第四章　指数函数与对数函数-综合拔高练-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

综合拔高练

五年高考练

考点1　指数式与对数式的恒等变形

1.(2021全国甲理,4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)

A.1.5　　　　　B.1.2　　　　　C.0.8　　　　　D.0.6

2.(2021天津,7)若2a=5b=10,则+=(　　)

A.-1　　　　　　B.lg 7        C.1　　　　　　D.log710

3.(2020全国Ⅰ文,8)设alog34=2,则4-a=(　　)

A.　　　　　　B.            C.　　　　　　D.

4.(2018课标全国Ⅲ,12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)

A.a+b<ab<0　　　　　　B.ab<a+b<0

C.a+b<0<ab　　　　　　D.ab<0<a+b

考点2　指数函数、对数函数的综合运用

5.(2021全国甲文,4)下列函数中是增函数的为(　　)

A. f(x)=-x　　　　　　B. f(x)=

C. f(x)=x2　　　　　　D. f(x)=

6.(2021天津,3)函数y=的图象大致为(　　)

7.(2021天津,5)设a=log20.3,b=lo0.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c　　　　　　B.c<a<b      C.b<c<a　　　　　　D.a<c<b

8.(2021新高考Ⅱ,7)若a=log52,b=log83,c=,则(　　)

A.c<b<a　　　　　　B.b<c<a      C.a<c<b　　　　　　D.a<b<c

9.(2020北京,6)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)

A.(-1,1)          B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(0,1)           D.(-∞,0)∪(1,+∞)

10.(2020全国Ⅱ理,11)若2x-2y<3-x-3-y,则(　　)

A.ln(y-x+1)>0　　　　　　B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0　　　　　　D.ln|x-y|<0

11.(2020全国Ⅰ理,12)若2a+log2a=4b+2log4b,则(　　)

A.a>2b　　　　　　B.a<2b        C.a>b2　　　　　　D.a<b2

12.(2020全国Ⅲ理,12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)

A.a<b<c　　　　　　B.b<a<c

C.b<c<a　　　　　　D.c<a<b

13.(2021新高考Ⅰ,13)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　. 

考点3　函数零点及其应用

14.(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则(　　)

A.a<0　　　　　B.a>0　　　　　C.b<0　　　　　D.b>0

15.(2020天津,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是(　　)

A.∪(2,+∞)

B.∪(0,2)

C.(-∞,0)∪(0,2)

D.(-∞,0)∪(2,+∞)

16.(2019天津,8)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　)

A.　　　　　　B.

C.∪{1}　　　　　　D.∪{1}

17.(2021北京,15)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:

(1)若k=0,则f(x)有两个零点;

(2)∃k<0,使得f(x)有一个零点;

(3)∃k<0,使得f(x)有三个零点;

(4)∃k>0,使得f(x)有三个零点.

以上正确结论的序号是　　　　. 

考点4　函数模型的综合运用

18.(2020全国Ⅰ,5改编)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:

由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是(　　)

A.y=a+bx　　B.y=a+bx2            C.y=a+bex　　　　 D.y=a+bln x

19.(2018上海,19)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.

三年模拟练

应用实践

1.(2022广东佛山期末)设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使得f(x0)=x0成立,则称x0是函数f(x)的一个不动点.下列函数存在不动点的是(　　)

A. f(x)=2x+x　　　　　　B. f(x)=x2-x+3

C. f(x)=-|x-2|　　　　　　D. f(x)=lg x+3x-6

2.(2021山东德州、烟台期中联考)衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数R0.它指的是在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫),一个感染者传染的平均人数.它的简单计算公式:R0=1+确诊病例增长率×系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,某种传染病确诊病例的平均增长率为25%,两例连续病例的间隔时间的平均天数为4,根据以上数据计算,若甲感染了这种传染病,则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为(　　)

A.30　　　　　　B.62          C.64　　　　　　D.126

3.(2022广东中山期末)设a=log23,b=log34,c=log58,则(　　)

A.b<a<c　　　　　　B.a<b<c       C.c<b<a　　　　　　D.b<c<a

4.(2022山西大同期末)已知函数f(x)=|lg x|-有两个零点x1,x2,则(　　)

A.0<x1x2<1　　　　　　B.x1x2=1

C.1<x1x2<2　　　　　　D.x1x2≥2

5.(多选)如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净化时间t(月)之间满足的函数关系:y=at(t≥0,a>0,a≠1)的图象.若有害物质的初始量为1,则以下说法中正确的是(　　)

A.第4个月时,剩余量就会低于

B.每月减少的有害物质的量都相等

C.有害物质每月的衰减率为

D.当剩余量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3

6.(多选)(2022福建龙岩期末)已知函数f(x)=若关于x的方程4[f(x)]2-4af(x)+2a+3=0有5个不同的实根,则实数a的值可以为(　　)

A.-　　　　　　B.-

C.-　　　　　　D.-

7.(2022北京东城期末)设函数f(x)=loga(|x|+1)(a>1),则f(x)是　　　　(填“奇函数”或“偶函数”);若fT(x)=(T>0),则当T=时,函数fT(x)的值域为　　　　. 

8.(2020山东聊城期末)设区间[a,b]是函数f(x)的定义域D的子集,定义在[a,b]上的函数g(x)=|f(x)-f(x0)|(x0∈[a,b]),记为g[a,b](x,x0)=|f(x)-f(x0)|.若f(x)=则f(x)的值域为　　　　,若关于x的方程g[0,4](x,2)-t=0恰有3个不同的解,则实数t的取值范围为　　　　. 

9.(2020山东烟台期末)科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制订一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金f(x)(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.

(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50,x∈[3 000,9 000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求;

(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?

10.(2021山西太原期中)已知函数f(x)=1-(a>0且a≠1)为定义在R上的奇函数.

(1)利用单调性的定义证明函数f(x)在R上单调递增;

(2)求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集.

综合拔高练

五年高考练

1.C　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,

即lg V=-0.1=-=lg 1,

∴V=1=≈≈0.8,

∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.

2.C　∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,

∴+=+=lg 2+lg 5=1.

3.B　∵alog34=2,∴a=2log43=log23,∴4-a====,故选B.

4.B　∵a=log0.20.3,b=log20.3,

∴=log0.30.2,=log0.32,∴+=log0.30.4,

∴0<+<1,即0<<1.

又∵a>0,b<0,∴ab<0,∴ab<a+b<0.

故选B.

5.D　对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意;

对于f(x)=,由指数函数的单调性可知, f(x)是减函数,故B不符合题意;

对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;

对于f(x)==,由幂函数的性质可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.

6.B　设f(x)=,易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)===f(x),故f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除A、C.当x>1时,ln x>0,x2+2>0,则f(x)>0,排除D.故选B.

7.D　∵a=log20.3<0,b=lo0.4>lo0.5=1,c=0.40.3<0.40=1,且c>0,∴a<c<b.

8.C　∵log52<log5=,log83>log8=,∴a<c<b.故选C.

9.D　不等式f(x)>0等价于不等式2x>x+1,作出函数y=2x和函数y=x+1的图象,如图所示,易知两个函数图象的交点坐标为(1,2)和(0,1),观察函数图象可知,当x>1或x<0时,函数y=2x的图象在函数y=x+1图象的上方,此时2x>x+1,故不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.

10.A　因为2x-2y<3-x-3-y,所以2x-3-x<2y-3-y.

设f(x)=2x-3-x,

因为函数t1=2x和t2=3-x分别是R上的增函数与减函数,

所以f(x)在R上为增函数.

由2x-3-x<2y-3-y得x<y,

所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0.故选A.

11.B　易知2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),

令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),

又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,

所以a<2b,故选B.

12.A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则==log53×log58<=<1,∴a<b.

∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135<log13(13×85),即log138>,∴c>.

∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)<log885,即log85<,∴b<.

综上所述,c>b>a,故选A.

13.答案　1

解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,

∴f(1)=f(-1),

∴2a-=-,

∴a=1.

当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),其定义域为R,且满足f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.

14.C　解法一:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则方程f(x)=0存在三个根x1=a,x2=b,x3=2a+b.当三个根都小于0时,如图①所示,对于任意x≥0, f(x)>0恒成立,符合题意.

　                  　图①　　　图②

当存在实数根大于0时,要使得对于任意x≥0, f(x)≥0恒成立,则三个根一定是两个相等的正根和一个负根,如图②所示.当a=b>0时,2a+b>0,不符合题意,舍去;当a=2a+b>0时,a=-b>0,b<0,符合题意;当b=2a+b时,a=0,不符合题意,舍去.综上所述,当满足条件时,b<0.故选C.

解法二:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则f(0)=(-a)·(-b)·(-2a-b)=-ab(2a+b)≥0,则ab·(2a+b)≤0.若b>0,则当a>0时,ab(2a+b)>0,与ab(2a+b)≤0矛盾,舍去;当a<0时,由ab(2a+b)≤0,得2a+b≥0,故a+b>0, f(a+b)=(a+b-a)·(a+b-b)(a+b-2a-b)=ab(-a)=-a2b<0,与已知矛盾,舍去.故b<0.故选C.

15.D　令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点.

当k=-时,h(x)==,在同一直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象,如图.

由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B.

当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象,如图所示.

此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C.故选D.

16.D　由f(x)=-x+a,得4a=

即4a=

令g(x)=

则方程f(x)=-x+a(a∈R)的解的个数即为函数y=g(x)的图象与直线y=4a的交点的个数.

当0≤x≤1时,y=(+4)2-16单调递增,此时y∈[0,9];

当x>1时,y=+x在(1,2]上单调递减,此时y∈[4,5),在(2,+∞)上单调递增,此时y∈(4,+∞),故当x>1时,y=+x∈[4,+∞).

作出函数y=g(x)的图象,如图所示,

由图可知,当直线y=4a与函数y=g(x)的图象有两个交点时,5≤4a≤9或4a=4,即≤a≤或a=1.故选D.

17.答案　(1)(2)(4)

解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,

令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,

所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.

当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点,则f(x)有两个零点,故(1)正确;

当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有两个交点,当0<k<k0时,g(x)与h(x)的图象有三个交点,则f(x)有三个零点,故(4)正确;

当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有一个交点,如图d,故(2)正确,(3)不正确.

综上,正确结论的序号为(1)(2)(4).

图a

图b

图c

图d

18.D　把题图中散点用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象,故选D.

19.解析　(1)由题意知,当30<x<100时, f(x)=2x+-90,令2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,

故x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.

(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-;

当30<x<100时,g(x)=·x%+40(1-x%)=-x+58.

故g(x)=

当0<x<32.5时,g(x)单调递减;

当32.5<x<100时,g(x)单调递增.

说明该地上班族S有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;

有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;

当有32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少.

三年模拟练

1.D　对于A, f(x)=x,即2x+x=x,可得2x=0,方程无解,不存在不动点;对于B, f(x)=x,即x2-x+3=x,可得x2-2x+3=0,方程无解,不存在不动点;对于C, f(x)=x,则x+|x-2|=0,即或无解,不存在不动点;对于D, f(x)=x,即lg x+2x-6=0,设g(x)=lg x+2x-6,则g(1)=-4<0,g(3)=lg 3>0,又g(x)在区间(1,3)上的图象是一条连续不断的曲线,所以函数g(x)在区间(1,3)上存在零点,即方程f(x)=x有解,存在不动点.

故选D.

2.D　由题意知,R0=1+25%×4=2.

∴经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为2+22+23+24+25+26=126.故选D.

3.D　∵b=log34==,c=log58==,

∴b-c=-===<0,

∴b<c.

∵log55<log58<log5=log5=,∴1<c<.

∵a=log23>log2=log2=,∴a>.

∴b<c<a,故选D.

4.A　f(x)=|lg x|-有两个零点x1,x2,即y=|lg x|与y=3-x的图象有两个交点,

在同一直角坐标系中画出y=3-x和y=|lg x|的图象(图略),

易得两函数图象在(0,1)和(1,+∞)上各有一个交点,

不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),

则=-lg x1,=lg x2,

∴-=lg(x1x2),

∵x2>x1,∴<,即-<0,

∴lg(x1x2)<0,∴0<x1x2<1.故选A.

5.ACD　根据图象过点可知,=a2,

解得a=或a=-(舍去),∴y=.

令t=4,得y=<,故A正确;

当t=1时,y=,减少了,当t=2时,y=,减少了,所以每月减少的有害物质的量不相等,故B不正确;

因为y==,所以有害物质每月的衰减率为,故C正确;

分别令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,则t1+t2=t3,故D正确.故选ACD.

6.BCD　作出函数f(x)=的图象如下,

令t=f(x),若关于x的方程4[f(x)]2-4af(x)+2a+3=0有5个不同的实根,

则关于t的方程4t2-4at+2a+3=0有两个不同的实根,且两根分别在(-1,0)和(-2,-1]上,

令g(t)=4t2-4at+2a+3,

则即解得-<a≤-.

故选BCD.

易错警示　用图象法解决函数零点的个数、函数零点的范围等问题时,准确画图是解题的关键,要防止因画图不准或凭空想象导致解题错误.

7.答案　偶函数;∪

解析　因为|x|+1≥1>0恒成立,所以f(x)的定义域为R,关于原点对称,

又f(-x)=loga(|-x|+1)=loga(|x|+1)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.

因为|x|+1≥1,a>1,所以f(x)=loga(|x|+1)≥0,

若T=,则由题意可得当f(x)<时, fT(x)=f(x)<,故0≤fT(x)<,

当f(x)≥时, fT(x)=-f(x)≤-.

综上,函数fT(x)的值域为∪.

8.答案　[0,2);

解析　当0≤x<1时, f(x)=2∈[0,2);当x≥1时, f(x)=∈(0,1].

综上所述, f(x)的值域为[0,2).

若g[0,4](x,2)-t=0,

则|f(x)-f(2)|=t,x∈[0,4],

即=t,x∈[0,4],

令F(x)=,x∈[0,4],

则F(x)=

画出函数F(x)的图象如下,

由题意知F(x)的图象与直线y=t有3个交点,故t∈.

9.解析　(1)①函数f(x)=0.03x+8,当x=3 000时, f(3 000)=98<100,不符合要求;

②函数f(x)=0.8x+200为减函数,不符合要求;

③函数f(x)=100log20x+50在[3 000,9 000]上为增函数,且当x=3 000时, f(3 000)=100log203 000+50>100log2020+50>100,

又因为当x∈[3 000,9 000]时, f(x)≤f(9 000)=100log209 000+50<100log20160 000+50=450,≥=600,所以f(x)≤恒成立.

因此, f(x)=100log20x+50为符合公司要求的函数模型.

(2)由100log20x+50≥350得log20x≥3,所以x≥8 000,

所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.

10.解析　(1)证明:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即1-=0,解得a=2,

所以f(x)=1-,

经检验, f(x)为R上的奇函数.

任取x1,x2∈R,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=1--=-=,

因为x1<x2,所以-<0,又+1>0,+1>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在R上单调递增.

(2)不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0,

即f(x2+2x)>-f(x-4)=f(4-x),

又f(x)在R上单调递增,所以x2+2x>4-x,

解得x<-4或x>1,

故原不等式的解集为{x|x<-4或x>1}.