【2023届必备】2023版高考一轮复习训练31　圆锥曲线的综合问题

训练31　圆锥曲线的综合问题

一、单选题

1．(2022·南宁模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为圆x2＋(y－1)2＝2的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则AB等于(　　)

A．12  B．14  C．16  D．18

答案　C

解析　由题可得抛物线焦点为(0,1)，则＝1，即p＝2，则抛物线方程为x2＝4y，

∵直线AB的倾斜角为60°，则其斜率为，故直线AB的方程为y＝x＋1，

联立直线与抛物线

可得x2－4x－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝4，x1x2＝－4，

则AB＝·＝16.

2．(2022·洛阳模拟)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为(　　)

A．1  B．2  C．4  D．5

答案　A

解析　∵P是焦点为F1，F2的椭圆＋＝1上的一点，PQ为∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，

设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，∴PM＝PF1，

∵PF1＋PF2＝2a＝10，

∴MF2＝PF1＋PF2＝10，

∴由题意得OQ是△F1F2M的中位线，

∴OQ＝5，

∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，

∴当点Q在y轴上时，

Q与短轴端点取最近距离d＝5－4＝1.

3. (2022·安徽名校联考)设抛物线C：x2＝4y(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线C于M，N两点，交l于点P，且＝，则MN等于(　　)

A．2  B.  C．5  D.

答案　D

解析　如图，过点M作准线l的垂线，交l于点D，

由抛物线定义得MF＝MD，因为＝，所以PM＝2MD，所以∠DPM＝30°，则直线MN的方程为x＝(y－1)，联立消去x得，3y2－10y＋3＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝，得MN＝y1＋y2＋2＝＋2＝.

4．(2022·桂林模拟)已知椭圆＋y2＝1的上顶点为A，B，C为椭圆上异于A的两点，且AB⊥AC，则直线BC过定点(　　)

A．(1,0)   B．(，0)

C.   D.

答案　D

解析　设直线BC的方程为x＝ky＋m，B(x1，y1)，C(x2，y2)，则由

整理得(k2＋4)y2＋2mky＋m2－4＝0，

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

x1x2＝k2y1y2＋mk(y1＋y2)＋m2＝k2·＋mk·＋m2，

因为A(0,1)，＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，⊥，

所以·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1

＝k2·＋mk·＋m2＋＋＋1＝0，化简得2km＋5m2－3k2＝0，解得m＝－k或m＝k，

当m＝－k时，直线BC的方程为x＝ky－k＝k(y－1)，直线过点A(0,1)，而A，B，C不在同一直线上，不符合题意；

当m＝k时，直线BC的方程为x＝ky＋k＝k，直线过定点，符合题意．

二、多选题

5．(2022·南京模拟)定义曲线Γ：＋＝1为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的伴随曲线，则(　　)

A．曲线Γ有对称轴

B．曲线Γ没有对称中心

C．曲线Γ有且仅有4条渐近线

D．曲线Γ和椭圆C有公共点

答案　AC

解析　x轴和y轴为伴随曲线的对称轴，故A正确；

坐标原点为伴随曲线的对称中心，故B错误；

x＝±a，y＝±b为伴随曲线的4条渐近线，故C正确；

椭圆的范围：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]，

伴随曲线的范围：|x|>a，|y|>b，

显然曲线Γ和椭圆C没有公共点，故D错误．

6．(2022·苏锡常镇四市调研)已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，则下列结论正确的有(　　)

A．若PO＝PF2，则双曲线的离心率e≥2

B．若△POF2是面积为的正三角形，则b2＝2

C．若A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则F2A2＝F2P

D．若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1－QF2|>2a

答案　AB

解析　由题意，对于选项A，因为PO＝PF2，所以OF2的中垂线x＝与双曲线有交点，即有≥a，解得e≥2，故选项A正确；对于选项B，因为PF2＝OF2＝OF1＝c＝2，得PF1＝2，所以a＝＝－1，所以b2＝c2－a2＝2，故选项B正确；对于选项C，由题意可得F2A2＝c－a，F2P＝，显然不相等，故选项C错误；对于选项D，若P为右顶点，则射线F2P与双曲线的渐近线交于点Q(0,0)，此时|QF1－QF2|＝0<2a，故选项D错误．

三、填空题

7．抛物线x2＝2py(p>0)的准线l被圆x2＋y2－6x－1＝0截得的弦长为4，则p＝__________.

答案　2

解析　由题意，圆(x－3)2＋y2＝10的圆心坐标为(3,0)，半径为r＝，

又由抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为

l：y＝－，

抛物线x2＝2py的准线l被圆x2＋y2－6x－1＝0截得的弦长为4，

可得圆心(3,0)到准线l的距离为＝＝，解得p＝2.

8. (2022·苏州模拟)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则a的值为________．

答案　

解析　F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点，

则a2－c2＝2，①

过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，

因为△ABF1是等边三角形，

所以AF2＝F1F2tan 30°＝c，

则A，代入椭圆方程可得＋＝1，②

由①②，结合a>c>0可得

四、解答题

9．(2022·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，其图象经过点(，1)，渐近线方程为y＝±x.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点E，F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证：∠EAF＝∠EBF.

(1)解　由双曲线C的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线C的方程为x2－y2＝λ，

由题意可得λ＝()2－12＝2，因此，双曲线C的方程为－＝1.

(2)证明　设点E(x1，y1)，F(x2，y2)且x1>x2>0，

tan∠EAF＝tan(∠EAB－∠FAB)

＝＝

＝，

由已知可得x－y＝2，则(x1－)(x1＋)＝y，则＝，

同理可得＝，

tan∠EBF＝tan(∠xBF－∠xBE)＝＝

＝

＝＝tan∠EAF，

易知∠EAF，∠EBF∈(0，π)，故∠EAF＝∠EBF.

10．(2022·昆明模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线与x轴的交点为T，点G在E上且GF⊥x轴，△GTF的面积为.

(1)求E的方程；

(2)已知点M(a，0)，N(2a，0)，R(4a，0)(a>0)，点A是E上任意一点(异于顶点)，连接AM并延长交E于另一点B，连接BN并延长交E于另一点C，连接CR并延长交E于另一点D(图略)，当直线AB的斜率存在时，证明：直线AB与CD的斜率之比为定值．

(1)解　由题意得TF＝p，

因为点G在E上且GF⊥x轴，所以GF＝p，

则S△GTF＝p×p＝，解得p＝，

所以E的方程为y2＝x.

(2)证明　设A(m2，m)(m≠0)，直线AB的方程为x＝ty＋a，

代入E的方程，得y2－ty－a＝0，

所以myB＝－a，所以yB＝－，

所以B，

同理可得C(4m2，2m)，D，

所以kAB＝＝，

kCD＝＝， 则＝2，

所以直线AB与CD的斜率之比为定值2.