（116，23），
∴直线CP的解析式为y=-211x+1，
由y=-211x+1y=-14x2+34x+1，解得x=0y=0或x=4111y=39121，
∴P（4111，39121），
∴PC=41511，
当MDCQ=BDCP或MDPC=BDCQ时，△QCP与△MDB相似，可得CQ=615242或2050363，
∴Q（0，-373242）或（0，-1687363）．
如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于k．

∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，
∴OK＝2OC＝2，
∴点K与F重合，
∴直线PC的解析式为y=-12x+1，
由y=-12x+1y=-14x2+34x+1，解得x=0y=1或x=5y=-32，
∴P（5，-32），
∴PC=552，
当DMPC=BMCQ或DMCQ=BMPC时，△QCP与△MDB相似，可得CQ=556或7522，
∴Q（0，-496）或（0，-5322）．
当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（253，-919），Q（0，-25718）或（0，115199），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠DMB时，同法可得P（1，32），Q（0，176）或（0，3722），
当点Q在点C上方，∠QCP＝∠MDB时，同法可得P（2511，171121），Q（0，617242）或（0，1613363），
当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，∠QCP＝∠DBM时，同法可得P（-73，-199），Q（0，-5918）或（0，-25199）．