第一章　集合与常用逻辑用语-单元测试卷-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语

(满分150分,考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合U={x∈N*|x≤5},A={0,1,2,3},B={2,3,5},则A∩

(∁UB)=(　　)

A.⌀ B.{1} C.{1,2} D.{2,3}

2.命题“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是(　　)

A.∃x∈R,使得x2-x+1>0

B.∀x∈R,都有x2-x+1≤0

C.∃x∈R,使得x2-x+1<0

D.∃x∈R,使得x2-x+1≤0

3.已知实数a,b,“a>|b|”是“a>b”的(　　)

A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

4.下列四个命题是真命题的是(　　)

A.∀n∈R,n2≥n

B.∃n∈R,∀m∈R,m·n=m

C.∀n∈R,∃m∈R,m2<n

D.∀n∈R,n2<n

5.已知集合A={x|x2-4x+3=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A.3 B.4 C.8 D.16

6.若集合A={x|x=3k-1,k∈Z},B={y|y=6m+5,m∈Z},则集合A与B的关系是(　　)

A.A=B　　　　　　　B.A⊆B

C.B⊆A　　　　　　　D.不确定

7.如图所示,M,P,S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是(　　)

A.(M∩P)∩S　　　　　　　B.(M∩P)∪S

C.(M∩S)∩(∁SP)　　　　　　　D.(M∩P)∪(∁VP)

8.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记φ(a,b)=-a-b,那么“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的(　　)

A.必要不充分条件　　　　　　　B.充分不必要条件

C.充要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.下列关系中正确的是(　　)

A.-∉Z　　　　B.π∉R       C.|-|∈Q　　　 　D.0∈N

10.已知U为全集,则下列说法正确的是(　　)

A.若A∩B=⌀,则(∁UA)∪(∁UB)=U

B.若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀

C.若A∪B=⌀,则(∁UA)∩(∁UB)=U

D.若A∪B=⌀,则A=B=⌀

11.下列说法正确的是(　　)

A.“a+1>b”是“a>b”的必要不充分条件

B.若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=4或a=0

C.若p:∀x∈R,>0,则¬p:∃x∈R,≤0

D.若集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为4

12.设全集U={x|x>0},集合M={x|y=},N={y|y=x2+2},则下列结论正确的是(　　)

A.M∩N={x|x>2}

B.M∪N={x|x>1}

C.(∁UM)∪(∁UN)={x|0<x<2}

D.(∁UM)∩(∁UN)={x|0<x<1}

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x≥a},且A⊆B,则实数a的取值范围是　　　　. 

14.为庆祝中国共产党成立100周年,某校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动.已知高一(1)班参演了两个节目,20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》,10名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》.其中,两个节目都参加的有5名同学,则这个班表演节目的共有　　　　人. 

15.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是　　　　　　. 

16.设集合M={1,2,3,4,6},S1,S2,…,Sk都是M的含有两个元素的子集,则k=　　　　;若集合A是由S1,S2,…,Sk中的若干个组成的集合,且满足:对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k})都有ai<bi,aj<bj,且≠,则A中元素个数的最大值是　　　　. 

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在①B={x|-2<x<3},②∁RB={x|-3<x<5},③B={x|x≥a2+6}且A∪B={x|x>a}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.

已知非空集合A={x|a<x<8-a},　　　　,若A∩B=⌀,求a的取值集合. 

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

18.(12分)设全集U=R,集合A={x|x2+4x+a=0},B={x|x2+bx-2=0}.

(1)若集合A中恰有一个元素,求实数a的值;

(2)若(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={-3},求A∪B.

19.(12分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.

20.(12分)已知命题p:“∃x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立”是假命题.

(1)求实数m的取值集合A;

(2)若m∈B={m|-4<m-a<4}是m∈A的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

21.(12分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.

22.(12分)已知p:∀m∈{m|-1≤m≤1},不等式a2-5a-3≥恒成立;q:∃x∈R,使不等式x2+ax+2<0成立.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.

答案全解全析

1.B　U={x∈N*|x≤5}={1,2,3,4,5},所以∁UB={1,4},

所以A∩(∁UB)={1},故选B.

2.D　

3.A　当a>|b|时,必有a>b,但当a>b时,不一定有a>|b|,取a=1,b=-2,则a>b,但a<|b|,

∴“a>|b|”是“a>b”的充分不必要条件.故选A.

4.B　对于选项A,令n=,则=<,故A错误;

对于选项B,令n=1,则∀m∈R,m×1=m成立,故B正确;

对于选项C,令n=-1,则m2<-1显然无解,故C错误;

对于选项D,令n=-1,则(-1)2<-1显然不成立,故D错误.故选B.

5.B　由题意可知A={1,3},B={1,2,3,4},若A⊆C⊆B,则C={1,3}或{1,3,2}或{1,3,4}或{1,2,3,4},即满足条件的集合C共有4个.

6.C　A={x|x=3k-1,k∈Z},B={y|y=6m+5,m∈Z}={y|y=3×2(m+1)-1,

m∈Z}={y|y=3×2n-1,n∈Z},故B⊆A.故选C.

7.C　题图中的阴影部分是M∩S的子集,该子集中不含集合P中的元素,且该子集包含于集合P的补集,故C正确.

8.C　由φ(a,b)=0,得-a-b=0,即=a+b,所以ab=0且a≥0,b≥0,所以“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充分条件;反之,由a与b互补,可得a≥0,b≥0,且ab=0,从而有a2+b2=(a+b)2⇒=|a+b|=a+b⇒φ(a,b)=-a-b=0,所以“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的必要条件.

故“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件.故选C.

9.AD　-∉Z,π∈R,|-|∉Q,0∈N,故选AD.

10.ACD　A中说法正确,若A∩B=⌀,则(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=U;B中说法错误,若A∩B=⌀,集合A,B不一定为空集,只需两个集合中无公共元素即可;C中说法正确,若A∪B=⌀,则(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=U;D中说法正确,A∪B=⌀,即集合A,B中均无任何元素,可得A=B=⌀.

11.AD　对于A,a>b⇒a+1>b,反之未必,如 a=0.5,b=1,a+1>b成立,但a>b不成立,所以“a+1>b”是“a>b”的必要不充分条件,A正确;对于B,当a=0时,A=⌀,不满足条件,当a≠0时,有Δ=a2-4a=0,解得a=4,所以B不正确;对于C,若p:∀x∈R,>0,则¬p:∃x∈R,<0或x=2,所以C不正确;对于D,M∪N=M⇔N⊆M,故满足条件M∪N=M的集合N的个数为22=4,所以D正确.故选AD.

12.CD　∵M={x|y=}={x|x≥1},N={y|y=x2+2}={y|y≥2},

∴M∩N={x|x≥2},M∪N={x|x≥1},故A,B均不正确;

易得∁UM={x|0<x<1},∁UN={y|0<y<2},

∴(∁UM)∪(∁UN)={x|0<x<2},(∁UM)∩(∁UN)={x|0<x<1},故C,D均正确.

故选CD.

13.答案　{a|a≤-1}

14.答案　25

解析　由题可知,只参加合唱的同学有20-5=15(人),只参加诗朗诵的同学有10-5=5(人),两个节目都参加的同学有5人,

所以这个班表演节目的共有15+5+5=25(人).

15.答案　{m|m<2}

解析　由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m,

则∃t∈{t|1≤t≤2},使得t+m<3成立,故t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}.

16.答案　10;6

解析　集合M的含有两个元素的子集为{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,3},{2,4},{2,6},{3,4},{3,6},{4,6},共10个,则k=10.

因为≠,所以{1,2},{2,4},{3,6}中只能取一个,{1,3},{2,6}中只能取一个,{2,3},{4,6}中只能取一个,

故A中元素个数的最大值为6.

17.解析　选①:因为A是非空集合,

所以8-a>a,(2分)

解得a<4.(4分)

因为B={x|-2<x<3},A∩B=⌀,

所以a≥3或8-a≤-2,(7分)

解得a≥3或a≥10.(9分)

综上所述,a的取值集合是{a|3≤a<4}.(10分)

选②:因为A是非空集合,所以8-a>a,(2分)

解得a<4.(4分)

因为∁RB={x|-3<x<5},

所以B={x|x≤-3或x≥5}.(6分)

因为A∩B=⌀,所以

解得3≤a<4.(9分)

故a的取值集合是{a|3≤a<4}.(10分)

选③:因为A是非空集合,所以8-a>a,(2分)

解得a<4.(4分)

因为A∩B=⌀,B={x|x≥a2+6},A∪B={x|x>a},

所以a2+6=8-a,(7分)

解得a=-2或a=1,(9分)

故a的取值集合是{-2,1}.(10分)

18.解析　(1)由题意得Δ=16-4a=0,(2分)

解得a=4.(4分)

(2)∵(∁UA)∩B={2},∴2∈B,(5分)

∴4+2b-2=0,解得b=-1.(7分)

∵(∁UB)∩A={-3},∴-3∈A,(8分)

∴9-12+a=0,解得a=3.(10分)

故A={x|x2+4x+3=0}={-1,-3},B={x|x2-x-2=0}={-1,2},

(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={-3},满足题意,

∴A∪B={-3,-1,2}.(12分)

19.解析　由题意得A={1,2}.(1分)

∵A∪B=A,∴B⊆A,(2分)

∴B=⌀或{1}或{2}或{1,2}.(3分)

当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0,

解得a<-3;(5分)

当B={1}时,无解;(7分)

当B={2}时,解得a=-3;(9分)

当B={1,2}时,无解.(11分)

综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.(12分)

20.解析　(1)∵命题p:“∃x∈R,使不等式x2-2x-m≤0成立”是假命题,

∴¬p:“∀x∈R,不等式x2-2x-m>0成立”是真命题,(1分)

∴方程x2-2x-m=0无实根,(3分)

∴Δ=4+4m<0,解得m<-1,(5分)

即实数m的取值集合A={m|m<-1}.(6分)

(2)B={m|-4<m-a<4}={m|a-4<m<a+4}.(7分)

若m∈B是m∈A的充分不必要条件,(8分)

则B⫋A,故a+4≤-1,解得a≤-5.(11分)

故实数a的取值范围是{a|a≤-5}.(12分)

21.证明　必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则+2ax0+b2=0,+2cx0-b2=0,(2分)

两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0.(4分)

∵b≠0,∴a-c≠0,

∴x0=,

将此式代入+2ax0+b2=0中,

可得b2+c2=a2,故∠A=90°.必要性成立.(6分)

充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,

∴b2=a2-c2.①(7分)

将①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.(9分)

将①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.(10分)

故两方程有公共实数根x=-(a+c).充分性成立.(11分)

∴关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.(12分)

22.解析　当-1≤m≤1时,2≤≤3,(2分)

若∀m∈{m|-1≤m≤1},不等式a2-5a-3≥恒成立,

则a2-5a-3≥3,解得a≥6或a≤-1,(5分)

故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.(6分)

若q为真命题,则∃x∈R,使不等式x2+ax+2<0成立,

则Δ=a2-8>0,解得a>2或a<-2,(10分)

故命题q为假命题时,-2≤a≤2.(11分)

综上可知,当p为真命题,q为假命题时,a的取值范围为{a|-2≤a≤-1}.(12分)