2021-2022学年浙江省杭州市钱塘新区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市钱塘新区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 红细胞的平均直径是，数科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列分式中，最简分式是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算中，计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列图形中，与是同位角的有(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列调查适合抽样调查的是(    )

A. 审查书稿中的错别字
B. 对乘坐飞机的乘客进行安检
C. 对某市中学生的用眼情况进行调查
D. 新型冠状病毒肺炎疫情期间，某小区对进出人员测量体温

6. 下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 若的值使得成立，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将三角形沿射线平移到三角形的位置，则下列说法不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种植棵树．由于青年志愿者的加入，每日比原计划多种，结果提前天完成任务．设志愿者加入后每天种树棵，则所列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，和的平分线交于点若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 因式分解：______．
12. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______．
13. 如图是某种植户种植树木的统计图，如果杨树种了棵，那么松树种了______棵．

14. 如图，已知，，，则______度．

15. 对于任意实数，，定义关于“@”的一种运算如下：@如@若@，且@，则______．
16. 如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，则图中阴影部分面积______．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 计算：
    ．
    ．
18. 计算：；
    解方程：．
19. 为了解七年级学生的身体素质情况，体育老师对班名同学进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出频数表和频数分布直方图不完整如下所示．
    班一分钟跳绳次数测试频数表

根据图表提供的信息，回答下列问题：
求班一分钟跳绳次数测试频数表中的值，并把频数分布直方图补充完整．
若七年级学生一分钟跳绳次数为不合格．试估计该校七年级名学生中跳绳不合格的共有多少人．

20. 如图，已知，射线平分，交于点．
    与平行吗？请说明理由．
    若，求的度数．

21. 点点在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
    解：将方程变形：，即
    把方程代入得：，所以．
    把代入得，．
    所以方程组的解为．
    请你模仿点点的“整体代换”法解方程组．
    表示一个两位数，其中为的整数．圆圆在研究平方的规律时发现：
    ．
    ．
    
    猜想的结果，并说明理由．
22. 如图，种小麦试验田是边长为的正方形中减去一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分；种小麦试验田是边长为的正方形．
    设两块试验田都收获了小麦，求，两种小麦单位面积产量的比．
    当时，，两种小麦单位面积产量哪个较大？
    若，两种小麦单位面积产量相同，求，满足的关系式．

23. 李老师想买一些球拍和书包奖励给学生，他看中的两种商品在甲，乙两家超市的标价相同．球拍和书包的单价之和为元，球拍的单价比书包的单价倍多元．
    李老师看中的球拍和书包的单价各是多少元？
    “六一”期间，甲，乙两超市举办让利活动：甲超市所有商品以相同折扣打折销售，乙超市球拍不打折，书包打折销售．
    李老师发现在甲超市用元买的书包比用元买的球拍多件，问甲超市的商品打几折销售．
    在的折扣条件下，李老师发现买一定量的球拍和书包，乙超市更省钱．设买球拍副，书包个，求李老师所有的购买方案．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、该分式是最简分式，故此选项符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简分式定义进行分析即可．
此题主要考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式的运算法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方的运算法则，单项式乘单项式的运算法则，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：和是同位角；
和不是同位角；
和是同位角；
和不是同位角；
即与是同位角的有，
故选：．
根据同位角的定义判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：审查书稿中的错别字，适合使用全面调查，因此选项A不符合题意；
B.对乘坐飞机的乘客进行安检，适合使用全面调查，必须使用因此选项B不符合题意；
C.对某市中学生的用眼情况进行调查，适合使用抽样调查，因此选项C符合题意；
D.新型冠状病毒肺炎疫情期间，某小区对进出人员测量体温，适合使用全面调查，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
C、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
的值为．
故选：．
两个代数式相等，即对应项的系数相同，把右边的式子化简，得到的常数项就是的值．
主要考查完全平方公式的运用；把能算出的式子应先算出答案．
 

8.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知：，，，，
故选项A说法不正确，符合题意；
选项B、、说法正确，不符合题意；
故选：．
根据平移的性质判断即可．
本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据结果提前天完成任务，列分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图：

过点，，作，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
和是角平分线，
，
，
，
，
，，
，
即．
故选：．
过点，，作的平行线，容易得出，和是角平分线，所以，进一步求即可．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程移项，得，
．
故答案为：．
把看成常量，把看成未知数，求解关于的一次方程即可
本题考查了二元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：通过扇形图知道杨树棵占，
所以总数为，
所以松树有棵，
故答案为：．
首先利用杨树的棵树和所占的百分比求得总数，然后求得松树的棵树即可．
本题考查了扇形统计图的知识，解题的关键是读懂统计图并能从统计图中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行线的性质定理求解即可．
本题考查的是平行线的性质，是一道较为简单的题目．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义化简得：
，
得：，
则．
故答案为：．
已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，两方程相加即可求出所求．
此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题知，，．
，
，
，
，，，
阴影部分面积




．
故答案为：．
由长方形的周长，面积为，确定，，通过观察图形分别用含有和的式子表示出阴影部分的面积、、，然后整理化简，通过完全平方公式计算出，从而求出值．
本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出和的形式是本题的关键，由和，利用完全平方公式变形计算出，从而求出面积．
 

17.【答案】解：原式；
原式
． 

【解析】原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；
原式利用完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

18.【答案】解：


；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】根据同分母分式的加减法法则，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了分式加减法，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
补全图形如下：

估计该校七年级名学生中跳绳不合格的共有人． 

【解析】由组人数之和等于总人数可求得的值，据此可补全图形；
用总人数乘以样本中第、组人数和所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

20.【答案】解：，理由如下：
，，
，
；
，，
，
平分，
，
，
，
，
． 

【解析】根据对顶角性质、平行线的判定定理求解即可；
根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：
将方程变形得：，
把方程代入得：，
解得：，
将代入得：，
所以原方程组的解为；

由．
．
．

可猜想：理由如下：



，
． 

【解析】仿照材料中的解题思路，将方程组变形后，“整体代换”即可求出解；
根据所给的例子发现：根据完全平方公式展开后，再将前两项分解因式即可得证．
本题考查了数的十进制，规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚式子的规律．
 

22.【答案】解：根据题意得：种小麦：，种小麦：，
则，两种小麦单位面积产量的比为：；
把代入得：，，
，
种小麦单位产量较大；
根据题意得：，
整理得：，
，，
，
整理得：． 

【解析】分别表示出两个阴影部分面积，根据收获的小麦重量求出各自的单位面积产量，进而求出之比即可；
把代入比较大小即可；
根据两种小麦单位面积产量相同，确定出与的关系式即可．
此题考查了分式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
 

23.【答案】解：设李老师看中的球拍的单价为元，书包的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：李老师看中的球拍的单价为元，书包的单价为元；
设甲超市的商品打折销售，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：甲超市的商品打折销售；
由题意得：，
解得：，
为正整数，
或或，
李老师所有的购买方案为：买球拍副，书包个或买球拍副，书包个或买球拍副，书包个． 

【解析】设李老师看中的球拍的单价为元，书包的单价为元，由题意：球拍和书包的单价之和为元，球拍的单价比书包的单价倍多元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设甲超市的商品打折销售，由题意：李老师发现在甲超市用元买的书包比用元买的球拍多件，列出分式方程，解方程即可；
由题意：李老师发现买一定量的球拍和书包，乙超市更省钱，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．