【2023届必备】2023版高考一轮复习训练15　解三角形

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练15　解三角形，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练15　解三角形一、单选题1．在△ABC中，A＝，a＝，B＝，则△ABC的外接圆半径R为(　　)A．1  B．2  C．3  D．4答案　A解析　根据题意，可知A＝，a＝，B＝，由＝2R，即＝＝2＝2R，解得R＝1，所以△ABC的外接圆半径R为1.2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则等于(　　)A.  B．1  C．2  D．3答案　C解析　由正弦定理可知＝＝，由bcos C＋ccos B＝2b⇒sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B⇒sin(B＋C)＝2sin B⇒sin(π－A)＝2sin B⇒sin A＝2sin B⇒＝2⇒＝2.3．(2022·榆林模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，b＝4，△ABC的面积为3，则sin B等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　S＝bcsin A＝c＝3，所以c＝3，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝13, 得a＝，又由正弦定理可得＝，所以sin B＝＝.4．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为(　　)A.  B．1  C.  D．3答案　D解析　由余弦定理得，cos 120°＝，即b2＋c2＝36－bc≥2bc，当且仅当b＝c时，等号成立，所以(bc)max＝12，所以(S△ABC)max＝bcsin A＝×12×＝3.二、多选题5．在△ABC中，各角所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有(　　)A．若＝＝，则△ABC为等边三角形B．已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的度数为D．已知a＝5，A＝，b＝4，解三角形有两解答案　ABC解析　对于A，若＝＝，则＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故A正确；对于B，由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，可得a2＋b2－c2＝ab，根据余弦定理得cos C＝＝，因为0<C<π，所以C＝，故B正确；对于C，因为a＝7，b＝4，c＝，所以c<b<a，所以C<B<A，所以cos C＝＝＝，因为0<C<π，所以C＝，故C正确；对于D，因为a＝5，A＝，b＝4，所以＝，即＝，解得sin B＝<，因为b<a，所以B<A，所以三角形只有1解．6．在△ABC中，sin＝，BC＝1，AC＝5，则(　　)A．AB＝2B．△ABC的面积为C．△ABC外接圆直径是D．△ABC内切圆半径是答案　ACD解析　cos C＝1－2sin2＝1－2×＝，由于在△ABC中，sin C＝＝＝，AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos C＝1＋25－2×5×＝20，故AB＝2，A正确；S△ABC＝BC·ACsin C＝×5×＝2，B错误；设△ABC外接圆半径为R，2R＝＝＝，C正确；设△ABC内切圆半径为r，则S△ABC＝r(AB＋BC＋CA)，即2＝r(2＋1＋5)，解得r＝，D正确．三、填空题7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝120°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为________．答案　解析　S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝，S△ABD＝AB·AD·sin∠BAD＝AD，S△ADC＝AD·AC·sin∠DAC＝AD，S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，即＝AD＋AD，解得AD＝.8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝2，cos2C－cos2A－sin2B＝－sin Bsin C，cos B＋cos C＝1，则A＝________，△ABC的面积是________．答案　　 解析　由已知得(1－sin2C)－(1－sin2A)－sin2B＝－sin Bsin C，所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝，所以A＝.cos B＋cos C＝cos B－cos(A＋B)＝cos B－cos＝cos B－＝cos B＋sin B＝sin＝1，所以B＝，所以△ABC为正三角形，所以S△ABC＝.四、解答题9．在①2acos A＝bcos C＋ccos B；②cos A＋cos 2A＝0；③sin B－sin C＝sin(A－C)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积是，求△ABC的周长．解　(1)若选择条件①：因为2acos A＝bcos C＋ccos B，由正弦定理得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B，所以2sin Acos A＝sin(B＋C)＝sin A.因为sin A>0，所以cos A＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.若选择条件②：cos A＋cos 2A＝0，则2cos2A＋cos A－1＝0，解得cos A＝－1或cos A＝.因为A∈(0，π)，所以cos A＝，所以A＝.若选择条件③：因为sin B－sin C＝sin(A－C)，则sin(A＋C)－sin C＝sin(A－C)，所以2cos Asin C＝sin C.因为sin C>0，所以cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)因为S△ABC＝bcsin ＝，所以bc＝4.因为a＝2，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos ，所以4＝(b＋c)2－3bc，所以b＋c＝4，所以△ABC的周长为6.10．在①2asin B＝btan A；②b＝acos C＋csin A；③a2＋c2－b2＝(2c2－2bc)cos A三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a＝2，__________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角A的大小；(2)求△ABC面积的最大值．解　(1)选①：因为2asin B＝btan A，所以2sin Asin B＝sin B ，即cos A＝，又因为A∈(0，π)，所以A＝.选②：因为b＝acos C＋csin A，所以sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin Csin A＝cos Asin C，因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.选③：因为a2＋c2－b2＝(2c2－2bc)cos A，a2＋c2－b2＝2accos B，所以(2c2－2bc)cos A＝2accos B，即2ccos A－2bcos A＝2acos B，所以2sin Ccos A＝2sin Acos B＋2sin Bcos A＝2sin(A＋B)＝2sin C，因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)选①：由(1)得A＝，a＝2，所以2bccos A＝b2＋c2－a2，即bc＋12＝b2＋c2，所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤3，所以△ABC面积的最大值为3.选②：由(1)得A＝，a＝2，所以2bccos A＝b2＋c2－a2，即bc＋12＝b2＋c2，所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，即(2－)bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，所以bc≤12(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤3(2＋)＝6＋3 ，所以△ABC面积的最大值为6＋3.选③：由(1)得A＝，a＝2，所以2bccos A＝b2＋c2－a2，即bc＋12＝b2＋c2，所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，即(2－)bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，所以bc≤6(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤×6(2＋)＝3＋3，所以△ABC面积的最大值为3＋3.