初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试测试题

专题07  因式分解重难点题型分类-高分突破（解析版）

题型一：因式分解的概念

因式分解的概念

（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

（2）原则：分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）；结果最后只留下小括号

结果的多项式首项为正。

1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）

A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 

C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）

【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

D、符合因式分解的定义，故本选项正确；

故选：D．

2．下列从左到右的变形，是因式分解的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、，是整式的乘法运算，故此选项错误；

、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；

、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；

、，正确．

故选：．

3．下列各式中，因式分解正确的是（　　）

A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1）             B．a2+1＝（a+1）（a﹣1） 

C．16﹣x4＝（4+x2）（4﹣x2）             D．a4﹣81＝（a2+9）（a+3）（a﹣3）

【解答】解：A、4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），本选项错误；

B、本选项不能分解，错误；

C、16﹣x4＝（4+x2）（4﹣x2）＝（4+x2）（2+x）（2﹣x），本选项错误；

D、a4﹣81＝（a2+9）（a+3）（a﹣3），本选项正确．

故选：D．

题型二：提公因式法

提公因式法的定义

（1）定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成  因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

（2）理论依据：乘法分配律的逆运算.

4．分解因式：　        　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

5．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）

【解答】解：2a（b+c）﹣3（b+c）＝（b+c）（2a﹣3）；

6．分解因式：m3（x﹣2）+m（2﹣x）．

【解答】解：（1）m3（x﹣2）+m（2﹣x）＝m3（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝m（x﹣2）（m2﹣1）

＝m（m+1）（m﹣1）（x﹣2）．

题型三：用平方差公式分解因式

7．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．y2﹣49x2 B． 

C．﹣m2﹣n2 D．

【解答】解：A、y2﹣49x2＝（y+7x）（y﹣7x），能用平方差公式进行因式分解，不合题意；

B、﹣x4＝（+x2）（﹣x2），能用平方差公式进行因式分解，不合题意；

C、﹣m2﹣n2不符合平方差公式的特点，符合题意；

D、（p+q）2﹣9＝（p+q+3）（p+q﹣3），能用平方差公式进行因式分解，不合题意．

故选：C．

8．四个多项式：①﹣a2+b2：②﹣x2﹣y2；③49x2y2﹣z2，④16m4﹣25n2p2．其中不能用平方差公式分解的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：∵①﹣a2+b2＝b2﹣a2；②﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2）；③49x2y2﹣z2＝（7xy）2﹣z2；

④16m4﹣25n2p2＝（4m）2﹣（5np）2．则不符和平方差公式的是②．

故选：B．

9．分解因式x4﹣1的结果为（　　）

A．（x2﹣1）（x2+1） B．（x+1）2（x﹣1）2 

C．（x﹣1）（x+1）（x2+1） D．（x﹣1）（x+1）3

【解答】解：x4﹣1＝（x2﹣1）（x2+1）＝（x+1）（x﹣1）（x2+1）．故选：C．

10．若a、b、c为一个三角形的三边，则代数式（a﹣c）2﹣b2的值为（　　）

A．一定为正数     B．一定为负数     C．可能为正数，也可能为负数     D．可能为零

【解答】解：首先运用因式分解，得：原式＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）．

再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

即a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0，两数相乘，异号得负，故代数式的值小于0．

故选：B．

11．分解因式：﹣4（x+2y）2+9（2x﹣y）2．

【解答】解：＝[3（2x﹣y）+2（x+2y）][3（2x﹣y）﹣2（x+2y）]＝（8x+y）（4x﹣7y）．

12．因式分解：（1）（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2；        （2）（p﹣2q）2﹣（2p﹣q）2；

（3）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；       （4）81a4﹣b4．

【解答】解：（1）（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2＝（3m﹣1+2m﹣3）（3m﹣1﹣2m+3）＝（5m﹣4）（m+2）．

（2）（p﹣2q）2﹣（2p﹣q）2＝（p﹣2q+2p﹣q）（p﹣2q﹣2p+q）＝（3p﹣3q）（﹣p﹣q）＝﹣3（p﹣q）（p+q）．

（3）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]＝4[（a﹣b）2﹣（2a+2b）2]

＝4（a﹣b+2a+2b）（a﹣b﹣2a﹣2b）＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）＝﹣4（3a+b）（a+3b）．

（4）81a4﹣b4＝（9a2）2﹣（b2）2＝（9a2+b2）（9a2﹣b2）＝（9a2+b2）（3a+b）（3a﹣b）．

13．分解因式：x2y﹣4y=                    .

【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）．

14．分解因式：m3（x﹣2）+m（2﹣x）．

【解答】解：m3（x﹣2）+m（2﹣x）＝m3（x﹣2）﹣m（x﹣2）＝m（x﹣2）（m2﹣1）

＝m（m+1）（m﹣1）（x﹣2）．

题型四：用完全平方公式分解因式

15．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（　　）

A．a2+2ax+4x2 B．﹣a2﹣4ax+4x2 

C．x2+4+4x D．﹣1+4x2

【解答】解：x2+4+4x＝（x+2）2，故选：C．

16．下列各式中能用完全平方公式分解的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，不是两数平方和的形式，不符合完全平方公式，故此选项错误；

、另一项不是、的积的2倍，不符合完全平方公式；故此选项错误；

、，符合完全平方公式；故此选项正确；

、，不符合完全平方公式，故此选项错误；

故选：．

17．分解因式：4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）．

【解答】解：4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）＝[2（a﹣b）+1]2＝（2a﹣2b+1）2．

18．因式分解：　          　．

【解答】解：原式；故答案为：．

19．因式分解：　         　．

【解答】解：（提取公因式）（完全平方公式）．

20．分解因式：　             　．

【解答】解：原式，故答案为：．

21．已知x+y＝5，xy＝﹣2，利用因式分解求x3y+2x2y2+xy3的值．

【解答】解：原式＝xy（x2+2xy+y2）＝xy（x+y）2＝﹣2×5＝﹣10．

22．已知，，求的值．

【解答】解：原式，

，，原式．

题型五：用十字相乘法分解因式

十字相乘法

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——进行分解.

特点：（1）二次项系数是1；

     （2）常数项是两个数的乘积；

     （3）一次项系数是常数项的两因数的和.

（二）二次项系数不为1的二次三项式——

条件：（1）                          

（2）                           

（3）              

分解结果：=

23．因式分解　         　．

【解答】解：．

24．因式分解：　         　．

【解答】解：．

25．分解因式：　         　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

26．分解因式：　         　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

27．分解因式：　         　．

【解答】解：．

28．因式分解：　         　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

29．分解因式：　         　．

【解答】解：．

故答案为：．

30．多项式可分解因式得，则　　，　 　．

【解答】解：，，

，解得：，故答案为：9，3．

题型六：分组分解法

31．分解因式：　             　．

【解答】解：原式，

故答案为：．

32．分解因式：　             　．

【解答】解：．

33．已知、、为的三边，且满足，试判断的形状　　

A．直角三角形 B．等腰三角形 

C．直角或等腰三角形 D．直角或等边三角形

【解答】解：，，，

，或，是等腰三角形或直角三角形，

故选：．

34．分解因式：　             　．

【解答】解：

．

故答案为：．

35．已知，求的值．

【解答】解：，，，

，，，，．

36．已知，，是的三边，且满足，试判断的形状，并说明理由．

【解答】解：为等边三角形，理由如下：由得：

，，，，

，为等边三角形．

37．已知，，为的三边，若，判断的形状？

【解答】解：，，

即，且，即且，．

故是等边三角形．

38．三角形的三条边长，，满足，求证：．

【解答】证明：，，

，，即，

，，是三角形三边长，，，，

．

题型七：因式分解的压轴题

39.阅读，已知，ab=3，求的值。

解：因为已知，ab=3，

所以

请你根据上述解题思路解答下列问题：

（1）已知，，求的值；

（2）已知，，求的值。

【解答】解：（1）；

而，所以原式=；

（2）。

40．先阅读下列材料，然后回答后面问题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有

四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分

法等．

如“”分法：

如“”分法：

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：；

（2）分解因式：；

（3）分解因式：．

【解答】解：（1）；

（2）

；

（3）．

41．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．

如“”分法：

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

（1）分解因式：；

（2）分解因式：；

（3）分解因式：．

【解答】解：（1）；

（2）；

（3）．

42．阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：

1．知识运用：

试用“分组分解法”分解因式：；

2．解决问题：

（1）已知，，为的三边，且，试判断的形状．

（2）已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立．

①当时，求的值；

②当时，用含有的代数式分别表示，，（直接写出答案即可）．

【解答】解：1．知识运用原式；

2．解决问题

（1），，，

，，，即，所以，是等腰三角形；

（2）①当时，，，，即，

当时，则；把代入，得，当时，，则，

当时，，则，综上所述：的值为或6；

②当时，，，，，

同理由，得，已知，，

当，则，，，此时，不合题意，

当，则，，，

综上所述：，，．