【2023届必备】2023版高考一轮复习训练18　平面向量的数量积

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练18　平面向量的数量积，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练18　平面向量的数量积一、单选题1．(2022·南充模拟)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°答案　C解析　设a与b的夹角为θ，|a|＝＝1，所以cos θ＝＝，结合0°≤θ≤180°，得θ＝60°.2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，t)，则下列说法不正确的是(　　)A．若a∥b，则t的值为－B．若|a＋b|＝|a－b|，则t的值为2C．|a＋b|的最小值为1D．若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是t<2答案　D解析　A选项，若a∥b，则－2×t＝1×1⇒t＝－，A选项说法正确；B选项，若|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，即－2＋t＝0⇒t＝2，B选项说法正确；C选项，|a＋b|＝|(－1,1＋t)|＝，当t＝－1时，有最小值为1，C选项说法正确；D选项，若a与b的夹角为钝角，则⇒⇒D选项说法不正确．3．(2022·苏州模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－  B.  C．1  D．－8答案　B解析　设＝a，＝b，所以＝＝(－)＝(b－a)，＝＝(b－a)，＝＋＝－a＋(b－a)＝－a＋b，所以·＝－a·b＋b·b＝－×1×1×＋×12＝.4．(2022·钦州、柳州模拟)已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面内一点，满足·(＋)＝0，则||的最小值是(　　)A.   B.C．1   D.答案　D解析　设边AB的中点为D，则＋＝2，·(＋)＝0，即为·＝0，则点P在以CD为直径的圆上，且||＝，则半径r＝，设CD的中点为O，则||的最小值为||－r＝－＝.二、多选题5．(2022·深圳模拟)已知e1，e2是两个相互垂直的单位向量，a＝e1－2e2，b＝λe1＋e2，则下列说法正确的是(　　)A．若a∥b，则λ＝－B．当λ＝3时，a，b夹角的余弦值为C．存在λ使得a⊥b与|a|＝|b|同时成立D．不论λ为何值，总有|a＋b|≥1成立答案　ACD解析　由于e1，e2是两个相互垂直的单位向量，故可设a＝(1，－2)，b＝(λ，1)．对于A选项，a∥b，则1×1＝(－2)×λ⇒λ＝－，A正确；对于B选项，cos〈a，b〉＝＝＝，B错误；对于C选项，a·b＝λ－2＝0⇒λ＝2.当λ＝2时，|a|＝，|b|＝，C正确；对于D选项，|a＋b|＝|(λ＋1，－1)|＝≥1，D正确．6．(2022·武汉模拟)下列说法中正确的是(　　)A．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是B．向量e1＝(2，－3)，e2＝不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量a，b，满足|a|>|b|且a与b同向，则a>bD．非零向量a和b，满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°答案　BD解析　对于A，因为a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，所以a·(a＋λb)＝(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＝1＋λ＋4＋2λ＝3λ＋5>0，且λ≠0(当λ＝0时，a与a＋λb的夹角为0°)，所以λ>－且λ≠0，故A错误；对于B，向量e1＝4e2，即e1，e2共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；对于C，向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；对于D，因为|a|＝|a－b|，两边平方得|b|2＝2a·b，又|a|＝|b|，则a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝|a|2，|a＋b|＝＝＝|a|，故cos〈a，a＋b〉＝＝＝，而两向量的夹角范围为[0，π]，所以a和a＋b的夹角为30°，故D正确．三、填空题7．(2022·济南模拟)已知平面向量a，b，满足|b|＝，(a－b)⊥b，则a·b的值为________．答案　2解析　∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0⇒a·b＝b2＝|b|2＝2.8．(2022·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|，|a＋2b|＝|a|，则向量a，b的夹角为______．答案　解析　由|a＋2b|＝|a|，得|a＋2b|2＝3|a|2，又|a|＝|b|，∴|a|2＋4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝5|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝3|a|2，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.四、解答题9．已知向量＝(0,1)，＝(1,3)，＝(k，4)，O为坐标原点．(1)若⊥，求实数k的值；(2)在(1)的条件下，求向量＋与的夹角的余弦值．解　(1)由已知得＝－＝(1,3)－(0,1)＝(1,2)，＝－＝(k，4)－(0,1)＝(k，3)，∵⊥，∴·＝0，k＋6＝0，∴k＝－6.(2)∵k＝－6，∴＝(－6,3)，设向量＋与的夹角为θ，∵＋＝(1,2)＋(－6,3)＝(－5,5)，＝(－6,3)，∴(＋)·＝(－5)×(－6)＋5×3＝45，|＋|＝＝5，||＝＝3，cos θ＝＝＝＝.10．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若O是锐角△ABC内的一点，A，B，C是△ABC的三个内角，且点O满足·＝·＝·.(1)证明：点O为△ABC的垂心；(2)证明：tan A·＋tan B·＋tan C·＝0.证明　(1) 如图，因为·＝·＝·，所以·(－)＝0⇒·＝0，同理·＝0，·＝0.所以O为△ABC的垂心．(2)因为四边形DOEC的对角互补，所以∠AOB＝π－C，所以·＝||||cos(π－C)＝－||||cos C.同理，·＝－||||cos A，·＝－||||cos B，所以||||cos C＝||||cos A＝||||cos B，所以＝＝，∴||∶||∶||＝cos A∶cos B∶cos C.又SA＝||||sin(π－A)＝||||sin A，SB＝||||sin(π－B)＝||||sin B，SC＝||||sin(π－C)＝||||sin C，∴SA∶SB∶SC＝∶∶＝∶∶＝tan A∶tan B∶tan C.由奔驰定理得tan A·＋tan B·＋tan C·＝0.