四川省广安市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类

这是一份四川省广安市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类，共40页。试卷主要包含了﹣1，0﹣+|1﹣|+4sin60°，先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。
四川省广安市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．
2．（2021•广安）计算：（3.14﹣π）0﹣+|1﹣|+4sin60°．
3．（2020•广安）计算：（﹣1）2020+|1﹣|﹣2cos45°﹣（）﹣1．
二．分式的化简求值（共3小题）
4．（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
5．（2021•广安）先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
6．（2020•广安）先化简，再求值：，其中x＝2020．
三．分式方程的应用（共1小题）
7．（2021•广安）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示．

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
四．一次函数的应用（共2小题）
8．（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
9．（2020•广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
10．（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．

11．（2021•广安）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

12．（2020•广安）如图，直线y1＝x+1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

六．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．


14．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

七．平行四边形的性质（共1小题）
16．（2020•广安）如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．

八．菱形的性质（共1小题）
17．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．

九．切线的判定与性质（共3小题）
18．（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．


19．（2021•广安）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

20．（2020•广安）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线．
（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．

一十．作图—复杂作图（共1小题）
21．（2021•广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形
一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
22．（2020•广安）如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，AB＝5个单位长度，BC＝6个单位长度．用这两个三角形来拼成四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（每个小正方形的边长均为1个单位长度，所画四边形全等视为同一种情况），并直接在对应的横线上写出该四边形两条对角线长度的和．

一十二．命题与定理（共1小题）
23．（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知：　 　，　 　．
求证：　 　．

一十三．利用旋转设计图案（共1小题）
24．（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形），

一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
25．（2020•广安）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
一十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
26．（2021•广安）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）

一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75


一十七．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　 　人，图1中m的值为 　 　．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，
29．（2021•广安）在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有 　 　人，扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为 　 　．
（2）A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
30．（2020•广安）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　 　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　 　人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•广安）计算：（﹣1）0+|﹣2|+2cos30°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝1+2﹣+2×﹣3
＝1+2﹣+﹣3
＝0．
2．（2021•广安）计算：（3.14﹣π）0﹣+|1﹣|+4sin60°．
【解答】解：原式＝
＝
＝0．
3．（2020•广安）计算：（﹣1）2020+|1﹣|﹣2cos45°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×﹣2
＝1+﹣1﹣﹣2
＝﹣2．
二．分式的化简求值（共3小题）
4．（2022•广安）先化简：（+x+2）÷，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝x，
∵x（x﹣2）≠0，
∴x≠0，x≠2，
当x＝1时，原式＝1，
当x＝3时，原式＝3．
5．（2021•广安）先化简：÷（a﹣），再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
【解答】解：原式＝
＝
＝
由原式可知，a不能取1，0，﹣1，
∴a＝2时，原式＝．
6．（2020•广安）先化简，再求值：，其中x＝2020．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
当x＝2020时，原式＝＝．
三．分式方程的应用（共1小题）
7．（2021•广安）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示．

甲
乙
进价（元/千克）
x
x+4
售价（元/千克）
20
25
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
（1）求x的值；
（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可知：
，
解得：x＝16；
经检验，x＝16是原分式方程的解，且符合实际意义；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（100﹣m）千克，利润为y元，
由题意可知：
y＝（20﹣16）m+（25﹣16﹣4）（100﹣m）＝﹣m+500，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，
∴m≥3（100﹣m），
解得：m≥75，即75≤m＜100，
在y＝﹣m+500中，﹣1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m＝75时，y最大，且为﹣75+500＝425元，
∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．
四．一次函数的应用（共2小题）
8．（2022•广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．
（1）求A、B两厂各运送多少吨水；
（2）现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由．
【解答】解：（1）设A厂运送水泥x吨，则B厂运送水泥（x+20）吨，
根据题意得：x+x+20＝520，
解得：x＝250，
此时x+20＝270，
答：A厂运送水泥250吨，B厂运送水泥270吨；
（2）设从A厂运往甲地水泥a吨，则A厂运往乙地水泥（250﹣a） 吨，B厂运往甲地水泥（240﹣a）吨，B厂运往乙地水泥280﹣（250﹣a）＝（30+a）吨，
由题意得：w＝40a+35（250﹣a）+28（240﹣a）+25（a+30）＝40a+8750﹣35a+6720﹣28a+25a+750＝2a+16220，
∵B厂运往甲地的水泥最多150吨，
∴240﹣a≤150，
解得：a≥90，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝90时，总费用最低，
最低运费为：2×90+16220＝16400（元），
∴最低运送方案为A厂运往甲地水泥90吨，运往乙地水泥160吨：B厂运往甲地水泥150吨，B厂运往乙地水泥120吨，最低运费为16400元．
9．（2020•广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【解答】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
10．（2022•广安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝（m为常数，m≠0）的图象在第二象限交于点A（﹣4，3），与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式，
（2）根据图象直接写出：当x＜0时，不等式kx+b≤的解集．

【解答】解：（1）把点A（﹣4，3）代入函数y＝（m为常数，m≠0）得：m＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式y＝﹣．
∴OA＝＝5，
∵OA＝OB，
∴OB＝5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（﹣4，3）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式y＝﹣2x﹣5；
（2）当x＜0时，不等式kx+b≤的解集为﹣4≤x＜0．
11．（2021•广安）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（﹣1，n），B（3，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．

【解答】解：（1）由题意可得：
点B（3，﹣2）在反比例函数图象上，
∴，则m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（﹣1，n）代入，
得：，即A（﹣1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+4；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为y1＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
|a﹣2|＝4，即|a﹣2|＝4，
解得：a＝1或a＝3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
12．（2020•广安）如图，直线y1＝x+1与双曲线y2＝（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．

【解答】解：（1）把A（m，2）代入直线y＝x+1，可得2＝m+1，
解得m＝1，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入双曲线y2＝（k为常数，k≠0），可得k＝2，
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）解得或，
∴D（﹣2，﹣1），
由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围x＜﹣2或0＜x＜1．
六．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．


【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）存在．
理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．

令y＝0，则x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），C（2，0），
∵B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；

（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；

∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP1＝3，
∴P1（﹣1，3），
当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），
当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），
∴PJ＝AB＝2，
∴12+（n+2）2＝（2）2，
解得n＝﹣2或﹣﹣2，
∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
14．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，

∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．

15．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得到
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．

（2）将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；
∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1．
设P点的横坐标为m（﹣1≤m≤2），则P、E的坐标分别为：P（m，﹣m﹣1），E（m，m2﹣2m﹣3）；
∵P点在E点的上方，PE＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE的最大值＝，此时P（，﹣）．

（3）存在．
理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），

∵C（2，﹣3），
∴CK∥x轴，CK＝2，
当AC是平行四边形ACF1D1的边时，可得D1（﹣3，0）．
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2＝CK，可得D2（1，0），
当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝1±，
∴F3（1﹣，3），F4（1+，3），
由平移的性质可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．
七．平行四边形的性质（共1小题）
16．（2020•广安）如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．

【解答】证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠DEF＝∠BFA，
∴ED∥BF．
八．菱形的性质（共1小题）
17．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴CE＝CF．
九．切线的判定与性质（共3小题）
18．（2022•广安）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．


【解答】（1）证明：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠BDC＝∠A，
∴∠BDC+∠ODB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，
∴，
∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，
∴△BDC∽△DAC，
∴＝，
∵AC＝9，
∴，
∴CD＝6，
∴，
∴BC＝4，
∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝5．
∴⊙O的半径为．
19．（2021•广安）如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE、AB相交于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，tan∠EAD＝，求BC的长．

【解答】解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BE，∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠D，
又∠DAE＝∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD＝，
∴，
则AE＝2BE，又AB＝10，
在△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝102，
解得：BE＝，则AE＝，
∴，
解得：AD＝8，DE＝4，
∵OE∥AD，
∴△COE∽△CAD，
∴，
设BC＝x，
∴，
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
故BC的长为．
20．（2020•广安）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线．
（2）如果BE＝2，CE＝4，求线段AD的长．

【解答】证明：（1）如图1，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCE＝∠ADC，
∴∠OCE＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OC，
设OC＝x，
∵OC2+CE2＝OE2，
∴x2+42＝（2+x）2，
∴x＝3，
∴OC＝3，
∵AD∥OC，
∴△COE∽△DAE，
∴，
∴，
∴AD＝．
一十．作图—复杂作图（共1小题）
21．（2021•广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形
【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．

一十一．作图—应用与设计作图（共1小题）
22．（2020•广安）如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，AB＝5个单位长度，BC＝6个单位长度．用这两个三角形来拼成四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（每个小正方形的边长均为1个单位长度，所画四边形全等视为同一种情况），并直接在对应的横线上写出该四边形两条对角线长度的和．

【解答】解：如图，四边形即为所求．

一十二．命题与定理（共1小题）
23．（2022•广安）如图，点D是△ABC外一点，连接BD、AD，AD与BC交于点O．下列三个等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明．
已知：　①BC＝AD　，　②∠ABC＝∠BAD　．
求证：　③AC＝BD　．

【解答】解：答案不唯一．
∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．
又∵AB＝BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD．
一十三．利用旋转设计图案（共1小题）
24．（2022•广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．（规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形），

【解答】解：图形如图所示：

一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
25．（2020•广安）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．
（1）求CD的长度．（结果保留根号）
（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）∵DE＝78cm，∠CED＝60°，
∴sin60°＝＝，
∴CD＝39（cm）；

（2）设水箱半径OD的长度为xcm，则CO＝（39+x）cn，AO＝（154+x）cm，
∵∠BAC＝30°，
∴CO＝AO，
39+x＝（154+x），
解得：x≈18.9．
∴OD＝18.9cm．
一十五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
26．（2021•广安）图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）

【解答】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．

∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，
∴∠CAF＝60°，
在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF＝m，
在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE＝1.5•sin15°m，
∴FG＝FC+CG＝+1.5•sin15°≈1.3m．
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．
一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2022•广安）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）
参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75


【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：

则四边形GDHB是矩形，
∴GD＝BH，DH＝GB，
根据题意，CD＝300米，∠CDG＝37°，
∴DG＝CD•cos37°≈300×0.80＝240（米），
CG＝CD•sin37°≈300×0.60＝180（米），
∴HB＝240米，
∵AB＝450米，∠DAH＝65°，
∴AH＝210米，
∴DH＝AH•tan65°≈210×2.14＝449.4（米），
∴BC＝CG+BG＝180+449.4＝629.4≈629（米），
∴菜园与果园之间的距离为629米．
一十七．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•广安）某校在开展线上教学期间，为了解七年级学生每天在家进行体育活动的时间（单位：h），随机调查了该年级的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的扇形统计图1和条形统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次随机调查的学生共有 　40　人，图1中m的值为 　15　．
（2）请补全条形统计图．
（3）体育活动时间不足1小时的四人中有3名女生A1、A2、A3和1名男生B．为了解他们在家体育活动的实际情况，从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到两名女生的概率，
【解答】解：（1）本次随机调查的学生共有4÷10%＝40（人），
m%＝1﹣（10%+7.5%+30%+37.5%）＝15%，即m＝15；
故答案为：40，15；
（2）1.2h的人数为40×15%＝6（人），
补全图形如下：

（3）列表如下：

A1
A2
A3
B
A1

（A2，A1）
（A3，A1）
（B，A1）
A2
（A1，A2）

（A3，A2）
（B，A2）
A3
（A1，A3）
（A2，A3）

（B，A3）
B
（A1，B）
（A2，B）
（A3，B）

共有12种可能的结果，恰好抽到两名女生的有6种结果，
所以抽到两名女生的概率为＝．
29．（2021•广安）在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有 　50　人，扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为 　108°　．
（2）A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有的人数为：24÷48%＝50（人），
∴扇形统计图中表示C等级的扇形圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：50，108°；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好抽到一男一女的概率为＝．
30．（2020•广安）2020年6月26日是第33个国际禁毒日，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从广安市某校800名学生中随机抽取部分学生进行调查，调查分为“不了解”“了解较少”“比较了解”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有　40　人，估计该校800名学生中“比较了解”的学生有　320　人．
（2）请补全条形统计图．
（3）“不了解”的4人中有3名男生A1，A2，A3，1名女生B，为了提高学生对禁毒知识的了解，对这4人进行了培训，然后随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人）；
∵本次抽取调查的学生中，“比较了解”的学生有：40﹣14﹣6﹣4＝16（人），
∴估计该校800名学生中“比较了解”的学生有800×＝320（人），
故答案为：40，320；
（2）补全条形统计图如图：

（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有6个，
∴恰好抽到2名男生的概率为＝．