人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换当堂检测题

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

基础过关练　　　　　 　　　　　　　　　　

题组一　给角求值

1.sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°=(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.0　　　　　D.1

2.cos 的值为(　　)

A.　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

3.已知α+β=,则(1+tan α)·(1+tan β)=(　　)

A.-1　　　　　B.-2　　　　　C.2　　　　　D.3

4.=　　　　.  

题组二　给值求值

5.已知α,β都是锐角,sin α=,cos(α+β)=-,则sin β=(　　)

A.1　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

6.(2022黑龙江哈尔滨第三十二中学校期末)若sin α=,α是第二象限角,则tan=(　　)

A.　　　　　B.7　　　　　C.　　　　　D.-7

7.(2022上海建平中学期末)在△ABC中,cos A=-,sin B=,则sin C=　　　　. 

题组三　给值求角

8.(2020辽宁省实验中学期中)已知α,β∈,若tan α,tan β是方程x2-4x+5=0的两实根,则α+β=(　　)

A.-或　　　　　　B.-

C.　　　　　　D.

9.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β=　　　　. 

10.设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为　　　　. 

题组四　利用两角和与差的三角函数公式进行化简

11.若f(x)=sin+sin,则(　　)

A.f(x)是奇函数

B.f(x)是偶函数

C.f(x)既是奇函数又是偶函数

D.f(x)既不是奇函数也不是偶函数

12.(2022山西运城期末)函数f(x)=sin+cos的最大值是(　　)

A.　　　　　B.1　　　　　C.　　　　　D.2

13.(2022江西九江期末)在△ABC中,sin C=sin Acos B,则△ABC的形状一定是(　　)

A.等腰三角形　　　　　　B.直角三角形

C.等腰直角三角形　　　　　　D.正三角形

能力提升练

题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值和求角问题

1.已知sin α+cos α=,则sin的值为　(　　)

A.-　　　　　　B.      C.-　　　　　　D.

2.(2021湖南邵东第一中学月考)若锐角α,β 满足

(1+tan α)(1+tan β)=4,则α+β 的值为(　　)

A.　　　　　　B.       C.　　　　　　D.

3.(2020天津一中期末)已知0<β<α<,点P(1,4)为角α终边上一点,且sin αsin+cos αcos=,则β=(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

4.(2020浙江丽水期末)已知α∈,β∈,sin β=-,且cos(α-β)=,则α的值为(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

5.(2022重庆八中期末)已知tan α=2,tan β=3,则的值为　　　　. 

6.(2022湖南岳阳期末)计算:tan 55°+tan 65°-

tan 55°tan 65°=　　　　. 

7.(2020河南林州一中期末)已知tan(α-β)=-7,cos α=-,其中α,β∈(0,π).求:

(1)tan β的值;

(2)α+β的值.

题组二　两角和与差的三角函数公式的综合应用

8.(2020辽宁锦州期末)定义运算:=ad-bc.已知α,β都是锐角,且cos α=,=-,则cos β=(　　)

A.　　　　　　B.

C.　　　　　　D.

9.(多选)在△ABC中,C=120°,tan A+tan B=,则下列各式正确的是(　　)

A.A+B=2C　　　　　　B.tan(A+B)=-

C.tan A=tan B　　　　　　D.cos B=sin A

10.(2020辽宁省实验中学期中)在△ABC中,若2sin Asin B=1+cos C,则该三角形的形状一定是　　　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.A　sin 75°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin(75°-15°)

=sin 60°=.故选A.

2.C　cos =cos

=cos cos -sin ·sin =×-×=.

3.C　∵α+β=,∴tan(α+β)=1,

∴tan α+tan β=1-tan α·tan β,

∴(1+tan α)·(1+tan β)

=1+tan α+tan β+tan α·tan β

=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.

4.答案　

解析　

=

=

=cos 30°=.

5.C　因为0<α<,0<β<,所以cos α==,0<α+β<π,

所以sin(α+β)==,

所以sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=.

故选C.

6.B　因为sin α=,α是第二象限角,

所以cos α=-=-=-,

所以tan α==-.

所以tan===7.

故选B.

7.答案　

解析　在△ABC中,cos A=-<0,∴A是钝角,故B为锐角,

∴sin A==,cos B==,

∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.

8.C　因为tan α,tan β是方程x2-4x+5=0的两实根,

所以tan α+tan β=4,tan α·tan β=5,所以tan α,tan β均为正数,又α,β∈,所以α,β∈,所以α+β∈(0,π).

又tan(α+β)===-,

所以α+β=.

故选C.

9.答案　

解析　∵α,β为锐角,sin α=,cos β=,

∴0<α+β<π,cos α=,sin β=.

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

=×-×=-.

又∵0<α+β<π,∴α+β=.

易错警示　已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用角的范围对角进行选择,另一方面要由角的范围选择所求值的三角函数名称,如本题中已知锐角α,β,则0<α+β<π,因此求α+β的余弦值易得α+β的值.

10.答案　

解析　∵<α<π,<β<π,sin α=,cos β=-,

∴π<α+β<2π,cos α=-,sin β=,

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

=-×-×=.

∵π<α+β<2π,

∴α+β=.

11.A　∵f(x)=sin+sin=sin x+cos x+sin x-cos x=sin x,且f(x)的定义域为R,关于原点对称,

∴f(x)为奇函数.

12.C　f(x)=sin xcos -cos xsin +cos xcos +sin xsin =sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,

∵-1≤sin x≤1,∴-≤f(x)≤,∴函数f(x)的最大值是.

故选C.

13.B　由题意得sin C=sin(π-C)=sin(A+B)=sin Acos B+

cos Asin B=sin Acos B,所以cos Asin B=0,

因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以cos A=0,

又A∈(0,π),所以A=.

故选B.

能力提升练

1.C　sin α+cos α=cos sin α+sin cos α=sin=,

所以sin=sin=-sin=-.

故选C.

2.C　(1+tan α)(1+tan β)=1+tan β+tan α+

3tan β·tan α=4,

则tan β+tan α+tan β·tan α=,

故tan(α+β)==.

因为α,β都是锐角,所以α+β∈(0,π),故α+β=.故选C.

3.D　由题意得sin α==,cos α==.

由sin αsin+cos αcos=,

得sin αcos β-cos αsin β=,

即sin(α-β)=.

∵0<β<α<,∴0<α-β<,

∴cos(α-β)==,

∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)

=×-×=.

∵0<β<,∴β=.故选D.

4.B　因为β∈,sin β=-,

所以cos β=.

因为α∈,β∈,

所以α-β∈(0,π),

因为cos(α-β)=,所以sin(α-β)=,

所以sin α=sin(α-β+β)

=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β

=×+×=,

因为α∈,所以α=.故选B.

5.答案　

解析　====.

6.答案　-

解析　因为tan 120°=tan(55°+65°)==-,

所以-+tan 55°tan 65°=tan 55°+tan 65°,

所以tan 55°+tan 65°-tan 55°tan 65°=-.

7.解析　(1)因为cos α=-,α∈(0,π),

所以sin α==,

因此tan α==-2,

故tan β=tan[α-(α-β)]==.

(2)易得tan(α+β)===-1.

因为cos α=-<0,α∈(0,π),所以α∈,因为tan β=>0,β∈(0,π),所以β∈,

从而α+β∈,因此α+β=.

8.B　因为α,β都是锐角,

所以0<α<,0<β<,

所以-<β-α<.

因为=-,

所以sin αcos β-sin βcos α=-,

即sin(α-β)=-,所以sin(β-α)=,

所以0<β-α<,所以cos(β-α)===.

因为cos α=,所以sin α===,

所以cos β=cos[(β-α)+α]

=cos(β-α)cos α-sin(β-α)sin α=×-×=.

故选B.

9.CD　∵C=120°,∴A+B=60°,

∴A+B=C,tan(A+B)===tan 60°=,

故tan Atan B=,

又tan A+tan B=,

∴tan A=tan B=,∴A=B=30°,

∴cos B=sin A.

故选CD.

10.答案　等腰三角形

解析　∵1+cos C=1-cos(A+B)=1-cos Acos B+sin Asin B

=2sin Asin B,

∴sin Asin B+cos Acos B=1,即cos(A-B)=1,∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π,∴A-B=0,∴A=B,

∴△ABC一定为等腰三角形.