湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题及答案

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华中师大一附中2021-2022学年度第二学期期末考试高一数学本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟注意事项：1. 答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。          2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。          3. 考试结束后，将答题卡交回。第I卷（选择题）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）1．已知集合，，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件      B．必要不充分条件      C．充要条件       D．既不充分也不必要条件2．已知角为第二象限角，，则的值为（       ）A．            B．            C．             D．3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数的值为（     ）      A．       B．0                    C．2                    D．4．在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．5．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（       ）．A． B． C．3 D．6．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，，则（       ）A．该组数据的平均数为7，众数为            B．该组数据的第60百分位数为6C．如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小D．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数7．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，底面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，则该刍甍的外接球的体积为（       ）A． B． C． D．8．定义域在的函数图像的两个端点为A、B，向量，设是图像上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数在上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阈值.下列定义在上的函数中，线性近似阈值最小的是（       ）A． B． C． D．二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）9．设为复数，且，则下列命题正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．函数f(x)的图象的周期为B．函数f(x)的图象关于点（，0）对称C．函数f(x)在区间[－，]上的最大值为2D．直线与）图像所有交点的横坐标之和为11．已知，则（       ）A．的最大值为                  B．的最小值为4C．的最小值为            D．的最小值为112．如图，平面四边形是由正方形和直角三角形组成的直角梯形，，，现将沿斜边翻折成（不在平面内），若为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（       ）A．与不可能垂直                  B．三棱锥体积的最大值为C．若都在同一球面上，则该球的表面积是D．直线与所成角的取值范围为（）第II卷（非选择题）三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．已知非零向量，的夹角为，，，则______．14．已知直三棱柱中，.若三棱柱外接球的表面积是，则它的体积的最大值是___________.15．已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为______． 16．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在中，.(1)若，求；(2)若存在且唯一确定，求的取值范围.     18．（本小题满分12分）年月日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长．某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取人，经统计，这人去年可支配收入（单位：万元）均在区间内，按，，，，，分成组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第百分位数为．(1)求的值，并估计这位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的人中至少有两人去年可支配收入在内的概率．    19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．(1)求证：平面PAB；(2)求证：平面PAC⊥平面PCD．    20．（本小题满分12分）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．  21．（本小题满分12分）在如图所示的七面体中，四边形为边长为2的正方形， 平面，，且，，，分别是，，的中点. (1)求点到平面的距离；(2)若直线交于点，直线交平面于点，证明：，，三点共线.   22．（本小题满分12分）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上､点在上､点和在上､点在上，记.(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
参考答案：1．A  【解题思路】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为,所以“” “”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．D  【解题思路】先由平方关系求得，再由余弦差角公式求解即可.【详解】因为角为第二象限角，所以，则.故选：D.3．D  【解题思路】化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案.【详解】化简复数，因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，所以，所以.故选：D.4．A  【解题思路】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解【详解】由正弦定理可得又因为三角形是锐角三角形，所以，即，也即,所以，所以，，，  ，所以的取值范围是，5．A  【解题思路】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAB，则有，再利用等体积法即可得出答案.【详解】解：因为平面ABC，平面ABC，所以，又因为，即，因为，所以平面PAB，又平面PAB，所以，因为，，所以，的面积，设点A到平面PBC的距离为h，则三棱锥的体积，即，解得，即点A到平面PBC的距离为.6．C  【解题思路】首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得；【详解】解：这组数据从小到大排列为、、、、、、、、、，故平均数为，众数为和，中位数为，故A错误；方差为，因为，所以第60百分位数为，故B错误；如果再增加一位评委给该班也打分，则平均分不变也为，此时的方差为，故C正确；对于D：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故D错误；故选：C7．A  【解题思路】根据给定条件，求出点E到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取AD，BC中点N，M，正方形中心O，EF中点，连接，如图，依题意，平面，，点O是MN的中点，，等腰中，，，同理，因此，等腰梯形的高，由几何体的结构特征知，刍甍的外接球球心在直线上，连，正方形外接圆半径，则有，而，当点在线段的延长线（含点O）时，视为非负数，若点在线段（不含点O）上，视为负数，即有，即，解得，因此刍甍的外接球球心为O，半径为，所以刍甍的外接球的体积为.关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.8．C  【解题思路】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得【详解】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，所以对于A，因为，所以，直线的方程为所以，因为，所以，当且仅当时等号成立所以，所以该函数的线性近似阈值为；对于B，因为，所以，直线的方程为所以，因为，所以，当且仅当时等号成立所以，所以该函数的线性近似阈值为；对于C，由函数，得，，直线方程为，线性近似阀值为．对于D，由函数可得，，方程为，由三角函数图象与性质可知，线性近似阀值为，因为，所以线性近似阀值最小的是故选：C9．BD  【解题思路】由反例可知AC错误；由可得，得到，知B正确；设，，根据共轭复数定义和复数乘法及模长运算可求得，知D正确.【详解】对于A，若，，则，此时，A错误；对于B，，，又，，即，B正确；对于C，若，则，若为虚数，则，C错误；对于D，设，，则，，，，，，D正确.故选：BD.10．AC  【解题思路】先利用函数图象 ，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果.【详解】依题意，，得，故A正确；，，则，当时，取最小值，则，得，即，当时，，故B错误；当[－，]，则，则，故C正确；，则，设直线与）图像所有交点的横坐标为，则，解得，故D错误；故选：AC.11．BC  【解题思路】根据基本不等式可求A,B,D,根据判别式判断方程有根可判断C.【详解】由，即，当且仅当时等号.故A错，，进而可得：，当且仅当取等号，故B正确，令，则，所以，故可化为，整理得，由，得，即，解得或（舍去），C正确，，，当且仅当时等号成立，D错误故选：BC．12．BCD  【解题思路】对于A选项：根据线面垂直的判断定理，由，当时，平面，则；对于B选项：取的中点，连接，根据，则平面平面时，三棱锥体积的最大值，从而可判断；对于C，根据，可得都在同一球面上，且球的半径为，从而可判断；对于D选项：由可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与所成角的取值范围.【详解】解：对于A选项：由，则，当时，且，此时满足平面，因此，故A错误；对于B，取的中点，连接，则，且，因为，当平面平面时，三棱锥体积的最大值，在中，，则，此时，所以三棱锥体积的最大值为，故B正确；对于C，因为，所以都在同一球面上，且球的半径为，所以该球的表面积是，故C正确；对于D，作，因为为的中点，所有，，所以，所以，所以，可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，所以与夹角为，与夹角为，又不在平面内，，，所以与所成角的取值范围，所以正确，故选：BCD.本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度.13．  【解题思路】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量，的夹角为，，则由得：，即，于是得，所以.故答案为：14．  【解题思路】分别取的中点和F，连接，取的中点为O，由题意可得O为外接球的球心，根据三棱锥的几何性质及外接球表面积，可求得的长，设AB=x，AC=y，则，求得体积V的表达式，结合基本不等式，即可得答案.【详解】分别取的中点和F，连接，取的中点为O，因为，所以为外接圆的圆心，同理F为外接圆的圆心，因为直三棱柱，则O为直三棱柱外接球的球心，连接，设，则，外接球半径为R，在中，，，，所以又三棱柱外接球的表面积是，所以，解得，，设AB=x，AC=y，则所以该几何体的体积当且仅当时等号成立，所以该几何体体积最大值为.15．##  【解题思路】设，，，则，，再在和中分别列出余弦定理，根据联立可得，再结合，得到，进而消去，结合基本不等式 求解最大值即可【详解】设，，，则，．在中，；在中，．因为，所以，所以，整理①．因为，所以．在中，，即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立．16．            【解题思路】由两个同底且棱长都为1的正三棱锥构成的几何体求解.【详解】解：如图所示：易知该几何体是侧棱长为1，以边长为1的等边三角形为底的两个正三棱锥组成，O为的中心，即内切球的球心，M为FB的中点，连接HM，作，则ON为内切球的半径，因为 ，所以，所以内切球的半径为，内切球的体积为，故答案为：，17．(1)因为，所以.因为，所以.由余弦定理知所以.得.所以，或.由正弦定理知.所以，当时，.当时，.(2)由（1）得，存在且唯一确定，则，或，综上，当或时，存在且唯一确定.18．(1)由频率分布直方图，可得，则①因为居民收入数据的第60百分位数为8.1，所以，则②将①与②联立，解得．所以平均值为．(2)根据题意，设事件A，B，C分别为甲、乙、丙在[7.5，8.5）内，则．①“抽取3人中有2人在[7.5，8.5）内”，且与与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得．②“抽取3人中有3人在[7.5，8.5）内”，由事件独立性定义，得．所以抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在[7.5，8.5）内的概率：．19．(1)（1）过E作交PA于点F，连接BF，因为，所以．又，所以．又，所以所以四边形BCEF为平行四边形，所以，又CE平面PAB，BF平面PAB，所以平面PAB．(2)在梯形ABCD中，，，，，所以．所以，即因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以．又，所以CD⊥平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD．20．(1)，令，所以，所以函数的单调递增区间为：(2)函数在区间上有且仅有两个零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，由，当时，，设，则，当时， 曲线与直线区间上有且仅有两个交点.21．(1)解：记到平面的距离为，在中，，，∴，(2)证明：∵，∴与确定平面，∵，平面，且，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面，平面，∴点在直线上，则，，三点共线.22．(1)在矩形OEFG中，，，所以.因为MN∥PQ，，所以，在△OQP中，，，由正弦定理可知：，即，得.所以因为，所以，当，时，最大值为百米.(2)设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有，所以平行四边形MNPQ的面积为，在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面积为，所以.其中，，，因为，所以，当，时，百米2，此时.