初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试单元测试测试题
展开浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图所示是一台球桌面的示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，，点是斜边上一动点，连结，将以直线为对称轴进行轴对称变换，点的对称点为，连结，则在点从点出发向点运动的整个过程中，线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
- 如图，图中三角形的个数共有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
- 如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是( )
A.
B.
C.
D.
- 如图所示，在中，，，是边上的中线，且，则的度数为．( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接，，过点作，，垂足分别为、，则下列结论：；≌；；是等腰三角形．其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 下列命题的逆命题错误的是．( )
A. 直角都相等
B. 线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等
C. 在一个三角形中，等边对等角
D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
- 如图，在中，于点，于点，点是的中点，连接、，设，则的度数可表示为( )
A.
B.
C.
D.
- 三角形的三边，，满足，则此三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
- 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
- 下列命题中，真命题是( )
A. 周长相等的锐角三角形都全等 B. 周长相等的等腰直角三角形都全等
C. 周长相等的钝角三角形都全等 D. 周长相等的直角三角形都全等
- 如图，在中，，，，，是角平分线，，垂足为，则的周长为( )
|
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，四边形中，，，，，点在上，且，点是上的一个动点，则最小值为______．
- 已知，，为的三边长．，满足，且为方程的解，则的形状为______三角形．
- 下列命题中，其逆命题成立的是________只填写序号．
同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
- 如图，在中，，，，是边上的中线，则 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 如图，在四边形中，，在，上分别找一点，，使周长最小，求的度数．
- 如图，已知为上一点，点，分别在两侧，，，问：是等腰三角形吗？请说明理由．
- 如图，在等腰三角形中，，且，，垂足为点，交的延长线，垂足为点．
求证： - 如图，在中，已知，，是上一点，，，．
求证：≌．
求证：．
- 已知：如图，已知线段和线段求作：等腰，使得，，于，．
如图，首先作射线，在上截取；接下来，请使用直尺和圆规，在图中作出的垂直平分线，使交于点，再作出满足条件的一个等腰，使得点在线段上方保留作图痕迹；
完成下面的证明．
与交于点，
，______．
点在上，
填写理由：______ - 如图．
在四边形中，与的面积相等求证：直线必平分
写出的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 - 如图，已知在中，是上的一点，，．
求证：．
- 在，，是的中点这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解决问题．
如图在中，，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：≌；
若，，求四边形的面积．
- 是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．
如图，若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由．
如图，若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了生活中的轴对称现象；结合轴对称的知识画出图形是解答本题的关键．入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．
【解答】
解：如图，求最后落入球洞；
故选A．
2.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，
的最小值为，
故选D．
解直角三角形求出，再根据，可得结论．
本题考查解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】解：图中是三角形的有：、、、、．
故选：．
根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】如图，连结．，
是等腰三角形
是的中线，
．
在与中，
，
，
平分，
所在的直线是的对称轴，
点关于的对称点为点，
．
当点在与的交点处时，，
的最小值为线段的长．
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由已知条件易得，在中根据等腰三角形的性质可得的度数，求其余角可得答案．
【解答】
解：中，，，是边上的中线，
，，
，
，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：，为的中点，
，，
，
即是等腰三角形，
平分，
，，
，
在和中，
，
≌，故都正确，
即正确的个数是，
故选：．
根据等腰三角形的性质得出，根据线段垂直平分线性质得出，根据等腰三角形的性质得出平分，根据角平分线的性质得出，根据全等三角形的判定定理推出≌即可．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，角平分线的性质等知识点，能熟记等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】
解：、逆命题是相等的角是直角，错误，是假命题，符合题意；
B、逆命题是到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题是在一个三角形中，等角对等边，正确，是真命题，不符合题意；
D、逆命题是在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意；
8.【答案】
【解析】解：于点，于点；
，
点是的中点，
，，
，，
，，
，
，
故选：．
由垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：三角形的三边，，满足，
，
，
三角形为直角三角形．
故选：．
将所给出的等式化简可得，利用勾股定理的逆定理可求解．
本题主要考查完全平方公式，勾股定理的逆定理，将等式变形为是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据正方形的面积与边长的平方的关系得，图中面积为和的正方形的边长是和；
解图中直角三角形得正方形的边长：，所以正方形的面积为．
故选：．
要求正方形的面积，则要知它的边长，而正方形的边长是直角三角形的一斜边，利用另外两正方形的面积可求得该直角三角形的两条直角边，再用勾股定理可解．
此题考查了正方形的面积公式与勾股定理，比较简单．
11.【答案】
【解析】解：、周长相等的锐角三角形不一定都全等，故错误，是假命题；
B、周长相等的等腰直角三角形都全等，正确，是真命题；
C、周长相等的钝角三角形不一定全等，故错误，是假命题；
D、周长相等的直角三角形不一定全等，故错误，是假命题，
故选B．
利用全等三角形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定定理，难度不大．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．利用角平分线的性质得到，从而，即可求得的周长．
【解答】
解：是的平分线，，，
，
在和中，
，
≌，
，
的周长．
故选C．
13.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
、关于对称，
连接交于，连接，此时的值最小，最小值，
作于，交的延长线于．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
故答案为．
首先证明四边形是菱形，推出、关于对称，连接交于，连接，此时的值最小，最小值，构造直角三角形，求出，即可解决问题；
本题考查轴对称、平行线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
14.【答案】等腰
【解析】解：，
，，
解得：，，
为方程的解，
，
解得：或，
、、为的三边长，，
不合题意，舍去，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而判断出其形状．
此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查定义与命题、原命题与逆命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案．
【解答】
解：逆命题为两直线平行，同旁内角互补，正确；
逆命题为如果两个角相等，那么它们是直角，错误；
逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；
逆命题为如果，，是直角三角形的三边长，那么这个三角形三边满足，正确．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用．先判定为直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：在中，，，，
，
为直角三角形，且，
是边上的中线，
；
故答案为：．
17.【答案】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，
，，
，，且，，
，
，
．
【解析】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
18.【答案】解：是等腰三角形，理由略．
【解析】略
19.【答案】证明：，
，
，
，
，
是的角平分线，
，，
．
【解析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意，平行线的性质和角平分线的性质可以证明结论成立．
20.【答案】证明：，，
．
又，
．
．
在与中
≌．
由知≌，
．
等腰中，，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形全等的问题要找准三角形中现有的条件然后找需要的条件，根据所给出的已知条件结合图形得出所需条件．等腰三角形中三线合一是非常重要的．注意应用．
要证≌，现具备的条件是两边相等，缺夹角或第三边相等，由已知知道证夹角相等是比较容易的．而第三边与已知相差很远，不易求出．
利用的结论≌得出，在等腰三角形中，又因为已知，所以可利用等腰三角形的三线合一的性质得出结论．
21.【答案】 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
【解析】解：如图，即为所求；
与交于点，
，．
点在上，
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
故答案为：，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
作射线，在射线上截取，作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上截取，连接，即可；
根据线段的垂直平分线的性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图．
已知，且两个三角形有同底，
两三角形的高线长相等，即．
设与交于点，
易证，，即直线平分．
逆命题：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的理由如下：
如图，，，，
，
，即与的高线长相等，
．
【解析】见答案．
23.【答案】证明：在中，，
，，
，
，
．
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知，，后由已知条件求得，即可得．
本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互余，熟记性质是解题的关键．
24.【答案】解：选择条件．
证明：是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌；
≌；
，
，是的中点，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形的面积的面积，
是的中点，
的面积的面积，
，，
四边形的面积的面积．
【解析】选择条件根据已知条件，采用证明三角形全等即可；
根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形的性质可证明四边形是菱形，进一步可得四边形的面积的面积，又因为的面积的面积，求出的面积即可得到四边形的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
25.【答案】解：，理由：
，，
，同角的余角相等
，，
≌，
；
，理由：
，，
，同角的补角相等
，，
≌，
，，
．
【解析】根据“”可以证明≌，则；
同理证明≌，则，，可得．
此题考查了两直角三角形全等的判定方法，是从特殊到一般，所用方法一样，依据有所不同．
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初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试单元测试复习练习题： 这是一份初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试单元测试复习练习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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