人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词课时作业

1.5　全称量词与存在量词

1.5.1　全称量词与存在量词

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定

基础过关练

题组一　全称量词命题与存在量词命题及其真假判断

1.(多选)下列是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　)

A.有一个x∈R,使得x2>3成立

B.对有些x∈R,x2>3成立

C.任选一个x∈R,都有x2>3成立

D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立

2.(2021浙江温州苍南检测)下列命题中,全称量词命题的个数是(　　)

①有些自然数是偶数;

②正方形是菱形;

③能被6整除的数也能被3整除;

④对于任意x∈R,总有≤1.

A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3

3.下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是(　　)

A.至少有一个x∈Z,使得x2<3成立

B.对任意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)

C.∃x∈R,=x

D.菱形的两条对角线长度相等

4.(多选)(2022安徽合肥六中段考)已知集合A={x|x>2},集合B={x|x>3},则以下命题为真命题的是(　　)

A.∃x∈A,x∉B          B.∃x∈B,x∉A

C.∀x∈A,x∈B          D.∀x∈B,x∈A

5.(多选)(2022吉林长春北师大附属中学月考)下列四个命题中,是假命题的是(　　)

A.∀x∈R,x+≥2　　　　　　B.∃x∈R,x2-x>5

C.∃x∈R,|x+1|<0　　　　　　D.∀x∈R,|x|+x≥0

6.(多选)(2021山东邹城一中月考)下列命题是真命题的是(　　)

A.∀x∈R,y=(x-2)2-1≥1

B.∃x∈R,y=(x-2)2-1<0

C.∃x∈R,y=(x-2)2-1=-2

D.∃x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1

7.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.

(1)任何一个实数除以1,仍等于这个数;

(2)∀x∈R,(x+1)2≥0;

(3)∃x∈R,x2<2;

(4)矩形有一个外接圆.

题组二　全称量词命题和存在量词命题的否定及其真假判断

8.(2022湖北武汉一中月考)命题“∀x>1,x2-1>0”的否定是(　　)

A.∀x>1,x2-1≤0　　　　　　B.∀x≤1,x2-1≤0

C.∃x>1,x2-1≤0　　　　　　D.∃x≤1,x2-1≤0

9.已知命题p:∃x>0,x2+2x+2≤0,则命题p的否定为(　　)

A.∃x≤0,x2+2x+2>0

B.∃x>0,x2+2x+2>0

C.∀x>0,x2+2x+2>0

D.∀x≤0,x2+2x+2>0

10.已知:①∀x∈R,x2-x+≥0;②不存在实数x,使x3+1=0;③∀n∈R,n2≥n;④至少有一个实数x,使得x3+1=0.以上命题的否定为真命题的是(　　)

A.①③　　　　　B.②③　　　　　C.②④　　　　　D.①④

11.(多选)(2022浙江精诚联盟联考)下列命题的否定为假命题的是(　　)

A.命题“∀x∈{x|1<x<3},x2-4x+3>0”

B.命题“∀a,b∈R,a2-ab+b2≥0”

C.命题“∃x∈Q,x2=3”

D.命题“∃x∈N,x2<1”

12.若命题p:∀x∈R,<0,则¬p:　　　　　　　　. 

13.(2022山东枣庄三中月考)下列命题是真命题的是　　　　(填序号). 

①方程3x-2y=10有整数解;

②∃x∈R,x≤0的否定为∀x∈R,x≤0;

③∃n∈N*,使得n能被11整除;

④∀x∈N,x2≥1的否定是∃x∈R,x2<1.

题组三　全称量词命题与存在量词命题及其否定的应用

14.(2021湖南长沙长郡中学适应性检测)已知∀x∈{x|1≤x<3},都有m>x,则m的取值范围为(　　)

A.m≥3　　　　　　B.m>3

C.m>1　　　　　　D.m≥1

15.(2021江苏扬州邗江期中)已知命题p:∃x>0,x+t-1=0,若p为真命题,则实数t的取值范围是(　　)

A.{t|t>1}　　　　　　B.{t|t<1}

C.{t|t≥1}　　　　　　D.{t|t≤1}

16.(2022广东深圳南山外国语学校月考)已知命题p:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0,若命题p是假命题,则a的取值范围为(　　)

A.1≤a≤3　　　　　　B.-1≤a≤3

C.1<a<3　　　　　　D.0≤a≤2

17.(2022福建三明一中月考)若命题p:∃x∈R,关于x的不等式ax2+ax+2≤0是假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.a>8　　　　　　B.a≥8

C.0≤a<8　　　　　　D.0≤a≤8

18.(2021山东泰安新泰第一中学月考)已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0,若命题¬p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.a≤-2或a=1　　　　　　B.a≤-2或1≤a≤2

C.a≥1　　　　　　D.a≥2

19.已知m是实数,不等式m+x2-2x+5>0对于任意x∈R恒成立,则m的取值范围是　　　　. 

20.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.

(1)若命题“∃x∈B,x∉A”是假命题,求实数m的取值范围;

(2)若命题“∀x∈A,x∉B”是假命题,求实数m的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.ABD

2.D　命题①中含有存在量词“有些”,是存在量词命题;命题②中全称量词省略,可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;命题③中全称量词省略,可以叙述为“所有能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;命题④中有全称量词“任意”,是全称量词命题.故有3个全称量词命题.

3.B　选项A,C为存在量词命题,选项B,D为全称量词命题.菱形的对角线长度不一定相等,D选项为假命题.a2-2a+b2-2b+2=(a-1)2+(b-1)2

≥0,所以a2+b2≥2(a+b-1),所以选项B为真命题.故选B.

4.AD　∵A={x|x>2},B={x|x>3},

∴B是A的真子集.

∃x∈A,x∉B,A为真命题;∀x∈B,x∈A,B为假命题;∃x∈A,x∉B,C为假命题;∀x∈B,x∈A,D为真命题.故选AD.

5.AC　对于A,当x<0时,该命题显然不成立,故A中命题是假命题;

对于B,取x=10,显然该不等式成立,故B中命题是真命题;

对于C,|x+1|≥0恒成立,故C中命题是假命题;

对于D,|x|+x≥0恒成立,故D中命题是真命题.故选AC.

6.BD　y=(x-2)2-1≥-1,易知A是假命题,B是真命题,C是假命题;对于D,根据二次函数图象的对称性可知,∃x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1,

D是真命题.故选BD.

7.解析　(1)命题中含有全称量词“任何一个”,故是全称量词命题.

(2)命题中含有全称量词“∀”,故是全称量词命题.

(3)命题中含有存在量词“∃”,故是存在量词命题.

(4)命题可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,含有全称量词“所有的”,故是全称量词命题.

8.C　改量词,否结论,故选C.

9.C

10.B　x2-x+=≥0,当且仅当x=时等号成立,故①为真命题;当x=-1时,x3+1=0,故②为假命题,④为真命题;当n=时,n2<n,故③为假命题.由于命题和它的否定真假相反,故符合题意的是②③.故选B.

方法技巧　命题的否定的真假判断,可以“先判断,再否定”,也可以“先否定,再判断”,视情况合理选择.

11.BD　对于A,当x=2时,22-4×2+3=-1<0,所以原命题为假命题,其否定为真命题,故A不符合题意.

对于B,∀a,b∈R,a2-ab+b2=+b2≥0,

所以原命题为真命题,则其否定为假命题,故B符合题意.

对于C,x2=3,解得x=±,所以“∃x∈Q,x2=3”为假命题,则其否定为真命题,故C不符合题意.

对于D,当x=0时,x2<1,所以“∃x∈N,x2<1”为真命题,则其否定为假命题,故D符合题意.故选BD.

12.答案　∃x∈R,x-2≥0

易错警示　写命题的否定时,要注意式子本身的意义,如:<0的反面不是≥0.解题时要先解不等式,利用补集思想写出其结论的反面.

13.答案　①③

解析　对于①,在3x-2y=10中,令x=0,则y=-5,即3x-2y=10存在整数解x=0,y=-5,故①为真命题;对于②,∃x∈R,x≤0的否定为∀x∈R,x>0,故②为假命题;对于③,当n=11,22,33,…时,n均能被11整除,所以∃n∈N*,使得n能被11整除,故③为真命题;对于④,∀x∈N,x2≥1的否定是∃x∈N,x2<1,故④为假命题.故答案为①③.

14.A　∵∀x∈{x|1≤x<3},都有x<3,

∴要使m>x成立,只需m≥3.

故选A.

15.B　命题p:∃x>0,x+t-1=0,即∃x>0,x=1-t,∵p为真命题,∴1-t>0,解得t<1,∴实数t的取值范围是{t|t<1}.

故选B.

16.B　若命题p是假命题,则¬p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0为真命题,

则Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.故选B.

17.C　若命题p为假命题,则¬p:∀x∈R,关于x的不等式ax2+ax+2>0为真命题,

当a=0时,2>0恒成立,满足题意;

当a≠0时,则需解得0<a<8.

综上所述,实数a的取值范围为0≤a<8.故选C.

解题模板　利用命题p或命题¬p的真假求参数的取值范围时,有四种情况:命题p真、命题p假、命题¬p真与命题¬p假,解题时只要求出一个就能得到其他三个的范围,如求出命题p为真时参数的范围是A,则命题p为假与命题¬p为真时参数的范围是∁UA,命题¬p为假时参数的范围是A.

18.D　若命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-a≥0为真命题,则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立,∴a≤1.

若命题q:∃x∈R,x2+2ax+4=0为真命题,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.

∵命题¬p和命题q都是真命题,

∴解得a≥2.

故选D.

19.答案　{m|m>-4}

解析　不等式m+x2-2x+5>0可化为m>-(x2-2x+5),即m>-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4,所以m的取值范围是{m|m>-4}.

20.解析　(1)∵命题“∃x∈B,x∉A”是假命题,∴该命题的否定“∀x∈B,x∈A”是真命题,∴B⊆A.

当B≠⌀时,有解得2≤m≤3;

当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2.

综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤3}.

(2)∵命题“∀x∈A,x∉B”是假命题,

∴该命题的否定“∃x∈A,x∈B”为真命题,则A∩B≠⌀,

∴B≠⌀,∴m+1≤2m-1,∴m≥2,

∴3≤m+1≤2m-1,

则m+1≤5,∴m≤4.

综上,实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}.