【2023届必备】2023版高考一轮复习训练34　随机事件的概率与古典概型

训练34　随机事件的概率与古典概型

一、单选题

1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的(　　)

A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

B．频率是客观存在的，与试验次数无关

C．概率是随机的，在试验前不能确定

D．频率就是概率

答案　A

解析　事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次试验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，这个常数就是事件A的概率．

∴随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．

2．(2022·包头模拟)为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好是连续2天的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由题意，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，

可得样本点的总数为n＝C＝10(个)，

其中选择的2天恰好为连续2天包括的样本点的个数为m＝4，

所以选择的2天恰好是连续2天的概率P＝＝＝.

3．(2022·滁州质检)习近平总书记在安徽考察时指出，长江生态环境保护修复，一个是治污，一个是治岸，一个是治渔．为了保护长江渔业资源和生物多样性，某市从2020年1月1日起全面实施长江禁渔10年的规定．某科研单位需要从长江中濒临灭绝的白豚、长江江豚、达氏鲟、白鲟、中华鲟这5种鱼中随机选出3种进行调查研究，则白鲟和中华鲟同时被选中的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　5种鱼中随机选出3种的取法：C＝10，

白鲟和中华鲟同时被选中的取法：CC＝3，

所以白鲟和中华鲟同时被选中的概率P＝.

4．(2022·揭阳模拟)从包括甲、乙在内的7名学生中选派4名学生排序参加演讲比赛，则甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　甲和乙参加的概率为，甲和乙演讲顺序不相邻的概率为，

所求概率为·＝×＝或直接为＝.

二、多选题

5．某次数学考试中有一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分”．已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是(　　)

A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是

B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是

C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是

D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是

答案　ABC

解析　对于A，甲同学仅随机选一个选项，有A，B，C，D四种情况，能得2分的有C或D，有2种，所以能得2分的概率是＝，故选项A正确；

对于B，乙同学仅随机选两个选项，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，能得5分的情况为CD，只有1种情况，所以能得5分的概率是，故选项B正确；

对于C，丙同学随机至少选择一个选项，

选一个选项，有A，B，C，D共4种情况；

选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；

选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，

选四个选项有ABCD共1种，所以共有4＋6＋4＋1＝15(种)情况，

能得分的有C，D，CD共3种情况，所以能得分的概率是＝，故选项C正确；

对于D，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，所以共有6＋4＋1＝11(种)情况，能得分的有CD共1种情况，所以能得分的概率是，故选项D错误．

6．已知事件A，B，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是(　　)

A．如果B⊆A，那么P(A∪B)＝0.4，P(AB)＝0.2

B．如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.6，P(AB)＝0

C．如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.6，P(AB)＝0

D．如果A与B相互独立，那么P( )＝0.48，P(B)＝0.12

答案　ABD

解析　如果B⊆A，那么P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2，A正确；

如果A与B互斥，那么P(AB)＝0，

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.6，B正确；

如果A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)＝0.08，C错；

P(B)＝P()P(B)＝(1－0.4)×0.2＝0.12，P( )＝P()P()＝0.6×0.8＝0.48，D正确．

三、填空题

7．(2022·皖西联盟模拟)若从集合{1,2,3,5,7,8,10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率为______．

答案　

解析　集合{1,2,3,5,7,8,10}里共有7个元素，其中4个是奇数，故所求概率为.

8．魔方，又叫鲁比克方块，是由匈牙利布达佩斯建筑学院的厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋同被称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方(如图所示)可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为________，抽到的是中心方块或边角方块的概率为________．

答案　　

解析　沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个，所以恰好抽到边缘方块的概率为＝.抽到的是中心方块或边角方块的概率是＋＝.

四、解答题

9．某校近几年加大了对学生奥赛的培训力度，为了选择培训的对象，今年5月该校进行了一次化学竞赛．现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成五组：第1组[50,60)，第2组[60,70)，第3组[70,80)，第4组[80,90)，第5组[90,100]．得到如图所示的频率直方图，观察图形，回答下列问题：

(1)求a的值，并求这组数据的中位数(中位数结果保留两位小数)；

(2)已知分数在[50,60)之间的男生与女生的比例为3∶2，从分数在[50,60)内的同学中随机抽取2人，求这2人均为男生的概率．

解　(1)由题意得10×a＋(0.020＋0.030＋0.025＋0.020)×10＝1，解得a＝0.005.

设该组数据的中位数是x，则10×(0.005＋0.020)＋(x－70)×0.030＝0.5，

经计算，得x≈78.33，故该组数据的中位数约为78.33.

(2)第1组人数为100×10×0.005＝5，则男生3人，女生2人．

将男生记为a，b，c，女生记为A，B.从这5人中随机抽取2人的情况有(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种；

被抽到的2人均为男生的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种．

故被抽到的2人均为男生的概率P＝.

10．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了楼市限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府岀台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人均月收入(单位：千元)的户数频率直方图如图，其中赞成限购的户数如下表：

(1)若从人均月收入在[9,11)的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户中至少有一户赞成楼市限购令的概率；

(2)若将小区人均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”，根据已知条件完成所给的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．

附：临界值表

参考公式：χ2＝，

n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)由直方图知，人均月收入在[9,11)的住户共有50×0.06×2＝6(户)，其中有3户赞成，3户不赞成．

设事件A为“所抽取的两户中至少有一户赞成楼市限购令”，则由古典概型概率计算公式可知P(A)＝＝.

(2)依题意可得，2×2列联表如下：

提出假设H0：“收入的高低”与“赞成楼市限购令”无关．根据2×2列联表中的数据可得，

χ2＝＝≈6.349<6.635，

所以没有99%的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．