【2023届必备】2023版高考一轮复习训练33　统计与统计案例

训练33　统计与统计案例

一、单选题

1．(2022·上饶模拟)根据如下样本数据，得到线性回归方程＝x＋，则(　　)

A.>0，>0   B.>0，<0

C.<0，>0   D.<0，<0

答案　C

解析　如图，

从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在y轴上的截距为负，则<0，>0.

2．(2022·成都模拟)某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率直方图，则这100名同学的得分的中位数为(　　)

A．72.5  B．75  C．77.5  D．80

答案　A

解析　在频率直方图中，小长方形的面积表示这组数据的频率，

∴中位数为70＋×10

＝72.5.

3．(2022·贵州模拟)小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2，加上这个数后的这组数据(　　)

A．平均数等于10，方差等于2

B．平均数等于10，方差小于2

C．平均数大于10，方差小于2

D．平均数小于10，方差大于2

答案　B

解析　设这组数据为x1，x2，…，xn，它的平均数为10，方差为2，

所以x1＋x2＋…＋xn＝10n，(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2＝2n，

添上数据10后，这组数据的平均数为×(x1＋x2＋…＋xn＋10)＝×(10n＋10)＝10，

方差为[(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2＋(10－10)2]＝2·<2.

所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2.

4．(2022·湘豫名校模拟)疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：

附表及公式：

χ2＝，

n＝a＋b＋c＋d.

现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，则下列判断错误的是(　　)

A．注射疫苗发病的动物数为10

B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为

C．能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为疫苗有效

D．该疫苗的有效率为75%

答案　D

解析　由题意知，注射疫苗的动物共40只，未注射疫苗的动物为60只，

补充列联表，

由此可得A，B正确．

计算得χ2＝

≈16.67>10.828，

故能在犯错概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效．C正确，D错误．

二、多选题

5．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下结论正确的是(　　)

A．可利用最小二乘思想求得使随机误差平方和最小的线性回归模型

B．用相关系数r来刻画回归效果，|r|越小说明拟合效果越好

C．线性回归方程对应的直线＝x＋至少经过其样本数据点中的一个点

D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.946 2，则变量y和x之间的负相关性很强

答案　AD

解析　对于A，利用最小二乘法求得线性回归方程，A正确；

对于B，相关系数r来刻画回归的效果时，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，B错误；

对于C，线性回归方程＝x＋必过点(，)，但可能不经过样本数据点中的任何一个点，C错误；

对于D，变量y和x之间的相关系数r＝－0.946 2时，说明变量y和x呈负相关关系，且负相关性很强，D正确．

6．(2022·南京模拟)下表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是(　　)

中国社会消费品零售总额

A.2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升

B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大

C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大

D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小

答案　BCD

解析　对于A选项，7月份的零售总额比6月份的少，A选项错误；

对于B选项，由表格中数据可知，2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大，B选项正确；

对于C选项，由表格中数据可知，2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大，C选项正确；

对于D选项，第4季度的月消费品零售总额在(38 000，41 000)内，而第2季度的月消费品零售总额在(28 000，34 000)内，前者数据更集中，方差更小，D选项正确．

三、填空题

7．如果数据x1，x2，…，xn的平均数为10，方差为3，则3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数为________，方差为________．

答案　35　27

解析　因为x1，x2，…，xn的平均数为10，

所以3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均数为＋5＝35，

其方差为[(3x1－30)2＋(3x2－30)2＋…＋(3xn－30)2]＝9×3＝27.

8．2021年7月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝______.

答案　10

解析　依题意＝，＝，代入线性回归方程得＝－3.2×＋40，根据题意m＋n＝20，解方程组得m＝n＝10.

四、解答题

9．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度(单位：cm)，得到以下频率直方图．

(1)求直方图中a的值及众数、中位数；

(2)若树高185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗、合格树苗应分别抽取多少株？

解　(1)∵(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0＋a＋0.008 0＋0.002 0)×10＝1，

∴a＝0.025 0，众数为＝190，

设中位数为x，因为(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5)×10＝0.35<0.5，

(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5＋0.030 0)×10＝0.65>0.5，

则185<x<195，

(0.001 5＋0.011 0＋0.022 5)×10＋0.030 0(x－185)＝0.5，

∴x＝190.

故a＝0.025 0，众数为190，中位数为190.

(2)由题可知合格树苗所占频率为(0.030 0＋0.025 0＋0.008 0＋0.002 0)×10＝0.65，不合格树苗所占频率为1－0.65＝0.35，

不合格的抽取20×0.35＝7(株)，合格的抽取20×0.65＝13(株)，

故不合格树苗、合格树苗应分别抽取7株和13株．

10．成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区．某景区为了提升服务品质，对过去100天每天的游客数进行了统计分析，发现这100天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率直方图：

为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了5天，统计出这5天的游客数(千人)分别为0.8,3.7,5.1,5.6，6.8，已知这5天的最高气温(℃)依次为8,18,22,24,28.

(1)根据以上数据，求游客数y关于当天最高气温x的线性回归方程(系数保留一位小数)；

(2)根据(1)中的线性回归方程，估计该景区这100天中最高气温在20℃～26℃内的天数(保留整数)．

参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是＝x＋；

其中：＝＝，＝－.

本题参考数据： (xi－)(yi－)＝70， (xi－)2＝232.

解　(1)由题意知，计算＝×(8＋18＋22＋24＋28)＝20，

＝×(0.8＋3.7＋5.1＋5.6＋6.8)＝4.4，

又 (xi－)(yi－)＝70，

 (xi－)2＝232，

所以＝＝≈0.3，

＝－＝4.4－0.3×20＝－1.6，

所以y关于x的线性回归方程是＝0.3x－1.6.

(2)当最高气温在20℃～26℃内时，

根据＝0.3x－1.6，得游客数在4.4～6.2内，

频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为(5－4.4)×0.18＋0.14＋(6.2－6)×0.07＝0.262，

所以天数为0.262×100＝26.2，

所以这100天中最高气温在20 ℃～26 ℃内的天数约为27天．