【2023届必备】2023版高考一轮复习训练3　基本不等式

这是一份【2023届必备】2023版高考一轮复习训练3　基本不等式，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
训练3　基本不等式一、单选题1. 三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们可用该图证明(　　)A．如果a>b，b>c，那么a>cB．如果a>b>0，那么a2>b2C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立D．如果a>b，c>0那么ac>bc答案　C解析　可将直角三角形的两直角边长记作a，b，斜边长为c(c2＝a2＋b2)．则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.故对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．2．已知x>0，y>0，且＋＝1，则4x＋3y的最小值是(　　)A．24  B．25  C．49  D．56答案　C解析　由x>0，y>0，且＋＝1，得4x＋3y＝(4x＋3y)＝16＋9＋＋≥25＋12×2＝49，当且仅当＝，即x＝y＝7时，等号成立，所以4x＋3y的最小值是49.3．(2022·苏州模拟)设a，b是正实数，以下不等式恒成立的为(　　)A.>B．ab＋>9C．a2＋b2>4ab－3b2D．a>|a－b|－b答案　D解析　对于A，因为a，b是正实数，所以a＋b≥2，则1≥，可得到≥，当且仅当a＝b时等号成立，故A错误；对于B，因为a，b是正实数，所以ab＋≥2＝2，当且仅当ab＝，即ab＝时取等号，故B错误；对于C，a2＋b2－(4ab－3b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0，当且仅当a＝2b时取等号，故C错误；对于D，a＋b>|a－b|，则a>|a－b|－b恒成立，故D正确．4．(2022·汕头模拟)已知x>1，y<0，且3y(1－x)＝x＋8，则x－3y的最小值为(　　)A．6  B．8  C.  D.答案　B解析　因为3y(1－x)＝x＋8，所以y＝，所以x－3y＝x＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时取等号，所以x－3y的最小值为8.二、多选题5．(2022·菏泽模拟)下列结论正确的是(　　)A．∀x∈R，x＋≥2B．若a<b<0，则3>3C．若x(x－2)<0，则log2x∈(0,1)D．若a>0，b>0，a＋b≤1，则0<ab≤答案　BD解析　对于A，当x<0时，x＋为负数，所以A不正确；对于B，若a<b<0，则<<0，考虑函数f(x)＝x3在R上单调递增，所以f >f ，即3>3，所以B正确；对于C，若x(x－2)<0，则0<x<2，log2x∈(－∞，1)，所以C不正确；对于D，若a>0，b>0，a＋b≤1，根据基本不等式有≤，0<ab≤2≤，所以D正确．6．(2022·大连模拟)已知a>0，b>0，且4a＋b＝ab，则下列不等式正确的(　　)A．ab≥16   B．2a＋b≥6＋4C．a－b<0   D.＋≥答案　ABD解析　对于A，因为a>0，b>0，ab＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b时等号成立，所以ab≥16，A正确；对于B，由4a＋b＝ab，得b＝>0，a>1，同理可得b>4，2a＋b＝2a＋＝2(a－1)＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当2(a－1)＝，即a＝1＋时等号成立，B正确；对于C，a＝5，b＝5满足题意，但a－b＝0，C错误；对于D，由4a＋b＝ab，得＋＝1，所以2≥2＝1，当且仅当＝，即b＝4a时等号成立，所以＋≥，D正确．三、填空题7．已知x∈R，则x2＋的最小值为________．答案　1解析　∵x2＋1≥1, ∴x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x2＋1＝，即x＝0时取等号．8．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为________．答案　8解析　因为直线kx－y＋2k－1＝0，即y＋1＝k(x＋2)，故A(－2，－1)，由于点A也在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，因为(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当即时，等号成立，故＋的最小值为8.四、解答题9．已知正实数x，y满足等式x＋y＝2.(1)若不等式＋≥m2＋4m恒成立，求实数m的取值范围；(2)求＋的最小值．解　(1)因为正实数x，y满足等式x＋y＝2，所以＋＝××(x＋y)＝≥，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，取得最小值，所以m2＋4m≤，－≤m≤.(2)由已知＋＝＋＝2－1，又＋≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以2－1≥8，所以＋的最小值为8.10．已知福州地铁2号线通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为400人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－150(元)．问：当地铁发车时间间隔多少时，该线路每分钟的净收益最大？解　(1)当2≤t<10时，设p(t)＝400－k(10－t)2，则p(2)＝400－64k＝272，解得k＝2，由题意可得p(t)＝所以发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为p(6)＝400－2×42＝368(人)．(2)当2≤t<10时，Q＝－150＝－150＝330－≤330－2＝90(元)，当且仅当t＝5时，等号成立；当10≤t≤20时，Q＝－150＝－150，此时函数Q＝－150单调递减，则Q≤－150＝30(元)，当且仅当t＝10时，等号成立，综上所述，当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大．