【2023届必备】2023版高考一轮复习训练8　函数中的综合问题

训练8　函数中的综合问题

一、单选题

1．(2022·赤峰模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，f 为偶函数，当0<x≤时，f(x)＝，则f(2 020)＋2f(2 021)等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　由题意知，f ＝f 等价于f ＝f(－x)⇒f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，则f(x)的周期为3，

f(2 020)＋2f(2 021)＝f(1)＋2f(－1)＝－f(1)＝－.

2．(2022·烟台模拟)已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则方程f(x)＋x2＝2的根的个数为(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　D

解析　要求方程f(x)＋x2＝2的根的个数，即为求f(x)与y＝2－的交点个数，

由题设知，f(x)与y＝2－在(0，＋∞)上的图象如图所示，

∴由图知，在(0，＋∞)上f(x)与y＝2－的图象有3个交点，又由f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数，

∴在(－∞，0)上也有3个交点，故一共有6个交点．

3．(2022·内江模拟)某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为 y＝＋b(a，b为常数), 通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为(　　)

A．35 min   B．30 min

C．25 min   D．20 min

答案　C

解析　由题意，当0≤t≤5时，函数y的图象是一个线段，当t≥5时，

函数的解析式为y＝＋b，

将点(5,100)和点(15,60)，代入解析式，

得

解得a＝5，b＝20，

故函数的解析式为y＝＋20，当t≥5时，令y＝40，解得t＝25，

故最少需要的时间为25 min.

4．(2022·恩施质检)已知函数f(x)＝|x|＋－cos x，则以下说法不正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

C．当x≤0时，f(x)≤－1

D．方程f(x)＝0有且仅有两个实根

答案　C

解析　由题意知，f(x)的定义域为R，

对于A，f(－x)＝|－x|＋－cos(－x)＝|x|＋－cos x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；

对于B，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x＋－cos x，f′(x)＝1＋＋sin x,1＋sin x≥0，>0，

所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；

对于C，因为f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，

所以当x≤0时，f(x)≥f(0)＝－1，故C错误；

对于D，因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝2－cos 1>0，f(0)·f(1)<0，

所以f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，

又因为f(x)为偶函数，所以方程f(x)＝0有且仅有两个根，故D正确．

二、多选题

5．(2022·日照模拟)已知x1＋log3x1＝0，x2＋log2x2＝0，则(　　)

A．0<x2<x1<1

B．0<x1<x2<1

C．x2lg x1－x1lg x2<0

D．x2lg x1－x1lg x2>0

答案　BC

解析　由x1＝－log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，

因为当x∈(0,1)时，

恒有log2x<log3x，

所以x1－x2＝log2x2－log3x1<log3x2－log3x1，

若x1≥x2，则x1－x2≥0，

且log3x2－log3x1≤0，矛盾，故x1<x2，故A错误，B正确；

因为0<x1<x2<1，

所以lg x1<lg x2<0，

即0<－lg x2<－lg x1，

由不等式性质可得－x1lg x2<－x2lg x1，

即x2lg x1－x1lg x2<0，故C正确，D错误．

6．(2022·扬州、盐城、南通联考)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，则(　　)

A．0≤m≤1   B．x1＋x2＝

C．x3x4－x3－x4＝0   D．x＋x>8

答案　CD

解析　当－≤x≤时，－≤x≤，

∴f(x)∈[－2,2]，

当x>时，x－1>，|log2(x－1)|≥0，如图，画出函数的图象，

对于A，f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，

则0<m<2，A错误；

对于B，x1，x2关于x＝－对称，

∴x1＋x2＝－，B错误；

对于C，|log2(x3－1)|＝|log2(x4－1)|，

∴log2(x3－1)＋log2(x4－1)＝0，

∴log2(x3－1)(x4－1)＝0.

∴(x3－1)(x4－1)＝1，即x3x4－x3－x4＝0，

C正确；

对于D，由选项C知x3x4＝x3＋x4，

∴＋＝1>2，

∴x3x4>4，x＋x>2x3x4>8，D正确．

三、填空题

7．(2022·十堰调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝2，f(1)＝3.写出f(x)的一个解析式为________________．

答案　f(x)＝x2＋2(答案不唯一)

解析　设二次函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，显然满足f(－x)＝f(x)，所以该函数是偶函数，

由f(0)＝2⇒b＝2，

由f(1)＝3⇒a＋2＝3⇒a＝1，所以f(x)＝x2＋2.

8．(2022·焦作联考)已知函数f(x)＝x3＋lg(x＋)，若|a－1|·[f(2a－3)＋f(2)]>0，则实数a的取值范围是________________．

答案　∪(1，＋∞)

解析　由题意得，f(x)＝x3＋lg(x＋)的定义域为R，

∵f(－x)＝－x3＋lg(－x＋)，

∴f(x)＋f(－x)＝x3＋lg(x＋)－x3＋lg(－x＋)＝lg 1＝0，

即f(x)为定义域在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增(增函数＋增函数＝增函数)，

当a＝1时，不等式显然不成立，

当a≠1时，∵|a－1|>0，

∴|a－1|·[f(2a－3)＋f(2)]>0，即为f(2a－3)＋f(2)>0，

即f(2a－3)>－f(2)，

∴f(2a－3)>f(－2)，

则2a－3>－2⇒a>，

故实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．

四、解答题

9．已知函数y＝x＋有如下性质：当x>0时，如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

(1)当t＝2时，写出函数y＝x＋(x>0)的单调区间；

(2)已知f(x)＝，x∈[0,2]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域．

解　(1)当t＝2时，函数y＝x＋(x>0)的单调递减区间为(0，]，单调递增区间为[，＋∞)．

(2)f(x)＝

＝x＋1＋－6，x∈[0,2]，

设t＝x＋1，则y＝t＋－6，t∈[1,3]，

由已知性质得，当1≤t≤2，即0≤x≤1时，f(x)单调递减，

当2≤t≤3，即1≤x≤2时，f(x)单调递增，

故f(x)的单调递减区间为[0,1]，单调递增区间为[1,2]，由f(0)＝－1，f(1)＝－2，f(2)＝－，

得f(x)的值域为[－2，－1]．

10．函数y＝f(x)的定义域D＝{x|x∈R且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x1，x2，都有f(x1)＋f(x2)＝f(x1x2)成立．

(1)求f(－1)的值并证明y＝f(x)为偶函数；

(2)若x>1时，f(x)<0，解关于x的不等式f(x－3)≥0；

(3)若x>1时，f(x)<0，且不等式f(2x2－3x＋3)≤f(x2－2x＋2)＋f(a)对任意实数x恒成立，求非零实数a的取值范围．

解　(1)取x1＝x2＝1得到f(1)＋f(1)＝f(1)，得到f(1)＝0，

取x1＝x2＝－1得到f(－1)＋f(－1)＝f(1)＝0，得到f(－1)＝0，

取x2＝－1得到f(x1)＋f(－1)＝f(－x1)，

即f(x1)＝f(－x1)，故函数y＝f(x)为偶函数．

(2)设x2>x1>0，

则f(x2)－f(x1)＝f －f(x1)＝f ＋f(x1)－f(x1)＝f ，

>1，故f <0，即f(x2)－f(x1)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

因为函数f(x)为偶函数，故函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，

f(x－3)≥0，故－1≤x－3≤1，且x－3≠0，

解得x∈[2,3)∪(3,4]．

(3)f(2x2－3x＋3)≤f(x2－2x＋2)＋f(a)＝f(ax2－2ax＋2a)，

根据(2)知，|2x2－3x＋3|≥|ax2－2ax＋2a|，因为2x2－3x＋3>0，x2－2x＋2>0恒成立，

故≥|a|，

因为＝2＋，

当x＝1时，＝2，

当x>1时，2＋>2，

当x<1时，2＋＝2－≥2－＝，

当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立，又x≠0，故2＋>.

综上所述，|a|≤，解得－≤a≤，又a≠0，故a∈∪.