高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换综合训练题

5.5.2　简单的三角恒等变换

基础过关练　　　　　 　　　　　　　　　　

题组一　三角函数式的求值问题

1.若cos α=,且α∈(0,π),则cos 的值为(　　)

A.　　　　　B.-　　　　　C.±　　　　　D.

2.已知α∈,cos α=,则tan =(　　)

A.3　　　　　B.-3　　　　　C.　　　　　D.-

3.cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°=(　　)

A.-　　　　　B.　　　　　C.-　　　　　D.

4.已知sin -cos =-,450°<α<540°,则tan 的值为　　　　.  

5.已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos与tan的值.

题组二　三角函数式的化简与证明问题

6.化简:=　　　. 

7.已知A,B,C为△ABC的三个内角,sin A·cos2+sin Ccos2=sin B,求证:sin A+sin C=2sin B.

题组三　三角恒等变换的综合应用

8.(2022河南信阳高级中学期末)对于函数f(x)=sin 2x+cos 2x,有以下四个结论:①f(x)的图象关于点对称;②f(x)在区间上递增;③f(x)的图象关于直线x=-对称;④f(x)的最小正周期是π.

其中正确结论的个数是(　　)

A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3

9.(2020河南郑州期末)下列函数是偶函数且最小正周期为的是(　　)

A.y=cos24x-sin24x　　　　　　B.y=sin 4x

C.y=sin 2x+cos 2x　　　　　　D.y=cos 2x

10.(2020湖北武汉期中)函数y=sin 2x+sin2x的值域是(　　)

A.　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

11.函数f(x)=cos x(sin x-cos x)+,x∈[0,π],则f(x)的单调递减区间是　　　　. 

能力提升练

题组一　三角函数式的求值问题

1.计算:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°=(　　)

A.　　　　　　B.

C.　　　　　　D.1

2.(2022浙江宁波镇海中学期末)已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则cos(2α+2β)=(　　)

A.-　　　　　　B.

C.-　　　　　　D.-

3.(2022浙江绍兴上虞期末)若sin θ=,<θ<3π,则tan +

2cos =　　　　. 

4.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值.

5.(2020河南开封五县期末联考)已知角α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5.

(1)求sin的值;

(2)先化简,再求值.

题组二　三角函数式的化简与证明问题

6.若<θ<π,则-=(　　)

A.2sin-cos　　　　　　B.cos-2sin

C.cos　　　　　　D.-cos

7.化简:=　　　　(其中180°<α<360°). 

8.在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4coscoscos.

题组三　三角恒等变换的综合应用

9.(多选)(2022浙江温州期末)已知函数f(x)=2sin xcos+,则(　　)

A.f(x)的最小正周期为2π

B.f(x)的图象关于直线x=对称

C.f(x)在上单调递减

D.f(x)的最大值为2

10.(2020山东潍坊诸城期中)已知当x=x0时,函数f(x)=sin x+2cos x取得最大值,则sin x0=(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

11.(2022湖北荆州沙市中学期末)已知x∈,则f(x)=sin x+cos x-2sin xcos x+2的值域为　　　　. 

12.已知函数f(x)=cos xsin-cos2x+.

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)求f(x)在上的值域.

13.(2020福建福州期末联考)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形的面积之比为9∶16,求cos(α-β)的值.

答案全解全析

基础过关练

1.A　因为α∈(0,π),所以∈,所以cos ===.

2.D　解法一:因为α∈,所以∈,

所以tan =-=-=-.

解法二:因为α∈,cos α=,所以sin α=-,

所以tan ==-.故选D.

3.B　cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°

=-2sin sin +[sin(4°+26°)+sin(4°-26°)]

=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°)

=sin 22°+-sin 22°=.

4.答案　2

解析　由题意得=,即1-sin α=,∴sin α=.

∵450°<α<540°,∴cos α=-,

∴tan ===2.

5.解析　因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,

所以cos α=-,cos β=.

所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=.

解法一:因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,

所以0<<,

所以cos==
=,

sin==.

所以tan==.

解法二:同解法一,求得cos =.

由0<α-β<π,cos(α-β)=,

得sin(α-β)==.

所以tan===.

6.答案　1

解析　原式===1.

7.证明　由sin Acos2+sin Ccos2=sin B,

得sin A·+sin C·=sin B,

即sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C=3sin B,

∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,

∴sin A+sin C+sin(π-B)=3sin B,

即sin A+sin C+sin B=3sin B,

∴sin A+sin C=2sin B.

8.C　f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以f =2sin=2sin =1≠0,故①错误;

当x∈时,2x+∈,故f(x)在上递增,故②正确;

f=2sin=0≠±2,故③错误;

函数f(x)的最小正周期为=π,故④正确.

故选C.

9.A　选项A中,易知函数y=cos24x-sin24x=cos 8x是偶函数,最小正周期为=,故正确;选项B中,易知函数y=sin 4x是奇函数,最小正周期为=,故错误;选项C中,易知函数y=sin 2x+cos 2x=

sin既不是奇函数也不是偶函数,最小正周期为=π,故错误;选项D中,易知函数y=cos 2x是偶函数,最小正周期为=π,故错误.故选A.

10.C　y=sin 2x+sin2x=sin 2x+=+sin,

∵-1≤sin≤1,

∴函数的值域为.

11.答案　

解析　f(x)=cos x(sin x-cos x)+=sin 2x-cos 2x=sin,

令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

∵x∈[0,π],∴f(x)的单调递减区间为.

能力提升练

1.C　解法一:原式

=sin 20°+sin(60°-20°)+sin 60°-sin(60°+20°)

=sin 20°+sin 60°cos 20°-cos 60°sin 20°+sin 60°-

sin 60°cos 20°-cos 60°sin 20°

=sin 20°-2cos 60°sin 20°+sin 60°

=sin 60°=.

解法二:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80°

=2sin 30°cos 10°+2cos 70°sin(-10°)

=cos 10°-2cos(60°+10°)sin 10°

=cos 10°-2sin 10°

=cos 10°-sin 20°+(1-cos 20°)

=-+cos 10°

=-(sin 30°sin 20°+cos 30°cos 20°)+cos 10°

=-cos(30°-20°)+cos 10°

=-cos 10°+cos 10°=.

2.A　由4sin2α+2sin2β=1,得4×+2×=1,

即2cos 2α+cos 2β=2①,

由题知2sin 2α-sin 2β=0②,

①2+②2得4cos22α+4cos 2αcos 2β+cos22β+4sin22α-4sin 2αsin 2β+sin22β=4,

所以4cos 2αcos 2β-4sin 2αsin 2β=-1,

即4cos(2α+2β)=-1,所以cos(2α+2β)=-,

故选A.

3.答案　3-

解析　因为sin θ=,<θ<3π,

所以cos θ=-=-=-,<<,

所以cos =-=-=-,sin =-=-=-,

所以tan ==3,

所以tan +2cos =3-.

4.解析　因为cos α-cos β=,

所以-2sin sin =.

因为sin α-sin β=-,所以2cos sin =-.

易知sin ≠0,所以-tan =-,所以tan =,所以sin(α+β)===.

5.解析　(1)∵3cos 2α-8cos α=3(2cos2α-1)-8cos α=5,

∴3cos2α-4cos α-4=0,

∴cos α=-(cos α=2舍去),

∵α∈(0,π),

∴sin α==,

∴sin=(sin α+cos α)=×= .

(2)=

=

==tan α+.

由(1)得tan α==-,

∴=×+=.

6.D　∵<θ<π,∴<<,∴sin>cos>0.

∵1-sin θ=sin2+cos2-2sincos=,

(1-cos θ)=sin2,

∴-

=-

=sin-cos-sin

=-cos.

7.答案　cos α

解析　原式=

=

==.

因为180°<α<360°,所以90°<<180°,所以cos<0,所以原式=cos α.

8.证明　由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B),即=90°-,

∴cos=cos=sin.

∴sin A+sin B+sin C

=2sin·cos+sin(A+B)

=2sin·cos+2sin·cos

=2sin

=2cos·2cos·cos

=4coscoscos,

即sin A+sin B+sin C=4coscoscos.

9.BC　f(x)=2sin x+=sin xcos x+(1-2sin2x)

=sin 2x+cos 2x=sin,

所以函数f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故A,D错误;

令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),即f(x)的图象的对称轴为直线x=+(k∈Z),当k=0时,x=,故B正确;

令+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),

解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

当k=0时,函数f(x)的单调递减区间为,

因为⊆,所以f(x)在上单调递减,故C正确.

故选BC.

10.A　f(x)=sin x+2cos x=sin(x+φ),其中sin φ=,cos φ=,

当x=x0时,f(x)取得最大值,则x0+φ=+2kπ,k∈Z,即x0=-φ+2kπ,k∈Z,

故sin x0=sin=cos φ=.故选A.

11.答案　[+1,3]

解析　令t=sin x+cos x,则t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,所以2sin xcos x=t2-1,

因为t=sin x+cos x=sin,x∈,所以t∈[1,],则y=t-(t2-1)+2=-t2+t+3,t∈[1,],易知函数y=-t2+t+3在[1,]上单调递减,所以ymax=-12+1+3=3,ymin=-++3=+1,所以函数的值域为[+1,3].

12.解析　(1)f(x)=cos xsin-cos2x+

=cos xsin x+cos2x-cos2x+

=cos xsin x-cos2x+

=sin 2x-(1+cos 2x)+

=sin 2x-cos 2x=sin,

令2kπ-≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

得kπ-≤x≤+kπ,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)由(1)得f(x)=sin,

因为x∈,所以2x-∈,

所以-1≤sin≤,

所以-≤sin≤,

故函数f(x)在上的值域为.

13.解析　设大正方形的边长为4,

依题意得小正方形的边长为3,

∴4cos α-4sin α=3,即cos α-sin α=,①

4sin β-4cos β=3,即sin β-cos β=.②

①×②,得sin βcos α-sin βsin α-cos αcos β+

sin αcos β=.

又sin α=cos β,cos α=sin β,

∴sin2β-(cos αcos β+sin αsin β)+cos2β=,

即1-cos(α-β)=,∴cos(α-β)=1-=.

解后反思　利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.