四川省广元市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03+解答题知识点分类

这是一份四川省广元市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03+解答题知识点分类，共52页。试卷主要包含了﹣2，，其中x是不等式组的整数解，解方程，，并与x轴交于点A等内容，欢迎下载使用。
四川省广元市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03 解答题知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
2．（2020•广元）计算：2sin45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|+（2020﹣π）0．
二．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•广元）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
4．（2020•广元）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
5．（2021•广元）先化简，再求值：（+）÷．其中x＝，y＝1．
三．解一元一次方程（共1小题）
6．（2021•广元）解方程：+＝4．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
7．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
五．一元一次不等式组的应用（共1小题）
8．（2021•广元）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2022•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．

七．反比例函数综合题（共2小题）
10．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

11．（2021•广元）如图，直线y＝kx+2与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A的横坐标为1．
（1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标；
（2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．

八．二次函数的应用（共1小题）
12．（2020•广元）某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；
（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？

九．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．

14．（2020•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

15．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

一十．平行四边形的性质（共2小题）
16．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．

17．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）连接AC和BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

一十一．菱形的判定与性质（共1小题）
18．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

一十二．切线的判定与性质（共1小题）
19．（2021•广元）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B＝，求线段DF的长．

一十三．圆的综合题（共1小题）
20．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的位置关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．
一十四．几何变换综合题（共1小题）
21．（2022•广元）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　 　；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．


一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

一十六．相似形综合题（共1小题）
23．（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
24．（2022•广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

25．（2021•广元）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°＝2+，tan15°＝2﹣．计算结果保留根号）

一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
26．（2020•广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离6千米处是学校B．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求学校A，B两点之间的距离；
（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．

一十九．列表法与树状图法（共3小题）
27．（2022•广元）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　 　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 　 　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


28．（2020•广元）广元市某中学举行了“禁毒知识竞赛”，王老师将九年级（1）班学生成绩划分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：

（1）求九年级（1）班共有多少名同学？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数；
（3）成绩为A类的5名同学中，有2名男生和3名女生；王老师想从这5名同学中任选2名同学进行交流，请用列表法或画树状图的方法求选取的2名同学都是女生的概率．
29．（2021•广元）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225
50﹣59周岁
1200
0.2
1200
0.3
60周岁以上
300
0.05
500
0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 　 　；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．


参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【解答】解：原式＝2×+﹣2+1﹣2+
＝+﹣2+1﹣2+4
＝3．
2．（2020•广元）计算：2sin45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|+（2020﹣π）0．
【解答】解：原式＝2×﹣4﹣（﹣1）+1
＝
＝﹣2．
二．分式的化简求值（共3小题）
3．（2022•广元）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
解第一个不等式得：x＜3，
解第二个不等式得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x的值为﹣1，0，1，2，
∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，
∴x只能取2，
当x＝2时，
原式＝＝．
4．（2020•广元）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【解答】解：原式＝[﹣]•
＝•
＝（a+1）2
＝a2+2a+1，
∵a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴a2﹣2a﹣3＝0，
∴a＝3或a＝﹣1，
∵a2+a≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝3，
∴原式＝9+6+1＝16．
5．（2021•广元）先化简，再求值：（+）÷．其中x＝，y＝1．
【解答】解：（+）÷
＝•x（x+y）
＝•x
＝，
当x＝，y＝1时，原式＝＝4+4．
三．解一元一次方程（共1小题）
6．（2021•广元）解方程：+＝4．
【解答】解：+＝4，
3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，
3x﹣9+2x﹣2＝24，
3x+2x＝24+9+2，
5x＝35，
x＝7．
四．二元一次方程组的应用（共1小题）
7．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【解答】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本．
①当30≤m≤40时，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，
∵12＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2960≤w≤3080；
②当40＜m≤50时，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，
∵﹣1＜0，
∴当m＞26时，w随m的增大而减小，
∴2700≤w＜3080；
③当50＜m≤60时，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2700＜w≤2720．
综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．
答：社区至少要准备2700元购书款．
五．一元一次不等式组的应用（共1小题）
8．（2021•广元）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？
【解答】解：（1）设购买篮球x个，购买足球（20﹣x）个，由题意得，
，
解得8＜x≤11，
∵x取正整数，
∴x＝9，10，11，
∴20﹣x＝11，10，9，
答：一共有3种方案：
方案一：购买篮球9个，购买足球11个；
方案二：购买篮球10个，购买足球10个；
方案三：购买篮球11个，购买足球9个．
（2）1°当购买篮球9个，购买足球11个时，
甲商场的费用：500+0.9×（200×9+150×11﹣500）＝3155元，
乙商场的费用：2000+0.8×（200×9+150×11﹣2000）＝3160元，
∵3155＜3160，
∴学校到甲商场购买花费少；
2°当购买篮球10个，购买足球10个时，
甲商场的费用：500+0.9×（200×10+150×10﹣500）＝3200元，
乙商场的费用：2000+0.8×（200×10+150×10﹣2000）＝3200元，
∵3200＝3200，
∴学校到甲商场和乙商场购买花费一样；
3°当购买篮球11个，购买足球9个时，
甲商场的费用：500+0.9×（200×11+150×9﹣500）＝3245元，
乙商场的费用：2000+0.8×（200×11+150×9﹣2000）＝3240元，
∵3245＞3240，
∴学校到乙商场购买花费少．
六．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
9．（2022•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．

【解答】解：（1）∵函数y＝x+b的图像与函数y＝（x＞0）的图像相交于点B（1，6），
∴6＝1+b，6＝，
∴b＝5，k＝6；
（2）点A′不在函数y＝（x＞0）的图象上，理由如下：
过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，
∵点B（1，6），
∴ON＝1，BN＝6，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∴CM＝BN＝4，
即点C的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+5得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，4），
∴OC'＝OC＝＝＝，
∵y＝x+5中，当y＝0时，x＝﹣5，
∴OA＝5，
由旋转的性质得：△OAC≌△OA'C'，
∴OA•CM＝OC•A'G，
∴A'G＝＝＝
在Rt△A'OG中，OG＝＝＝，
∴点A'的坐标为（，），
∵×≠6，
∴点A′不在函数y＝（x＞0）的图象上．

七．反比例函数综合题（共2小题）
10．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

【解答】解：（1）把A（3，4）代入，
∴m＝12，
∴反比例函数的解析式是；
把B（n，﹣1）代入得n＝﹣12．
把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为；

（2）∵A（3，4），
∴OA＝，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；
②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为（6，0）；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x＝，
此时点C的坐标为；
解法二：提示：作AD⊥x轴于D，设OA的垂直平分线交x轴于C，交OA于M，证明△OMC∽△ODA，利用相似三角形的性质求解．

综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），，（﹣5，0）；

（3）由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
11．（2021•广元）如图，直线y＝kx+2与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A的横坐标为1．
（1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标；
（2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．

【解答】解：（1）∵点A在双曲线y＝上，且点A的横坐标为1，
∴点A的纵坐标为＝，
∴点A（1，），
∵点A（1，）在直线y＝kx+2上，
∴k+2＝，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
联立直线AB和双曲线的解析式得，，
解得，（点A的纵横坐标）或，
∴B（3，）；

（2）如图，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两线相交于点F，过点C作CD⊥AF，交AF于D，过点C作CE⊥BF于E，
∴∠D＝∠F＝∠CEF＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC，
∴AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，CD＝CE，
设点C（m，n），
∵A（1，），B（3，），
∴AD＝n﹣，CD＝m﹣1，BE＝3﹣m，CE＝n﹣，
∴，
∴，
∴C（，2），
设过点C的双曲线的解析式为y＝，
∴k'＝2×＝5，
∴过点C的双曲线的解析式为y＝．

八．二次函数的应用（共1小题）
12．（2020•广元）某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；
（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（20，100），（25，50）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300；
（2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，
由题意得w＝（x﹣10）•y
＝（x﹣10）（﹣10x+300）
＝﹣10x2+400x﹣3000
＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元；
（3）设捐款后每天剩余利润z元，
由题意可得z＝﹣10x2+400x﹣3000﹣300＝﹣10x2+400x﹣3300，
令z＝450，即﹣10x2+400x﹣3300＝450，
x2﹣40x+375＝0，
解得x1＝15，x2＝25，
∵﹣10＜0，
∴当该款电子产品的销售单价每件不低于15元，且不高于25元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于450元．
九．二次函数综合题（共3小题）
13．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，

∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x＝1，
由对称性可得C（4，0），
要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，
如图1，连接BC交直线x＝1于点P，
因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，
此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，
Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
Rt△BOC中，BC＝＝＝2，
∴△ABP周长的最小值为2+2；
（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，

设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
当m＝﹣1时，QD有最大值是，
当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，
综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．
14．（2020•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．

【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+10中，
令x＝0，则y＝10，令y＝0，则x＝5，
∴A（5，0），B（0，10），
∵点C是OB中点，
∴C（0，5），将A和C代入抛物线y＝x2+bx+c中，，解得：，
∴抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5；
（2）联立：，
解得：或，
∴直线AB与抛物线交于点（﹣1，12）和（5，0），
∵点D是直线AB下方抛物线上的一点，设D（m，m2﹣6m+5），
∴﹣1＜m＜5，
过点D作DE⊥x轴，交直线AB于点E，
∴E（m，﹣2m+10），
∴DE＝﹣2m+10﹣m2+6m﹣5＝﹣m2+4m+5，
∴S△ABD＝＝＝，
解得：m＝2，
∴点D的坐标为（2，﹣3）；

（3）抛物线表达式为：y＝x2﹣6x+5，
∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，
设点P（n，n2﹣6n+5），∵A（5，0），B（0，10），
∴AP2＝（n﹣5）2+（n2﹣6n+5）2，BP2＝n2+（n2﹣6n+5﹣10）2，AB2＝125，
当点A为直角顶点时，
BP2＝AB2+AP2，
解得：n＝或5（舍），

当点B为直角顶点时，
AP2＝AB2+BP2，
解得：n＝或，

而抛物线对称轴为直线x＝3，
则3﹣＝，﹣3＝，3﹣＝，
综上：点P到抛物线对称轴的距离为：或或．
15．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；
（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，
过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，
∵A、B关于直线x＝1对称，
∴AQ′＝BQ′，
∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，
∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，
∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，
在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，
∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，
此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，
∴AQ+QP+PC的最小值为+1；
（3）线段EF的长为定值1.
如图2，连接BE，
设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，
∵EF⊥x轴，
∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，
∵F（t，0），
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED＝180°，
∵∠BEF+∠BED＝180°，
∴∠DAF＝∠BEF，
∵∠AFD＝∠EFB＝90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝＝＝1，
∴线段EF的长为定值1．


一十．平行四边形的性质（共2小题）
16．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵O为对角线AC的中点，
∴AO：AC＝1：2，
∵AE：AD＝1：2，
∴＝，
∵∠EAO＝∠DAC，
∴△AEO∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵△AOE的面积为2，
∴△ADC的面积为8，
∴平行四边形ABCD的面积＝2×8＝16．

17．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）连接AC和BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝BC，
∴∠D＝∠FCE；
∵E为DC中点，
∴ED＝EC，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴BC＝CF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴△ABG∽△CEG，
∴，，
∵DE＝CE，
∴AB＝2CE，
∴＝2，＝4，
∵△GEC的面积为2，
∴S△BGC＝2S△CEG＝4，S△ABG＝4S△CEG＝8，
∴S△ABC＝S△BGC+S△ABG＝4+8＝12，
∴平行四边形ABCD的面积＝2S△ABC＝24．
一十一．菱形的判定与性质（共1小题）
18．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
19．（2021•广元）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B＝，求线段DF的长．

【解答】解：（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴．
∴OD⊥EC．
∵DF∥CE，
∴OD⊥DF．
∴DF是⊙O的切线．
（2）连接DE，如图，

∵，
∴ED＝DC．
∵AD是⊙O的直径，
∴DE⊥AE．
∴∠BED＝90°．
∵sin∠B＝，sin∠B＝，BD＝5，
∴DE＝3．
∴BE＝，DC＝DE＝3．
∴BC＝BD+CD＝5+3＝8．
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，
∴△BED∽△BCA．
∴．
∴BA＝2BD＝10，AC＝2DE＝6．
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6．
∵∠ADF＝90°，DE⊥AF，
∴△DEF∽△AED．
∴．
∴EF＝．
∴FD＝．
一十三．圆的综合题（共1小题）
20．（2020•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的位置关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．
【解答】解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，

∵OA平分∠BAC交BC于点O，
∴OG＝OC，
∴点G在⊙O上，
即AB与⊙O相切；

（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与⊙O相切于点E，AC与⊙O相切于点C，
∴AE＝AC，
∵OE＝OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵OF：FC＝1：2，OC＝3，
则FC＝2OF，在△OCF中，OF2+（2OF）2＝32，
解得：OF＝，则CF＝，
由①得：OA⊥CE，
∵∠COF＝∠AOC，∠CFO＝∠ACO＝90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴，即，
解得：AC＝6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO＝90°，AC＝AE＝6，而∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，设BO＝x，BE＝y，
则，
可得：，
解得：，即BO＝5，BE＝4，
∴tanB＝＝．

一十四．几何变换综合题（共1小题）
21．（2022•广元）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　135°　；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．


【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），
∴CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°+，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°﹣+45°+＝135°，
故答案为：135°；

（2）①依题意补全图形如图，

由旋得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°+α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°﹣，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°﹣﹣45°+＝45°；
②CE＝2BE﹣AD．
证明：过点C作CG∥BD，交EB的延长线于点G，

∵BC＝CD，CE平分∠BCD，
∴CE垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠EFB＝90°，
由①知，∠ADB＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
∴∠FEB＝45°，
∵BD∥CG，
∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，
∴EC＝CG，EG＝EC，
∵∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB，
∴∠ACE＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE＝BG，
∵EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD，
∴CE＝2BE﹣AD．
一十五．相似三角形的判定与性质（共1小题）
22．（2022•广元）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD＝4，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径为．

一十六．相似形综合题（共1小题）
23．（2021•广元）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点（含端点A、B），过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

（1）求证：△ABF∽△CBE；
（2）如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
（3）在（2）的条件下，若BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，
∴∠CBA＝∠EBF＝45°，AB＝BC，BF＝BE，
∴∠CBE＝∠ABF，＝＝，
∴△ABF∽△CBE．

（2）解：如图2中，延长PM交AF于T．

∵BE⊥CF，
∴∠CEB＝90°，
∵△ABF∽△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，＝＝，
∴AF＝EC，
∵∠EFB＝45°，
∴∠AFC＝45°，
∵AP＝PC，AM＝ME，
∴PT∥CF，PM＝EC，
∵AM＝ME，EN＝NF，
∴MN∥AF，MN＝AF，
∴四边形MNFT是平行四边形，MN＝PM，
∴∠TMN＝∠AFC＝45°，
∴∠PMN＝135°，
∴＝．

（3）解：∵MN＝PM，∠PMN＝135°，PM＝EC，
∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，
此时PM＝，MN＝PM＝1，
∴△PMN的面积的最大值为××1×＝．
一十七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
24．（2022•广元）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

【解答】解：过点A作AH⊥DE，垂足为H，

设EH＝x米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH•tan45°＝x（米），
∵CE＝80米，
∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝40+40，
经检验：x＝40+40是原方程的根，
∴AH＝EH＝（40+40）米，
在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，
∴DH＝＝（40+40）米，
∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，
∴隧道EF的长度为（80+70）米．

25．（2021•广元）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°＝2+，tan15°＝2﹣．计算结果保留根号）

【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝，
∴AE＝＝，
∵四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝15米，FC＝BE，
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°，
∴CF＝DF＝DE﹣15，
∴AB＝AE+BE＝+DE﹣15＝45，
∴DE＝15（2+）（米），
答：此时无人机的高度为15（2+）米．
（2）∵DE＝15（2+）米，
∴AE＝＝＝15（米），
过D点作DG∥AB，交AC的延长线于G，作GH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝45米，BC＝15米，
∴tan∠BAC＝＝＝，
在Rt△AGH中，GH＝DE＝15（2+）米，
AH＝＝＝（30+45）米，
∴DG＝EH＝AH﹣AE＝（30+45）﹣15＝（30+30）米，
（30+30）÷5＝（6+6）（秒），
答：经过（6+6）秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．

一十八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
26．（2020•广元）如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离6千米处是学校B．（参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75）．
（1）求学校A，B两点之间的距离；
（2）要在公路MN旁修建一个体育馆C，使得A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．

【解答】解：（1）过点A作FD∥MN，BE⊥MN，如图：
在Rt△AFM中，∠CMA＝36.5°，AM＝5km，
∵sin36.5°＝≈0.6，
∴FA＝3，MF＝4km，
在Rt△MBE中，∠NMB＝45°，MB＝km，
∵sin45°＝＝，
∴BE＝6，ME＝6km，
∴AD＝FD﹣FA＝ME﹣FA＝3km，BD＝BE﹣DE＝BE﹣FM＝2km，
在Rt△ABD中，AB＝km．
答：学校A、B两点之间的距离为km；
（2）作点B关于MN的对称点G，连接AG交MN于点P，连接PB，点P即为站点，
此时PA+PB＝PA+PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆C的距离之和最短为AG长
在Rt△ADG中，AD＝3，DG＝DE+EG＝DE+BE＝4+6＝10，∠ADG＝90°，
∴AG＝＝km．
答：最短距离为km．

一十九．列表法与树状图法（共3小题）
27．（2022•广元）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　40　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 　90°　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


【解答】解：（1）八年级（1）班学生总人数是：12÷30%＝40，
选择C的学生有：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），
扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝90°，
故答案为：40，90°，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）2500×＝1625（人），
答：估算该校参与体育类和美术类社团的学生有1625人；
（3）设男生用A表示，女生有B表示，
树状图如下所示：

由上可得，存在12种可能性，其中恰好选中1名男生和1名女生的可能性有8种，
故恰好选中1名男生和1名女生的概率是＝．

28．（2020•广元）广元市某中学举行了“禁毒知识竞赛”，王老师将九年级（1）班学生成绩划分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：

（1）求九年级（1）班共有多少名同学？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C”所对应的圆心角度数；
（3）成绩为A类的5名同学中，有2名男生和3名女生；王老师想从这5名同学中任选2名同学进行交流，请用列表法或画树状图的方法求选取的2名同学都是女生的概率．
【解答】解：（1）由题意可知九年级（1）班共有学生人数为10÷20%＝50（名）；
（2）D等级的人数为50﹣5﹣10﹣15﹣7＝13（名），补全条形统计图如图1所示：

扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角＝360×＝108°；
（3）画树状图如图：

所有等可能的情况有20种，其中恰好抽中2名同学都是女生的情况有6种，
∴恰好选到2名同学都是女生的概率＝＝．
29．（2021•广元）“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日16：20，全球接种“新冠”疫苗的比例为18.29%；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的29.32%．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

甲医院
乙医院
年龄段
频数
频率
频数
频率
18﹣29周岁
900
0.15
400
0.1
30﹣39周岁
a
0.25
1000
0.25
40﹣49周岁
2100
b
c
0.225
50﹣59周岁
1200
0.2
1200
0.3
60周岁以上
300
0.05
500
0.125
（1）根据上面图表信息，回答下列问题：
①填空：a＝　1500　，b＝　0.35　，c＝　900　；
②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 　108°　；
（2）若A、B、C三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．

【解答】解：（1）在甲医院接种人数为：900÷0.15＝6000（人），
∴a＝6000×0.25＝1500，b＝2100÷6000＝0.35，
在乙医院的接种人数为：400÷0.1＝4000（人），
∴c＝4000×0.225＝900，
故答案为：1500，0.35，900；
（2）在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中，40﹣49周岁年龄段人数为：2100+900＝3000（人），
∴40﹣49周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108°；
（3）画树状图如图：

共有8种等可能的结果，A、B、C三人在同一家医院接种的结果有2种，
∴三人在同一家医院接种的概率为＝．