人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后复习题

4.5.3　函数模型的应用

基础过关练

题组一　利用指数函数、对数函数模型解决问题

1.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式:C=Wlog2,其中C为最大数据传输速率,单位为bit/s;W为信道带宽,单位为Hz;为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当=99,W=2 000时,最大数据传输速率记为C1;当=9 999,W=3 000时,最大数据传输速率记为C2,则=(　　)

A.1　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.3

2.(多选)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位: ℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则关于该食品保鲜的描述正确的是(　　)

A.k>0

B.储存的温度越高保鲜时间越长

C.在11 ℃时的保鲜时间是96小时

D.在33 ℃时的保鲜时间是24小时

3.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.已知某传染病的感染者在总人数中所占的比例I(t)的Logistic模型为I(t)=,其中i0指初始时刻感染者的比例,t指经过的时间,μ是每个感染者每天有效接触的平均人数,i0,μ是常数.当I(t)=时,感染者的增加速度最快,可以认为当天是医院感染者数量最大的一天,足以引起卫生部门的高度关注.根据此数学模型,假设某人口数量为2 000万的超大型城市最初发现100例该传染病的感染者,且μ=8.当该市医院感染者数量达到最大时,t的数值为(保留一位小数,参考数据:ln 199 999≈12.21)(　　)

A.1.0　　　　　B.1.5　　　　　C.2.0　　　　　D.2.5

4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min,那么咖啡降温到35 ℃时,需要多长时间?(参考数据:lg 11≈1.04,lg 2≈0.30)

5.为落实中央“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植,并计划今后10年内在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%.

(1)以2021年为第1年,分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数,并写出第x年该企业投入的研发资金数y(万元)与x的函数关系式以及函数的定义域;

(2)该企业从哪年开始,每年投入的研发资金数将超过600万元?(参考数据:log1.12≈7.3)

题组二　拟合函数模型解决问题

6.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y(℃)随时间x(min)变化的规律的是(　　)

A.y=mx2+n(m>0)

B.y=mx+n(m>0)

C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)

D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)

7.(2022广东惠州惠阳中山中学期末)某纪念章从2021年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下表:

(1)根据上表数据,从下列四个函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由;

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=a·logbx;

④y=k·ax.

(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低价格.

能力提升练

题组一　利用指数函数、对数函数模型解决问题

1.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)

A.1.2天　　　　　B.1.8天　　　　　C.2.5天　　　　　D.3.5天

2.(2020北京房山期末)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg (其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值约为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.104　　　　　D.e4

3.(2021黑龙江大庆铁人中学期中)某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若开始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)

A.8　　　　　B.9　　　　　C.10　　　　　D.11

4.(2022广东中山期末)中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到,不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别,达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温,小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型:如果物体的初始温度是θ1,环境温度是θ0,则经过时间t(单位:分钟)后物体温度θ将满足:θ=θ0+(θ1-θ0)·e-kt,其中k为正的常数.小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200 ml初始温度为98 ℃的水在19 ℃室温中温度下降到相应温度所需时间,如下表所示:

 (1)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t(单位:分钟)关于冷却后水温θ(单位:℃)的函数关系,并选取一组数据求出相应的k值(精确到0.01);

(2)碧螺春用75 ℃左右的水冲泡可使茶水清澈明亮,口感最佳.在(1)的条件下,200 ml水煮沸后(温度约98 ℃)在19 ℃室温下为获得最佳口感大约冷却多少分钟左右冲泡?并说明理由.

(参考数据:ln 79≈4.369,ln 71≈4.263,ln 66≈4.190,ln 61≈4.111,ln 56≈4.025)

题组二　拟合函数模型解决问题

5.某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快,开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过月份x(x∈N)的关系有两个函数模型y=k·ax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.

(1)合适的函数模型的解析式为　　　　; 

(2)约经过　　　　个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍.(参考数据:≈1.41,≈1.73,lg 2≈0.30,lg 3≈

0.48) 

6.(2022湖南长沙雅礼中学期末)某校数学建模小组的同学想研究“假如没有杂交水稻的推广,没有合理的人口、土地政策,仅以新中国成立时的自然条件为前提,我国年人均粮食占有量会如何变化?”根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长,而生活资料呈直线型增长”,该小组同学做了以下研究:

根据马尔萨斯的理论,自然状态下人口增长模型为y=y0ert①,其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率,y(单位:万人)表示t年后的人口数.根据国家统计局网站的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万.该小组同学根据这两个数据,以1950年末的数据作为t=0时的人口数,求得①式人口增长模型.经检验,1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合,如图.

(1)若你是该小组成员,请求出①式的人口增长模型,并利用该模型计算从1950年末开始,大约多少年后我国人口总数达到13亿;

(2)根据马尔萨斯的理论,该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看成直线型模型,通过查阅我国1950年末至1959年末的粮食产量,得到粮食增长模型近似为y=600t+13 600(其中t表示经过的时间,y表示第t年的粮食年产量,单位:万吨).f(t)=(t∈N)表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量,单位:吨/人.

(i)求满足<1的正整数k的最小值;

(ii)按此模型,我国年人均粮食占有量能达到400千克吗?试说明理由.

参考数据:ln 67 207-ln 55 196≈9×0.021 88,ln 130 000-ln 55 196≈39.15×0.021 88,e0.021 88≈1.022,55 196×1.02223≈91 050.

答案全解全析

基础过关练

1.D　当=99,W=2 000时,C1=2 000log2(1+99)=2 000log2100=

4 000log210,

当=9 999,W=3 000时,C2=3 000log2(1+9 999)

=3 000log210 000=12 000log210,

∴==3,故选D.

2.CD　根据题意,将(0,192),(22,48)分别代入y=ekx+b,得所以==,所以e11k=,所以k<0,故储存的温度越高保鲜时间越短.

该食品在11 ℃时的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=×192=96(小时),该食品在33 ℃时的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(小时).故选CD.

3.B　由题意,得i0==,将i0=,μ=8代入I(t)=,得I(t)=.当I(t)=时,该市医院感染者数量达到最大,则=,所以199 999e-8t=1,

即t=-ln =ln 199 999≈1.5.故选B.

4.解析　由题意知40-24=(88-24)×,

即=,解得h=10,

故T-24=(88-24)×,

将T=35代入上式,得35-24=(88-24)×,即=,所以t=10lo=10≈25.

因此,咖啡降温到35 ℃约需要25 min.

5.解析　(1)由题设,得第1年研发资金为300×(1+10%)=330(万元),第2年研发资金为300×(1+10%)2=363(万元),∴第x年该企业投入的研发资金数y与x的函数关系式为y=300(1+10%)x,其定义域为{x|1≤x≤10,且x∈N*}.

(2)令y=300(1+10%)x>600,即1.1x>2,

∴x>log1.12≈7.3,

又x∈N*,∴该企业从第8年,即2028年开始,每年投入的研发资金数将超过600万元.

6.C　选项A中,函数的图象是以y轴为对称轴的开口向上的抛物线,与散点图不符;选项B中,函数的图象是直线,与散点图不符;选项D中,函数的定义域为(0,+∞),与散点图不符.故选C.

7.解析　(1)选取②y=ax2+bx+c.理由如下:

∵随着时间x的增加,y的值先减后增,

而函数y=ax+b,y=a·logbx及y=k·ax都是单调函数,不满足题意,

∴选取函数y=ax2+bx+c.

(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,

得解得

∴y=x2-10x+126=(x-20)2+26,

∴当x=20时,y有最小值,ymin=26.

故该纪念章市场价最低时的上市天数为20,最低价格为26元.

能力提升练

1.B　因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,

所以r==0.38,所以I(t)=ert=e0.38t,

设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,则I(t1)=2I(0),即=2,所以0.38t1=ln 2,

所以t1=≈≈1.8.故选B.

2.C　设装修时电钻发出的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2.

则⇒

所以装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值约为==104.

3.D　设过滤n次可达到市场要求,则×≤,因此,≤,

则n≥==≈10.416,

又n∈N*,所以n≥11,即至少应过滤11次才能达到市场要求.故选D.

4.解析　(1)由θ=θ0+(θ1-θ0)·e-kt,得e-kt=,

即-kt=ln ,所以t=ln .

在环境温度为θ0=19 ℃下,选取从θ1=98 ℃下降到θ=90 ℃所用时间约为2分钟的这组数据,

则2=ln ,即k=≈0.05.

选取从θ1=98 ℃下降到θ=85 ℃所用时间约为3.4分钟的这组数据,则3.4=ln ,即k=≈0.05.

选取从θ1=98 ℃下降到θ=80 ℃所用时间约为5分钟的这组数据,则5=ln ,即k=≈0.05.

(2)200 ml水煮沸后在19 ℃室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳.

理由如下:由(1)得t=20ln ,

当θ=75 ℃时,有t=20×(ln 79-ln 56)≈6.88.

所以200 ml水煮沸后在19 ℃室温下大约冷却7分钟冲泡碧螺春口感最佳.

5.答案　(1)y=8·　(2)17

解析　(1)因为y=k·ax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,而y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,所以依题意应选择y=k·ax(k>0,a>1),

则有解得所以y=8·.

(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍,则8·=8×1 000,

解得x=lo1 000==≈16.67.

故约经过17个月后该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍.

6.解析　(1)由题意可知,y0=55 196,当t=9时,y=67 207,所以67 207=55 196e9r,即ln 67 207-ln 55 196=9r,解得r≈0.021 88,

所以y=55 196e0.021 88t,

令y=130 000,可得55 196e0.021 88t=130 000,

即ln 130 000-ln 55 196=0.021 88t,解得t≈39.15,所以从1950年末开始,大约40年后我国人口总数达到13亿.

(2)(i)f(k)=≈,

则==,

令<1,解得k>≈23.79,所以正整数k的最小值为24.

(ii)不能达到400千克,理由如下:

由(i)可知,当t≤23时,年人均粮食占有量逐年增加,从第24年起,年人均粮食占有量逐年下降,

所以当t=23时,年人均粮食占有量最大,

最大为×1 000≈×1 000≈301(千克),因为301<400,所以按此模型我国年人均粮食占有量不能达到400千克.