【2023届必备】2023版高考一轮复习训练32　计数原理

训练32　计数原理

一、单选题

1．(2022·张家口模拟)小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有(　　)

A．261种   B．360种

C．369种   D．372种

答案　C

解析　从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有CC＋CC＋CC＝369(种)．

2．式子(2x＋1)(x＋1)5的展开式中x5的系数为(　　)

A．1  B．9  C．10  D．11

答案　D

解析　因为(x＋1)5的展开式中含x5项的系数为C＝1，含x4项的系数为C＝5，乘以(2x＋1)后含x5项的系数为1×1＋2×5＝11.

3．(2022·湖北九师联盟联考)某市为了迎接国家文明城市验收，要求某单位4名工作人员到路口执勤，协助交警劝导人们规范出行．现有含甲、乙在内的4名工作人员，按要求分配到2个不同的路口执勤，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．3种   B．6种

C．9种   D．12种

答案　B

解析　把甲、乙两人看作一个整体，4个人变成了3个元素，再把这3个元素分成2个部分，每部分至少有1个人，然后分配到2个路口，共有CCA＝6(种)分配方案．

4．(2022·韶关模拟)已知(1＋x)10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a10(2＋x)10，则a9等于(　　)

A．－10  B．10  C．－45  D．45

答案　A

解析　(1＋x)10＝[1－(2＋x)]10＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a10(2＋x)10，

Tr＋1＝C[－(2＋x)]r，a9＝C(－1)9＝－10.

二、多选题

5．(2022·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　)

A．a0＝－32   B．a2＝－80

C．a3＋4a4＝0   D．a0＋a1＋…＋a5＝1

答案　ABC

解析　令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确．令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tr＋1＝Cy5－r(－2)r，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确．a4＝C×(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，故C正确，故选ABC.

6．甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是(　　)

A．最高处的树枝为G，I中的一个

B．最低处的树枝一定是F

C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种

D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种

答案　AC

解析　由题判断出部分树枝由高到低的顺序为GABCEF，还剩下D，H，I，且树枝I比C高，树枝D在树枝B，E之间，树枝H比D低，最高可能为G或I，最低为F或H，故A选项正确，B错误；

先看树枝I，有4种可能，若I在B，C之间，

则D有3种可能：

①D在B，I之间，H有5种可能；

②D在I，C之间，H有4种可能；

③D在C，E之间，H有3种可能，

此时树枝的高低顺序有5＋4＋3＝12(种)．

若I不在B，C之间，则I有3种可能，D有2种可能，

若D在B，C之间，则H有4种可能，

若D在C，E之间，则H有3种可能，

此时树枝的高低顺序有3×(4＋3)＝21(种)可能，

故这九根树枝从高到低不同的顺序共有12＋21＝33(种)，故C选项正确．

三、填空题

7．(2022·上饶模拟)4的展开式的常数项是________(用数字作答)．

答案　－8

解析　Tr＋1＝Cx4－r·(－2x－3)r＝C(－2)rx4－4r，令4－4r＝0，得r＝1.

所以所求常数项为C(－2)＝－8.

8．(2022·南京模拟)某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有______种．(用数字填写答案)

答案　36

解析　由题意得，有一个社团去2个人，

先从3个社团中选一个去2个人有C×C＝18(种)方案，

其余2个人去剩下的两个社团有A＝2(种)方案，

所以满足上述要求的不同方案共有18×2＝36(种)．

四、解答题

9．现有编号分别为A，B，C，D，E，F，G的7个不同的小球，将这些小球排成一排．

(1)若要求A，B，C相邻，则有多少种不同的排法？

(2)若要求A排在正中间，且B，C，D各不相邻，则有多少种不同的排法？

解　(1)把A，B，C看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有AA＝720(种)．

(2)A在正中间，所以A的排法只有1种．

因为B，C，D互不相邻，

所以B，C，D不可能同时在A的左侧或右侧．

若B，C，D中有1个在A的左侧，2个在A的右侧且不相邻，则不同的排法有CACA＝108(种)，

若B，C，D中有2个在A的左侧且不相邻，1个在A的右侧，则不同的排法有CACA＝108(种)．

故所求的不同排法有108＋108＝216(种)．

10．已知n的展开式中偶数项二项式系数和比(1＋x)2n展开式中奇数项二项式系数和小120.

(1)求(1＋x)2n展开式中二项式系数最大的项；

(2)设n展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p＋q.

解　(1)由题意可得2n－1＋120＝22n－1，

故(2n－16)(2n＋15)＝0，故2n＝16，解得n＝4.

(1＋x)2n＝(1＋x)8，展开式中二项式系数最大的项为T5＝Cx4＝70x4.

(2)n＝4，其展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C()4－rr＝Cx2－r，

令2－r＝0，得r＝2.

∴常数项p＝C＝6，

令x＝1，可得展开式中所有项系数的和为q＝24＝16，∴p＋q＝22.