第三章　函数的概念与性质-易错点习题-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽视函数的定义域导致错误

1.(2021北京八中期中)给出下列三个函数:①y=;②y=;③y=.

其中与函数y=x是同一个函数的序号是　　　　. 

2.已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(x)是减函数,若f(m-2)+f(2m-3)>0,则实数m的取值范围是　　　　. 

3.设函数f(x)=若f(a)=4,则实数a=　　　　. 

4.(2022重庆南开中学期中)函数f(x)=x-的值域为　　　　. 

5.(2020河南洛阳一高月考)函数f(x)=的单调递增区间是　　　　. 

易错点2　忽略分段函数自变量的范围——分段点处的情况导致

错误

6.(2022山西大同期中)若函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　. 

7.对任意x∈R,函数f(x)=max-x+3,x+,x2-4x+3,则f(x)的最小值是　　　　. 

易错点3　忽视对参数取值范围的讨论导致错误

8.(多选)(2022广东实验中学期中)下列图象中,可能是f(x)=ax+(a∈R)的图象的是(　　)

9.已知函数f(x)=x2-kx-8在定义域[5,10]内是单调函数.

(1)求实数k的取值范围;

(2)是否存在实数k,使函数f(x)的最小值为7?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

10.(2020山西长治二中期末)已知函数f(x)=其中a为实数.

(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数,求a的取值范围;

(2)若a<7,使不等式f(x)-a>0成立的正整数解有且仅有一个,求a的取值范围.

思想方法练

一、数形结合思想在函数中的运用

1.(2021山东省实验中学期中)在同一坐标系中,函数f(x)=ax+与g(x)=ax2的图象可能是(　　)

2.(2022河北张家口期中)若关于x的方程|x2-1|-x=m有4个不相等的实数根,则实数m的取值范围是　　　　　. 

二、分类讨论思想在函数中的运用

3.(2022北师大实验中学期中)如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,则不等式f(x)·g(x)<0的解集为(　　)

A.(-∞,-1)∪(-1,0)            B.(-∞,-1)∪(0,1)

C.(-1,0)∪(1,+∞)             D.(0,1)∪(1,+∞)

4.(2022天津耀华中学期中)已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数.当x≥0时,f(x)=x2-2x.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调,求实数a的取值范围;

(3)当a>-1时,记f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.

三、转化与化归思想在函数中的运用

5.(2021山西太原期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x++1,则f(x)≤3的解集是(　　)

A.[0,1]

B.[-1,1]

C.[-2,1]

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

6.已知函数f(x)=ax3-bx+1,若f(2)=5,则f(-2)=　　　　. 

7.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,求m的取值范围.

四、方程思想在函数中的运用

8.(2020江西临川一中月考)已知函数f(x)满足2f(x)=xf +,则f(3)=(　　)

A.3　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

9.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=2+,则f(2 021)=　　　　. 

答案全解全析

易混易错练

1.答案　②

解析　易知y=x的定义域为R.

①y=的定义域为{x|x≠2},定义域不同,与y=x不是同一个函数;

②y==x与y=x的对应关系相同,定义域也相同,故两函数是同一个函数;

③y==|x|,对应关系不同,与y=x不是同一个函数.

易错警示　研究两个函数是不是同一个函数时,应先求定义域,看定义域是否相同,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,则再判断对应关系是否相同.

2.答案　

解析　∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,∴-1<x<1, f(-x)=-f(x),∴f(m-2)+f(2m-3)>0可化为f(m-2)>-f(2m-3)=f(-2m+3),∵f(x)是减函数,∴∴1<m<.

易错警示　解题时若只考虑单调性,忽视了函数的定义域,则会得到m<的错误结果.

3.答案　-4或2

解析　因为函数f(x)=且f(a)=4,

所以或解得a=-4或a=2.

4.答案　(-∞,2]

解析　根据题意,可知2-x≥0,则x≤2,

令t=,则t≥0,x=2-t2,

则y=2-t2-t=-+(t≥0),

可知当t=0时,y取得最大值2,无最小值,

所以函数f(x)=x-的值域为(-∞,2].

易错警示　解题时利用换元得到新的函数后,应注意新函数的定义域.

5.答案　[2,+∞)

解析　由x2+x-6≥0得x≥2或x≤-3,设t=x2+x-6,则g(t)=(t≥0)在[0,+∞)上单调递增,t=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)=的单调递增区间是[2,+∞).

解后反思　求解函数的单调区间时,首先要考虑函数的定义域.

6.答案　

解析　若函数f(x)=在R上单调递增,

则解得2≤a≤,

则实数a的取值范围是.

易错警示　与分段函数有关的问题,解题时应注意分段点及分段点处的函数值.

7.答案　2

解析　在同一直角坐标系中画出y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示.

由图可得, f(x)min=f(1)=2.

8.ACD　当a=0时,f(x)=,为反比例函数,A选项满足;

当a>0时, f(x)=ax+为奇函数,易知f(x)在上单调递减,在上单调递增,D选项满足;

当a<0时,f(x)=ax+为奇函数,且函数y=ax与y=在(0,+∞)上均单调递减,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,C选项满足.故选ACD.

易错警示　当参数的取值对函数的性质及图象产生影响时,应注意对参数进行分类讨论.

9.解析　(1)易知函数y=x2-kx-8的图象的对称轴方程为x=,

因为函数f(x)=x2-kx-8在定义域[5,10]内是单调函数,所以≤5或≥10,即k≤10或k≥20,

所以实数k的取值范围是(-∞,10]∪[20,+∞).

(2)当k≤10时,函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,10]上单调递增,

因此函数在区间[5,10]上的最小值是f(5)=17-5k=7,解得k=2;

当k≥20时,函数f(x)=x2-kx-8在区间[5,10]上单调递减,

因此函数在区间[5,10]上的最小值是f(10)=92-10k=7,解得k=(舍去).

综上,存在k=2,使函数f(x)的最小值为7.

10.解析　(1)当0<x≤2时, f(x)=-x,为减函数,若f(x)为定义域上的单调函数,

则当x>2时, f(x)=-x2+(a+2)x-2a也为减函数,且f(x)≤f(2)=0,

故解得a≤2.

故a的取值范围为(-∞,2].

(2)易得f(1)=3, f(2)=0.

当a<0时, f(2)=0>a, f(1)=3>a,不符合题意;

当0≤a≤2时,由(1)知f(x)为定义域上的减函数,仅有f(1)=3>a成立,符合题意;

当2<a<3时,在(0,2]上,仅有f(1)=3>a,

在(2,+∞)上, f(x)的最大值为f =<<a,不存在x满足f(x)-a>0,符合题意;

当3≤a<7时,在(0,2]上,不存在整数x满足f(x)-a>0,

在(2,+∞)上,-a=<-,不存在x满足f(x)-a>0,不符合题意.

综上所述,0≤a<3.

思想方法练

1.A　在函数f(x)=ax+中,由a与同号,可排除B、D,

根据函数解析式的特点分析图象特点.

在选项A、C中,由f(x)的图象可知a>0,此时g(x)的图象应为开口向上的抛物线,故选A.

2.答案　1<m<

解析　关于x的方程|x2-1|-x=m有4个不相等的实数根⇔函数y=|x2-1|的图象和直线y=x+m有4个交点.

方程解的个数转化为直线与函数图象交点的个数,通过作图解决问题.

作出函数y=|x2-1|的图象如图所示:

直线y=x+m过点(-1,0)时,m=1;

直线y=x+m与y=1-x2的图象相切时,x+m=1-x2有两个相等的实数根,即Δ=1-4(m-1)=0,解得m=.

由“形”定性地确定直线y=x+m与y=|x2-1|的图象有4个交点时的位置,由“数”定量地计算边界直线中m的值.

故|x2-1|-x=m有4个不相等的实数根时,实数m的取值范围是1<m<.

思想方法　在解决函数问题时要注意数形结合思想的运用,利用函数图象直观地研究函数的有关性质,可避免复杂的计算和推理,实现解题快速准确.

3.D　由于f(x)·g(x)<0,因此可就其中一个函数的符号进行分类讨论,如分f(x)<0和f(x)>0两种情况讨论.

当f(x)<0时,x∈(-∞,-1)∪(0,1),此时需满足g(x)>0,则x∈(-1,1),故x∈(0,1);

当f(x)>0时,x∈(-1,0)∪(1,+∞),此时需满足g(x)<0,则x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故x∈(1,+∞).

综上所述,不等式f(x)·g(x)<0的解集为(0,1)∪(1,+∞).故选D.

4.解析　(1)当x<0时,-x>0,可得f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),

所以当x<0时, f(x)=x2+2x,

所以f(x)=

(2)作出函数f(x)的图象如图:

可得f(x)的增区间为[1,+∞),[-1,0],减区间为(-∞,-1],[0,1].

若函数f(x)在区间[a,a+2]上单调,

则[a,a+2]⊆(-∞,-1]或[a,a+2]⊆[1,+∞),即a+2≤-1或a≥1,解得a≤-3或a≥1,

故实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥1}.

(3)由于a的取值范围不同会影响函数f(x)的单调性,进而影响f(x)的最小值,故应对a的取值范围进行分类讨论.

当-1<a≤1时,1<a+2≤3,此时g(a)=f(1)=12-2×1=-1;

当a>1时, f(x)在区间[a,a+2]上单调递增,所以g(a)=f(a)=a2-2a.

综上可知,g(a)=

思想方法　在含参函数中,参数的取值不同,函数的图象、性质可能有不同的变化,解题时要依据题意对参数进行分类讨论.涉及分段函数时,要注意自变量的取值范围对解题的影响.

5.B　当x≥0时, f(x)=x++1,则f(x)在[0,+∞)上为增函数,且f(1)=1+1+1=3,

又函数f(x)是定义在R上的偶函数,

所以f(x)≤3⇔f(|x|)≤f(1)⇔|x|≤1,

利用特殊值、函数的奇偶性、单调性,将不等式脱去“f ”,进而解决问题. 

解得-1≤x≤1,故f(x)≤3的解集为[-1,1],故选B.

思想方法　转化与化归思想在函数中常见的运用:利用函数的奇偶性、单调性对自变量的范围进行转化,将不等式恒(能)成立等问题转化为函数的最大(小)值问题等.

6.答案　-3

解析　设g(x)=f(x)-1=ax3-bx,则g(x)的定义域为R,g(-x)=-ax3+bx=-g(x),故g(x)为奇函数,

构造奇函数,利用奇函数的性质进行转化求值.

故g(-2)=-g(2),即f(-2)-1=-[f(2)-1],

即f(-2)=-f(2)+2=-5+2=-3.

7.解析　由f(x)=2f(x+2)得f(x+2)=f(x),则f(x)=f(x-2).

当x∈[-2,0)时, f(x)=-2(x+1)2+2,其最大值为2.

当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0), f(x)=×f(x-2)=×[-2(x-2+1)2+2]=-(x-1)2+1,其最大值为1,

将x∈[0,2)转化到已知解析式的自变量的取值范围,根据条件求出解析式.

同理,当x∈[2,4)时, f(x)max=, f(x)≤恒成立.依此类推,可知当x≥2时, f(x)≤恒成立.当x∈[0,2)时,由f(x)=得-(x-1)2+1=⇒(x-1)2=⇒x=或x=.结合图象(图略)知,若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,则m≥.

综上所述,m的取值范围是.

8.B　在2f(x)=xf +中,分别令x=3和x=,得2f(3)=3f +①,

2f =f(3)+3②,

联立①②,消去f ,解得f(3)=.故选B.

对变量进行赋值,构造方程组,通过解方程组得到问题的解.

9.答案　2+

解析　因为f(x+2)=2+,

所以f(x+2)-2=,

即[f(x+2)-2]2=4f(x)-[f(x)]2,

即[f(x+2)]2-4f(x+2)=-{[f(x)]2-4f(x)}-4,

令g(x)=[f(x)]2-4f(x),则g(x+2)=-g(x)-4,

所以g(x+4)=-g(x+2)-4=g(x),

所以g(2 021)=g(4×505+1)=g(1),

因为f(x)是偶函数,所以g(x)=[f(x)]2-4f(x)为偶函数,

所以g(1)=-g(-1)-4=-g(1)-4,所以g(1)=-2,

即[f(2 021)]2-4f(2 021)=-2,

解得f(2 021)=2±,

对变量进行赋值,通过解方程解决问题.

又f(x+2)=2+≥2,即f(2 021)≥2,

所以f(2 021)=2+.

思想方法　在函数中,利用函数、方程、不等式三者的联系,通过解方程(组)等解决函数中的相关问题,是解决函数问题最基本的方法.