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【2023届必备】2023版高考一轮复习训练10 导数与函数的极值、最值
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这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练10 导数与函数的极值、最值,共6页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
训练10 导数与函数的极值、最值一、单选题1.对于函数f(x)=,下列结论正确的是( )A.有最小值 B.有最小值-C.有最大值 D.有最大值-答案 C解析 f′(x)=,令f′(x)>0,得x<1,令f′(x)<0,得x>1,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故x=1是函数f(x)的极大值点,也是最大值点,故函数f(x)的最大值为f(1)=.2.已知函数f(x)=(x2+a2x+1)ex,则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 f′(x)=[x2+(a2+2)x+a2+1]ex=(x+1)(x+a2+1)ex.令f′(x)=0,得x=-1或x=-a2-1.①当a=0时,f′(x)=(x+1)2ex≥0.故f(x)在R上单调递增,f(x)无极小值;②当a≠0时,-a2-1<-1,故当x<-a2-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当-a2-1<x<-1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)在x=-1处取得极小值.综上,函数f(x)在x=-1处取得极小值⇔a≠0.所以 “a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的充分不必要条件.3.若曲线y=x2-aln(2x+1)在x=1处取得极值,则实数a的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 y′=2x-,由条件可知,当x=1时,2-=0,解得a=3,当a=3时,y′=2x-==,当y′>0时,x>1,函数的单调递增区间是(1,+∞),当y′<0时,-<x<1,函数的单调递减区间是,所以当x=1时,函数取得极小值,满足条件.所以实数a的值是3.4.已知函数f(x)=ln x-x+a恰有两个零点,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1) B.(-∞,1)C.(-1,+∞) D.(1,+∞)答案 D解析 令f(x)=ln x-x+a=0,得a=-ln x+x.设g(x)=-ln x+x,则g′(x)=-+1=.由g′(x)>0,得x>1;由g′(x)<0,得0<x<1.所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(1)=1,即a>1.二、多选题5.已知函数f(x)=excos x,则下列有关f(x)的叙述正确的是( )A.在x=0处的切线方程为y=x+1B.在上是减函数C.x=是极大值点D.在上的最小值为0答案 ACD解析 f(x)=excos x,所以f′(x)=excos x-exsin x=ex(cos x-sin x),f(0)=1,f′(0)=1-0=1,所以函数在x=0处的切线方程为y-1=x-0,即y=x+1,A正确;f′(x)=ex(cos x-sin x),当x∈时,cos x>sin x,所以cos x-sin x>0,所以f′(x)>0,所以函数在上是增函数,B错误;f′(x)=ex(cos x-sin x),当x∈时,cos x>sin x,f′(x)>0,当x∈时,cos x<sin x,f′(x)<0,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以x=是极大值点,C正确; 由B,C可知,当x∈时,f′(x)>0 ,函数单调递增,当x∈时,f′(x)<0,函数单调递减,f =cos =0,f =cos=0.所以函数在上的最小值为0,D正确.6.已知函数f(x)=x2ln x,下列说法正确的是( )A.当x>1时,f(x)>0;当0<x<1时,f(x)<0B.函数f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞)C.函数f(x)的值域为D.f(x)≥x-1恒成立答案 ACD解析 对于选项A,当0<x<1时,ln x<0,当x>1时,ln x>0,故选项A正确;对于选项B,f′(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f′(x)>0,可得2ln x+1>0,有x>,可知函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,故选项B错误;对于选项C,由上可知f(x)min=f =ln =-,当x→+∞时,f(x)→+∞,故选项C正确;对于选项D,f(x)≥x-1⇔x2ln x-x+1≥0⇔ln x-+≥0,令g(x)=ln x-+,有g′(x)=+-==,令g′(x)>0,可得x>1,故函数g(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),可得g(x)min=g(1)=0,故选项D正确.三、填空题7.当x∈[0,2π]时,函数f(x)=xsin x+cos x的最大值与最小值的和为________.答案 -π解析 f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x∈∪时,f′(x)≥0;当x∈时,f′(x)≤0,∴f(x)在,上是增函数,在上是减函数,f(0)=1,f =,f =-,f(2π)=1,∴f(x)的最大值为,最小值为-,它们的和为-π.8.(2022·深圳光明区模拟)函数f(x)=-2x-|ln x|+2的最大值为____________.答案 1-ln 2解析 由题意知,当x≥1时,f(x)=-2x-ln x+2,∴f′(x)=-2-<0,∴f(x)在[1,+∞)上为减函数,∴f(x)max=f(1)=0,当0<x<1时,f(x)=-2x+ln x+2,∴f′(x)=-2+=,∴当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0,∴f(x)max=f =1-ln 2>0, 综上可知,f(x)max=1-ln 2.四、解答题9.已知函数f(x)=2xln x+ax2,g(x)=4ln x+1.(1)若函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;(2)若a≥1,证明:f(x)≥g(x).(1)解 因为函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f′(x)=2ln x+2+2ax≤0在(0,+∞)上恒成立,则a≤--在(0,+∞)上恒成立;令h(x)=--,x>0,则h′(x)=-+=,令h′(x)<0,得0<x<1,h(x)单调递减;令h′(x)>0,得x>1,h(x)单调递增,则h(x)的最小值为h(1)=-1,所以a≤-1.(2)证明 令F(x)=f(x)-g(x)=2(x-2)ln x+ax2-1,当a≥1时,F(x)≥2(x-2)ln x+x2-1.令m(x)=2(x-2)ln x+x2-1,m′(x)=2+2x=2,令t(x)=m′(x),t′(x)=2>0,所以m′(x)在(0,+∞)上单调递增.因为m′(1)=0,所以当0<x<1时,m′(x)<0,m(x)单调递减;当x>1时,m′(x)>0,m(x)单调递增,故m(x)≥m(1)=0,满足条件,所以当a≥1时,f(x)≥g(x).10.已知函数f(x)=x2-2aln x,g(x)=x2-x+2-2ln 2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=1时,判断g(x)-f(x)的零点个数.解 (1)f′(x)=2x-=(x>0),故当a≤0时,f′(x)≥0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,令f′(x)>0,得x>,所以函数f(x)在(,+∞)上单调递增,令f′(x)<0,得0<x<,所以函数f(x)在(0,)上单调递减,综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,函数f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减.(2)设F(x)=g(x)-f(x)=2ln x-x+2-2ln 2,则F′(x)=-1,令F′(x)=0,解得x=2,当x∈(0,2)时,F′(x)>0,所以F(x)在(0,2)上单调递增;当x∈(2,+∞)时,F′(x)<0,所以F(x)在(2,+∞)上单调递减,故F(x)的最大值为F(2)=0,所以g(x)-f(x)有且只有一个零点.
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