高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数课后练习题

第四章　指数函数与对数函数

4.1　指数　　　　　

4.1.1　n次方根与分数指数幂

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质

基础过关练

题组一　根式的概念及性质

1.已知x6=6,则x等于(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.±

2.若2 021<m<2 022,则()3+等于(　　)

A.1　　　　　    　B.4 043-2m

C.4 043　　　　　　D.2m-4 043

3.计算的值是(　　)

A.　　　　　B.-　　　　　C.±　　　　　D.-

4.化简:

(1)-;

(2)(x<π,n>1,且n∈N*).

题组二　分数指数幂与根式的运算

5.计算的结果是(　　)

A.π　　　　　B.　　　　　C.-π　　　　　D.

6.(2022浙江温州新力量联盟期中联考)已知a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

7.(2022江苏南通如东高级中学阶段测试)已知x<0,y<0,化简的结果是(　　)

A.-x2y　　　　　　B.x2y

C.-3x2y　　　　　　 D.3x2y

8.(2021山东省实验中学期中)-(-9.6)0-+

(1.5)-2=　　　　. 

9.(2022广东实验中学期中)计算下列各式:

(1)-+-;

(2)(a>0,b>0).

题组三　指数幂的条件求值问题

10.已知+=5(x>0),那么+等于(　　)

A.　　　　　B.-　　　　　C.±　　　　　D.7

11.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个实数根,则2α·2β=　　　　,(2α)β=　　　　.  

12.若+=0,则(x2 021)y=　　　　. 

13.已知5m=2,5n=3,则54m-3n的值为　　　　.

能力提升练

　题组一　根式的概念及性质

1.(2021安徽安庆期中)若a<,则化简的结果是(　　)

A.　　　　　　B.-

C.　　　　　　D.-

2.(多选)(2021江苏南师附中期中)下列运算结果中,一定正确的是(　　)

A.a3·a4=a7　　　　　　B.=a6

C.=a　　　　　　D.=-π

3.计算下列各式:

(1);(2)+.

题组二　分数指数幂与根式的运算

4.A4纸是生活中最常用的纸张规格.A系列的纸张规格特色在于:①A0,A1,A2,…,A5,所有尺寸的纸张长宽比都相同;②在A系列纸中,以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸,比如1张A0纸对裁后可以得到2张A1纸,1张A1纸对裁后可以得到2张A2纸,依此类推,这是因为A系列纸张的长宽比为∶1这一特殊比例,所以具备这种特性.已知A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米,那么A4纸的长度约为(　　)

A.14.8厘米　　　　　　B.21.0厘米

C.29.7厘米　　　　　　D.42.0厘米

5.(多选)下列运算正确的是(　　)

A.a=              B.=

C.=              D.()4·()4=a4

6.(2022江苏镇江一中段考)计算下列各式:

(1)[(-3)2++()6-;

(2)4·÷.

题组三　指数幂的条件求值问题

7.已知2a=5b=m,且+=2,则m等于(　　)

A.　　　　　B.10　　　　　C.20　　　　　D.100

8.(2020湖南长沙长郡中学第一次模块检测)已知a+a-1=3(a>0),则下列各式中正确的个数是(　　)

①a2+a-2=7;②a3+a-3=18;③+=±;④a+=2.

A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4

9.已知2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y=　　　　. 

10.已知+=3,则的值为　　　　.

答案全解全析

基础过关练

1.D

2.A　因为2 021<m<2 022,所以m-2 022<0,故原式=m-2 021+|m-

2 022|=m-2 021+2 022-m=1.故选A.

3.B　==-.

4.解析　(1)-=|π-5|-(2-π)=5-π-2+π=3.

(2)因为x<π,所以x-π<0,

当n为偶数时,=|x-π|=π-x;

当n为奇数时,=x-π.

综上,=(n>1).

5.D　=π-1=,故选D.

6.C　=====,故选C.

7.A　∵x<0,y<0,∴==x2|y|=-x2y,故选A.

8.答案　

解析　原式=-1-+=-1-+=.

9.解析　(1)原式=-+-=-2+1-3=-.

(2)原式==·=.

10.A　易得=++2=5+2=7.又x>0,所以+=.

11.答案　;

解析　由一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=,则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=.

12.答案　-1

解析　因为+=0,

所以+=|x+1|+|y+3|=0,

所以x=-1,y=-3.

所以(x2 021)y=[(-1)2 021]-3=(-1)-3=-1.

13.答案　

解析　54m-3n=54m·5-3n=·=24×3-3=.

能力提升练

1.C　∵a<,∴2a-1<0,

∴=|2a-1 =(1-2a=.故选C.

2.AD　a3·a4=a3+4=a7,故A正确;(-a2)3=-a6,故B不正确;=|a|,故C不正确;=-π,故D正确.故选AD.

易错警示　运用根式的性质解题时,要注意根指数的奇偶性,奇偶性不同性质不同,防止记错性质导致解题错误.

3.解析　(1)====3-2.

(2)原式=+y-x=|x-y|+y-x.

当x≥y时,原式=x-y+y-x=0;

当x<y时,原式=y-x+y-x=2(y-x).

∴原式=

4.答案　C

信息提取　①A0,A1,A2,…,A5,所有尺寸的纸张长宽比都相同;②在A系列纸中,以前一个序号的纸张的两条长边中点连线为折线对折裁剪分开后,可以得到两张后面序号大小的纸;③A系列纸张的长宽比为∶1;④A0纸规格为84.1厘米×118.9厘米.

数学建模　由生活中常见纸张规格之间的长度关系建立指数幂的有关数学模型,根据题意设出A4纸的长度,利用指数幂的运算求解.

解析　设A4纸的长度为x 厘米,则A3纸的长度为x 厘米,依此类推可以得==4,解得x≈29.7,故选C.

5.BD　选项A中,易知a<0,所以a=-,故错误;选项B中,===,故正确;选项C中,===,故错误;选项D中,·=·=4·4=a2·a2=a4,故正确.故选BD.

易错警示　在对根式进行化简时,要注意字母的取值范围,解题时要先确定字母的范围,再运用根式的性质化简,或将根式化为分数指数幂的形式,利用幂的运算性质化简,防止弄错范围导致解题错误.

6.解析　(1)[(-3)2++()6-

=33++22-1=27+2+4-1=32.

(2)4·÷=4×××=-6a.

7.A　由题意得m>0,

∵2a=5b=m,∴2=,5=,

∴2×5=·=,又+=2,

∴m2=10,∴m=.

8.C　由a+a-1=3,得(a+a-1)2=a2+a-2+2=9,所以a2+a-2=7,故①正确;

因为a3+a-3=(a+a-1)(a2-a·a-1+a-2)=3×(7-1)=18,故②正确;

因为(+)2=a+2+a-1=5,且a>0,所以+=,故③错误;

因为=a3+a-3+2=18+2=20,且a>0,

所以a+=2,故④正确.故选C.

9.答案　27

解析　由2x=8y+1,得2x=23y+3,所以x=3y+3.①

由9y=3x-9,得32y=3x-9,所以2y=x-9.②

联立①②,解得x=21,y=6,所以x+y=27.

10.答案　±

解析　∵+=3,∴(+)2=x+x-1+2=9,∴x+x-1=7,

∴(x+x-1)2=x2+x-2+2=49,∴x2+x-2=47,

∴(x-x-1)2=x2+x-2-2=47-2=45,

∴x-x-1=±3,∴====±.