【2023届必备】2023版高考一轮复习训练36　概率与统计的综合问题

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练36　概率与统计的综合问题，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练36　概率与统计的综合问题一、单选题1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　由分布列的性质得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝m×＋m×2＋m×3＝＝1，∴m＝.2．设0<P(A)<1,0<P(B)<1，则“P(A|B)＋P(|)＝1”是“A与B相互独立”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　若P(A|B)＋P(|)＝1，则P(A|B)＝1－P(|)＝P(A|)，即B发生与否对A不影响，故A与B相互独立；若A与B相互独立，则与相互独立，则P(A|B)＝P(A)，P(|)＝P()，所以P(A|B)＋P(|)＝1.所以“P(A|B)＋P(|)＝1”是“A与B相互独立”的充要条件．3．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层)．国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x～N(0.937 2，0.013 92)．若生产状态正常，有如下命题：甲：P(x≤0.9)<0.5；乙：x的取值在(0.93,0.943 9)内的概率与在(0.937 2，0.951 1)内的概率相等；丙：P(x<0.9)＝P(x>0.974 4)；丁：记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率不小于μ＋2σ的数量，则P(ξ≥1)>0.6.(参考数据：若x～N(μ，σ2) (σ>0)，则P(μ－σ<x<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<x<μ＋2σ)≈0.954, P(μ－3σ<x<μ＋3σ)≈0.997；0.9850≈0.364)其中假命题是(　　)A．甲  B．乙  C．丙  D．丁答案　B解析　由x～N(0.937 2，0.013 92)知，μ＝0.937 2，σ＝0.013 9，对于甲，由正态密度曲线，可得P(x≤0.9)<P(x<0.937 2)＝0.5，故甲为真命题；对于乙，0.943 9－0.93＝0.013 9,0.951 1－0.937 2＝0.013 9两个区间长度均为1个σ，但μ>0.93，由正态分布性质知，落在(0.93,0.943 9)内的概率大于落在(0.937 2,0.951 1)内的概率，故乙是假命题；对于丙，由＝0.937 2知，丙是真命题；对于丁，1只口罩的的过滤率不小于μ＋2σ的概率p≈＝0.023，ξ～B(50，p)，所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)50>1－(1－0.02)50，1－(1－0.02)50＝1－0.9850≈1－0.364＝0.636>0.6，故丁是真命题．4．设a∈，随机变量X的概率分布如表所示，随机变量Y满足Y＝3X＋2，则当a在上增大时，关于D(Y)的表述，下列正确的是(　　)X－2－10P2bb－aa A.D(Y)增大B．D(Y)减小C．D(Y)先增大后减小D．D(Y)先减小后增大答案　A解析　由分布列的性质得，2b＋(b－a)＋a＝1，可得b＝，∴E(X)＝－2×＋(－1)×＝a－，E(X2)＝4×＋1×＝3－a， ∴D(X)＝E(X2)－E2(X)＝3－a－2＝－2＋，又D(Y)＝9D(X)＝－92＋，∴a在上增大时，D(Y)增大．二、多选题5．设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，0<P(A)<1,0<P(B)<1，给出下列各式，其中正确的是(　　)A．P(A＋B)＝P(B)B．P(B|A)＝C．P(A|B)＝1D．P(AB)＝P(A)答案　BC解析　∵B发生A必定发生，∴B⊆A，P(A＋B)＝P(A)，P(AB)＝P(B)，故A，D不正确；P(B|A)＝＝，故B正确；P(A|B)＝＝1，故C正确．6．(2022·烟台模拟)骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6，现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n＋n，则算闯过第n关，n＝1,2,3,4，假定每次闯关互不影响，则(　　)A．直接挑战第2关并过关的概率为B．连续挑战前两关并过关的概率为C．若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则P(A|B)＝D．若直接挑战第4关，则过关的概率是答案　ACD解析　A选项，总的样本点为36，点数之和大于6的总共有21种，∴P＝＝，A正确；B选项，挑战第1关并过关的概率P1＝，连续挑战前两关并过关的概率P＝×＝，∴B错误；C选项，事件B包含的样本点有C×C×C＋C×C＋1＝91(个)，事件AB包含的样本点有A＋1＝7(个)，P(A|B)＝＝，C正确；D选项，直接挑战第四关，总的样本点数为64＝1 296，点数之和超过20的有以下几类：(5,5,5,6)，4个；(5,5,6,6)，6个；(5,6,6,6)，4个；(6,6,6,6)，1个；(4,6,6,6)，4个；(3,6,6,6)，4个；(4,5,6,6)，12个，总计35个，P＝，D正确．三、填空题7．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是______．答案　解析　设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，此时的概率为P( A)＝××＝；②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为P(  B)＝×××＝.故停止射击时，甲射击了两次的概率是＋＝.8．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.954)．答案　32解析　根据正态密度曲线的对称性知，要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954，则(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5,0.5)，且μ＝0，σ＝，所以0.5≥2⇒n≥32.四、解答题9．习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化，打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥．要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”．某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率直方图如图．(1)求直方图中x的值；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)，[280,300]的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从[240,260)，[260,280)，[280,300]这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有ξ家在[240,260)组，求随机变量ξ的概率分布与均值．解　(1)由题意知，(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x＝0.007 5.(2)年平均销售量为[220,240)共有0.012 5×20×100＝25(家)，年平均销售量为[240,260)共有0.007 5×20×100＝15(家)，年平均销售量为[260,280)共有0.005×20×100＝10(家)，年平均销售量为[280,300]共有0.002 5×20×100＝5(家)，抽样比＝，则年平均销售量为[240,260)抽取15×＝3(家)，年平均销售量为[260,280)抽取10×＝2(家)，年平均销售量为[280,300]抽取5×＝1(家)．(3)由题意知，ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，ξ的概率分布为ξ0123P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.10．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率直方图．(1)求频率直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80,90)的人数，求ξ的概率分布和均值；(3)转化为百分制后，规定成绩在[90,100]的为A等级，成绩在[70,90)的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B等级的人数为k的概率为P(η＝k)，写出P(η＝k)的表达式，并求出当k为何值时，P(η＝k)最大？解　(1)由题意得，(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1，解得m＝0.012，因为(0.004＋0.022)×10＝0.26<0.5，(0.004＋0.022＋0.030)×10＝0.56>0.5，所以中位数在[60,70)内，设中位数为x， 则(0.004＋0.022)×10＋(x－60)×0.03＝0.5，解得x＝68，所以这50名学生成绩的中位数为68.(2)[70,80)，[80,90)，[90,100]三组数据频率比为0.28∶0.12∶0.04＝7∶3∶1，所以从[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中分别抽取7人，3人，1人，则ξ可取0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，则ξ的概率分布为ξ0123P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(3)B等级的概率为(0.028＋0.012)×10＝0.4，则B等级有40人，所以P(η＝k)＝C0.4k0.6100－k，k＝0,1,2，…，40，所以即解得39.4≤k≤40.4，所以当k＝40时，P(η＝k)有最大值．