2020-2021学年第十七章 勾股定理综合与测试课后练习题

专题12 勾股定理重难点题型分类-高分突破（原卷版）

题型一 已知两边，求第三边

1. （广益）直角三角形斜边上的中线长是，一条直角边是，则另一直角边长等于（    ）

A.     B.     C.      D.

2. （长郡）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为　   　．

3.（长郡）如图，平面直角坐标系中，△的边落在轴上，顶点落在第一象限．若，，则点的坐标是        。

4.（周南）一架方梯长25m，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

题型二 已知一边和一特殊角求其它边长

5.（博才）如图，在中，，垂足为，已知，则AC的长为（    ）

A.    B.     C. 4     D.

6.（广益）将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB=　   　．

7.（师大）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长。

8.（长郡）如图，在中，，于点，平分交于点.

(1)求证：；

(2)若，，求的长.

题型三：折叠模型：已知一边，设第二边为x，第三边为“几-x”,再列方程.

9.（青竹湖）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处.若，，则的长为(   )

A.        B.             C.         D.

10.（长郡）如图，一辆货车车身高米，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量米，求弯折点与地面的距离.

11.（长郡）如图，在中，，，，是的垂直平分线，交于点，交于点，求的长.
 

题型四 最短爬行路径问题

12.（广益）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为________.

13. （青竹湖）如图，一圆柱体的底面周长为20，高为4，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程_____    _．

14.如图，圆柱底面半径为2㎝，高为9π㎝，点A、B分别是圆柱底面圆周上的点，且A、B在同一条母线上，用一棉线从A顺时针绕3圈到B，求棉线的最短距离。

题型五  勾股定理与图形面积关系

15.（广益）如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则________.

16.（青一）如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(   )

A.     B.     C.    D.

17.（青一）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别为，，，.则正方形的面积是         .

题型六 勾股定理的逆定理

18.（青一）的三边长分别为，，.下列条件，其中能判断是直角三角形的个数有(   )

①；②；③；④

A.个    B.个    C.个    D.个

19.（广益）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是(   )

A.，，     B.，

C.     D.，，

20.（中雅）已知的三边分别为，，，且满足，，，求证：为直角三角形.

21.（周南）如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

22．（长郡）如图，已知等腰△的底边，是腰上一点，且，．

（1）求证：△是直角三角形；

（2）求△的周长。

题型七 勾股定理的应用题

23.（广益）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（    ）

A.12米    B.10米    C.8米    D.6米

24．（长郡）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（    ）

A．0.5米 B．1米 C．米 D．1.5米

25.(广益)如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，(A、H、B在同一条直线上)，新修一条路CH，已知千米，千米，千米.

(1)CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；

(2)求新路CH比原路CA少多少千米？

26.（雅礼）如图，台风中心位于P点，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30km/h，受影响区域的半径为200km，A市位于P点的北偏东75°方向上，距离P点320km处．

（1）A市是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A市受到台风影响，求受影响的时间有多长？

27.（广益）台风是一种自然灾害，有极强的破坏力。据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心风力不变，若台风中心的影响范围为以台风中心为圆心，160km为半径的圆形区域，则

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？

（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

28.（雅礼）如图，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在处测得小岛在北偏西方向上，小时后，轮船在处测得小岛在北偏西方向上，在小岛周围18海里有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？

29.（广益）中国海军亚丁湾护抗十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得依赖的保护伞”.如图，在一次护航运动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近，为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距海里的船队首(点)尾(点)前去拦截，分钟后同时到达点将可疑快艇驱离，已知甲直升机每小时飞行海里，航向为北偏东，乙直升机的航向为北偏西，求乙直升机的飞行速度.(单位：海里/小时).

30. （雅礼）为了积极响应国家新农村建设，长沙市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为米，假使宣讲车周围米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时.

（1）请问村庄能否听到宣讲，请说明理由；

（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣讲？

题型八  勾股定理与其它章节的综合题

31. （青竹湖）利用所学的知识计算：

（1）已知，且，，求的值；

（2）已知、、为的三边长，若，求的周长.

32.（广益）△，△是等腰直角三角形，点在上.

（1）求证：△≌△

（2）若，，求.

33.（雅境）在中，平分交于点，在上取一点，使得.

(1)求证：；

(2)若，，，求的长.

34.（师大）如图，在中，=，，点是上一动点，连接，过点作，并且始终保持，连接.

(1)求证：

(2)若平分交于，求证：

(3)在(2)的条件下，若，，求的长，

35. （青竹湖）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作,即.

（1）若和，则=____    __；

（2）若点,，其中为任意实数，求的最小值

（3）若为常数，且，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求的最小值以及的最大值（用含的代数式表示）

36.（青竹湖）材料一：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为为“勾股定理”。如：Rt△中，两条直角边分别为、，斜边为，则有成立；

材料二：平方差公式：，存在 一个特殊的结论，当、为整数时，和同时为偶数，或者同时为奇数，如：当，时，  为奇数，会发现也同时为奇数；而当，时，为偶数，此时会发现也同时为偶数；此结论称为平方差公式的同奇同偶性。
（1）直角三角形两直角边分别为、，求此时斜边的长度；而如果直角三角形的其中有两边的长度为、的时候，你能求出此时另一边的长度吗？
（2）直角三角形中两直角边的平方分别为：、， 斜边的平方为，且、均为正整数，请求出、：
（3）直角三角形三边均为正整数，直角边分别为、，斜边为，且周长为，面积为，请求出、、.