【2023届必备】2023版高考一轮复习训练26　立体几何中的综合问题

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练26　立体几何中的综合问题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练26　立体几何中的综合问题一、单选题1．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为(　　)A．3  B．6  C.  D.答案　A解析　如图所示，F，G，H是对应棱的中点．易知，RF与HQ相交，确定一个平面．HQ∥RG，故G在平面内，同理P在平面内．故平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR，边长为，S＝××sin×6＝3.2．(2022·晋中模拟)如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝1，侧棱AA1＝4，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AD，BC，B1C1，A1D1的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为(　　)A．2  B.  C．3  D.答案　B解析　设四棱柱的底面梯形的高为2a，AD，BC的中点分别为F，E，所求的水面高为h，则水的体积V＝S梯形ABEF·AA1＝·4＝S梯形ABCD·h＝·h，所以h＝.3．(2022·苏州模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥(如图2)，从而求得该帐篷的体积为(　　)图1　　　　　　　　图2A.  B.  C.  D.答案　B解析　根据题意，底面正方形的边长为，正四棱柱的高为1，根据题意，可知该帐篷的体积为V＝××1－×××1＝.4．设球O是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球，M为B1C1的中点，点P在球面上运动，且总有DP⊥BM，则点P的轨迹的周长为(　　)A.   B.C．2π   D.π答案　A解析　由题意，该正方体的外接球半径为R＝，取BB1的中点N，连接CN，DN，DO，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，C(0,2,0)，D(0,0,0)，N(2,2,1)，B(2,2,0)，M(1,2,2)，O(1,1,1)＝(2,0,1)，＝(－1,0,2)，＝(0,2,0)，·＝2×(－1)＋0×0＋1×2＝0，·＝－1×0＋0×2＋2×0＝0，则CN⊥BM，DC⊥BM，又CD，CN⊂平面DCN，CD∩CN＝C，∴BM⊥平面DCN，∴点P的轨迹为平面DCN与外接球的交线，设点O到平面DCN的距离为d，则d＝＝＝，∴截面圆的半径r＝＝＝，∴点P的轨迹周长为C＝2πr＝π.二、多选题5．(2022·南京模拟)已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为2，侧棱长为2，则(　　)A．棱台的侧面积为6B．棱台的体积为14C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为答案　ACD解析　作正四棱台如图所示，对于A，过A1作A1H⊥AB于H，AH＝(AB－A1B1)＝，所以A1H＝＝，所以棱台的侧面积为4×＝6，所以A正确；对于B，连接AC，A1C1，过A1作A1M⊥AC于点M，过C1作C1N⊥AC于点N，A1C1＝＝2，AC＝＝4，AM＝(AC－A1C1)＝1，A1M＝＝，上底面面积S′＝()2＝2，下底面面积S＝(2)2＝8，棱台的体积为V＝h(S＋＋S′)＝××14＝≠14，故B错误；对于C，因为AM为AA1在底面的投影，所以∠A1AM为侧棱与底面所成的角．cos∠A1AM＝＝，所以C正确；对于D，∠A1HM为侧面与底面所成锐二面角的平面角，cos∠A1HM＝＝＝，所以D正确．6．(2022·滨州模拟)已知正方形ABCD的边长为2，将△ACD沿AC翻折到△ACD′的位置，得到四面体D′－ABC，在翻折过程中，点D′始终位于△ABC所在平面的同一侧，且BD′的最小值为，则下列结论正确的是(　　)A．四面体D′－ABC的外接球的表面积为8πB．四面体D′－ABC体积的最大值为C．点D的运动轨迹的长度为D．边AD旋转所形成的曲面的面积为答案　ACD解析　对于A，∵∠ABC＝90°，∠AD′C＝90°，∴AC中点即为四面体D′－ABC的外接球的球心，AC为球的直径，∴外接球半径R＝，∴四面体D′－ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝4π()2＝8π，故选项A正确；对于B，当平面AD′C⊥平面ABC时，四面体D′－ABC的体积最大，此时高为，∴(VD′－ABC)max＝××2×2×＝，故选项B错误；对于C，设正方形ABCD的对角线AC与BD交于O，由题意知，翻折后当BD′的最小值为时，△OD′B为边长为的等边三角形，此时∠D′OB＝，所以点D的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆心角为的圆弧，所以点D的运动轨迹的长度为×＝，故选项C正确；对于D，结合C的分析知，边AD旋转所形成的曲面的面积为以A为顶点，底面圆为以O为圆心OD＝为半径的圆锥的侧面积的，即所求曲面的面积为πrl＝π××2＝，故选项D正确．三、填空题7．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.答案　BM⊥PC(或DM⊥PC)解析　∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，BM，DM⊂平面BDM，此时PC⊥平面MBD，又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA1的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为__________，四面体BCEF外接球的表面积为________．答案　　14π解析　因为平面CEF与平面CDD1C1的交线为CD1，所以截面为四边形CEFD1，如图，而四边形CEFD1为等腰梯形，且CD1＝2EF＝2，CE＝D1F＝，故其面积为×＝.设线段CE的中点为G，G为△BEC的外心，四面体BCEF外接球的球心为O，则OG⊥平面BCE.设球O的半径为R，则R2＝OG2＋EG2＝AG2＋(OG－AF)2.因为AG2＝2＋12＝，EG2＝，所以OG＝，从而R2＝OG2＋EG2＝，故球O的表面积为4πR2＝14π.四、解答题9．在等腰梯形ABCD中，2AB＝2BC＝CD，∠ABC＝120°，点E为CD的中点，沿AE将△DAE折起，使得点D到达F位置．(1)当FB＝BC时，求证：BE⊥平面AFC；(2)当BF＝BC时，过点F作FG，使＝λ(λ>0)，当直线BG与平面BEF所成角的正弦值为时，求λ的值．(1)证明　如图，连接AC，∵在等腰梯形ABCD中，2AB＝2BC＝CD，E为CD的中点，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，折叠后，FE＝DE，∵FE＝EC＝BC，FB＝BC，∴FE＝FB，设AC∩BE＝O，则O是BE的中点，连接FO，则BE⊥FO，又FO∩AC＝O，∴BE⊥平面AFC.(2)解　取AE的中点M，连接FM，BM，易得△ADE为等边三角形，则△AEF为等边三角形，∴FM⊥AE，∵∠ABC＝120°，则△ABE为等边三角形，∴BM⊥AE，设AB＝1，则FM＝BM＝，则BF＝BC＝，满足FM2＋BM2＝BF2，∴FM⊥BM，∴以M为原点建立如图所示空间直角坐标系，则F，A，B，E，设G(x，y，z)，∵＝λ，即＝λ，则可得G，则＝，＝，＝，设平面BEF的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则令y1＝，则x1＝－3，z1＝，即n＝，设直线BG与平面BEF所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，解得λ＝－1(舍去)或λ＝.∴当λ＝时，直线BG与平面BEF所成角的正弦值为.10. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC.(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；(2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．(1)证明　因为四边形ABCD为直角梯形，且AB∥DC，AB＝AD＝2，∠ADC＝，所以BD＝2，又因为CD＝4，∠BDC＝.根据余弦定理得BC＝2，所以CD2＝BD2＋BC2，故BC⊥BD.又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，且BD，PD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.(2)解　由(1)得平面ABCD⊥平面PBD，设E为BD的中点，连接PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，又平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，PE⊂平面PBD，所以PE⊥平面ABCD.如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2,0,0)，P(1,1,2)，假设存在M(a，b，c)满足要求，设＝λ(0≤λ≤1)，即＝λ，所以M(2－λ，4－3λ，2λ)，易得平面PBD的一个法向量为＝(2,2,0)．设n为平面ABM的一个法向量，＝(0,2,0)，＝(2－λ，4－3λ，2λ)，由得不妨取n＝(2λ，0，λ－2)．因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以＝，解得λ＝，λ＝－2(舍去)．故存在M点满足条件，且＝.