山东省潍坊市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类

这是一份山东省潍坊市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类，共46页。试卷主要包含了÷，其中x是16的算术平方根，，如图，与点C关于y轴对称，【情境再现】等内容，欢迎下载使用。
山东省潍坊市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2020•潍坊）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x是16的算术平方根．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2021•潍坊）（1）计算：（﹣2021）0+3+（1﹣3﹣2×18）；
（2）先化简，再求值：•﹣xy（+），其中（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标．
三．反比例函数的应用（共1小题）
3．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收
入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数y＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．

四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．

小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
5．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）

五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．


7．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　 　
6
4个
③　 　
②　 　
3个
\
10
2个
④　 　

8．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．

八．圆锥的计算（共1小题）
11．（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．

小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
九．圆的综合题（共1小题）
12．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

一十．几何变换综合题（共2小题）
13．（2021•潍坊）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 　 　；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
14．（2020•潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

一十一．特殊角的三角函数值（共1小题）
15．（2022•潍坊）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
＝
＝
＝﹣2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；
　 　．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
一十二．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2022•潍坊）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．

（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
17．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．

一十四．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2021•潍坊）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）

一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2022•潍坊）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：

样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
表中a＝　 　；b＝　 　．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．
A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？

一十六．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2021•潍坊）从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为＝76，＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．

21．（2020•潍坊）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．

参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2020•潍坊）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x是16的算术平方根．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝．
∵x是16的算术平方根，
∴x＝4，
当x＝4时，原式＝．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2021•潍坊）（1）计算：（﹣2021）0+3+（1﹣3﹣2×18）；
（2）先化简，再求值：•﹣xy（+），其中（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标．
【解答】解：（1）原式＝1+3×+（），
＝1+﹣1，
＝；
（2）原式＝﹣2y﹣3x＝2x+3y﹣2y﹣3x＝﹣x+y，
∵（x，y）是函数y＝2x与y＝的图象的交点坐标，
∴联立，
解得，，
当x＝1，y＝2时，原式＝﹣x+y＝1，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝﹣x+y＝﹣1．
三．反比例函数的应用（共1小题）
3．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收
入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数y＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．

【解答】解：（1）∵1×1.5＝1.5，2×2.5＝5，
∴1.5≠5，
∴不能选用函数y＝（m＞0）进行模拟．
（2）选用y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），理由如下，
由（1）可知不能选用函数y＝（m＞0），
由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知，
x每增大1个单位，y的变化不均匀，
∴不能选用函数y＝kx+b（k＞0），
故只能选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）模拟．
（3）把（1，1.5），（2，2.5）代入y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）得：
，解得：，
∴y＝0.5x2﹣0.5x+1.5，
当x＝6时，y＝0.5×36﹣0.5×6+1.5＝16.5，
∵16.5＞16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
四．二次函数的应用（共2小题）
4．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．

小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【解答】解：（1）认同，理由是：当m＞0时，y＝中，y随x的增大而减小，而从图中描点可知，x增大y随之增大，故不能选y＝（m＞0）；
（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c，
把（1，1.5），（2，2.0）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝0.5x+1；
把（1，1.9），（2，2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：
，
解得，
∴y＝﹣0.1x2+x+1，
答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1；
（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，
由（2）知，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，
∵﹣0.1＜0，抛物线对称轴为直线x＝7.5，而x为整数，
∴当x＝7或8时，w取最大值，最大值为7.6，
答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．
5．（2020•潍坊）因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）

【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
6．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：
二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．
【观察发现】
请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．
【思考交流】
小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”
小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”
你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．
【概括表达】
小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．
请你探究这个方法，写出探究过程．


【解答】解：y＝﹣x2（答案不为唯一）；
【观察发现】
如图：
【思考交流】
∵抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，
∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，
例如：y＝﹣x2；
∴小亮的说法不正确；
∵抛物线不经过第一象限，
∴抛物线的图象一定在x轴的下方，
∴小莹的说法不正确；
【概括表达】
设y＝ax2+bx+c，
∵二次函数的图象不经过第一象限，
∴a＜0，
∵经过点（﹣1，﹣1），
∴a﹣b+c＝﹣1，
∴a＝b﹣c﹣1＜0，
∴b﹣c＜1．

7．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为M（2，﹣），抛物线与x轴的一个交点为A（4，0），点B（2，2）与点C关于y轴对称．
（1）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；
（2）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形ABCO的形状并证明；
（3）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化，请探究S的大小变化并填写表格①～④处的内容；当S的值为②时，求点P的横坐标的值．
直线AC的函数表达式
S取的一个特殊值
满足条件的P点的个数
S的可能取值范围
①　y＝x+　
6
4个
③　0＜S＜　
②　　
3个
\
10
2个
④　S＞　

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣，将A（4，0）代入，
得：0＝a（4﹣2）2﹣，
解得：a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣＝x2﹣x，
∵点B（2，2）与点C关于y轴对称，
∴C（﹣2，2），
当x＝﹣2时，y＝（﹣2﹣2）2﹣＝2，
∴点C在该抛物线y＝（x﹣2）2﹣上；
（2）四边形ABCO是菱形．
证明：∵B（2，2），C（﹣2，2），
∴BC∥x轴，BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴BC＝OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OC＝＝4，
∴OC＝OA，
∴四边形ABCO是菱形．
（3）①设直线AC的函数表达式为y＝kx+b，
∵A（4，0），C（﹣2，2），
∴，
解得：，
∴直线AC的函数表达式为y＝x+；
故答案为：y＝x+；
②当点P在直线AC下方的抛物线上时，如图2，
设P（t，t2﹣t），过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，
则H（t，t+），
∴PH＝t+﹣（t2﹣t）＝﹣t2+t+，
∵满足条件的P点有3个，
∴在直线AC下方的抛物线上只有1个点P，即S△PAC的值最大，
∵S△PAC＝S△PHC+S△PHA＝PH•[4﹣（﹣2）]＝3PH＝3（﹣t2+t+）＝（t﹣1）2+，
∴当t＝1时，S△PAC取得最大值，此时，点P的坐标为（1，﹣），
故答案为：；
③由②知，当0＜S＜时，在直线AC下方的抛物线上有2个点P，满足S△PAC＝S，
在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，
∴满足条件S△PAC＝S的P点有4个，符合题意．
故答案为：0＜S＜；
④∵满足条件S△PAC＝S的P点只有2个，而在直线AC上方的抛物线上一定有2个点P，满足S△PAC＝S，
∴在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，
由②知，当S＞时，在直线AC下方的抛物线上没有点P，满足S△PAC＝S，符合题意．
故答案为：S＞．
点P的横坐标的值为1，
当点P在直线AC上方时，如图3，
∵S△PAC＝S△PCH﹣S△PAH＝PH•（xA﹣xC）＝3PH＝，
∴PH＝，
∴t2﹣t﹣＝，
解得：t＝1±3，
综上所述，点P的横坐标为1或1﹣3或1+3．



8．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，
解得．
∴抛物线解析式为：；

（2）当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，
∴，
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴F（t，﹣t+8），
∴，
∴，
即，
∴t1＝2，t2＝6，
∴P1（2，12），P2（6，8）；


（3）存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为5，
∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，
△NME∽△COB，则，
解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），

②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，
则，
解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；

③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，
此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），
则m﹣8＝8﹣5，
解得m＝11，
∴M（3，11）；
此时点M的坐标为（3，11）；

故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
9．（2022•潍坊）【情境再现】
甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．
请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】
延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．
【拓展延伸】
小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

【解答】【情境再现】
证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，
∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，
∴∠BEH＝∠AFG，
∵OH＝OC，
∴OH﹣OE＝OC﹣OF，即EH＝GF，
在△BHE和△AGF中，
，
∴△BHE≌△AGF（SAS），
∴BH＝AG；
【迁移应用】
解：猜想：DG⊥BH；证明如下：
由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，
∴∠BHE＝∠AGF，
∵∠HDG＝90°，
∴∠AGF+∠GPO＝90°，
∴∠BHE+∠GPO＝90°，
∵∠GPO＝∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝90°，
∴DG⊥BH；
【拓展延伸】
解：猜想：BH＝AG，证明如下：
设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：

由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，
∴△BOT∽△AOK，
∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，
∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，
∵OH＝GO，
∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，
∴＝＝，
∴△BTH∽△AKG，
∴＝＝，
∴BH＝AG．
七．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2020•潍坊）如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE⊥AD，
∴BF∥CE，
∵点C为劣弧的中点，
∴OC⊥BF，
∵BF∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧的中点，
∴，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴∠OCF＝∠COB，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC＝，
即阴影部分的面积为：．

八．圆锥的计算（共1小题）
11．（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．

小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
【解答】解：小亮的说法不正确．
设直角三角尺三边长分别为BC＝a，AC＝a，AB＝2a，
∴甲圆锥的侧面积：S甲＝π•BC•AB＝π×a×2a＝2πα2
乙圆锥的侧面积：S乙＝π•AC•AB＝π×a×2a＝2πa2，
∴S甲≠S乙，
∴小亮的说法不正确
九．圆的综合题（共1小题）
12．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC＝θ，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

【解答】解：（1）当点H，O重合时，如图，连接OC，

∵AC＝CD，
∴OC是直角三角形斜边上的中线，
∴OC＝AD，
又∵OC＝OA，
即OA＝AD，
∴∠D＝30°，
又∵∠D+∠DAO＝90°，∠ABC+∠DAO＝90°，
∴∠ABC＝∠D＝30°，
∴sinθ＝；
（2）∵∠DCB＝∠DHB＝∠ACB＝90°，
由（1）知∠ABC＝∠D，
∴△BHF∽△DCF∽△DHA，
∴BH：DC：DH＝HF：CF：HA，
∴BH•AH＝DH•FH；
（3）当θ＝45°时，∠AOC＝90°，
∴的长＝π•AB＝2π，
即圆锥的底面周长为2π，
∴圆锥的底面半径r＝＝1，
∵圆锥的母线＝OA＝4，
∴圆锥的高h＝＝＝，
即圆锥的底面半径和高分别为1和．
一十．几何变换综合题（共2小题）
13．（2021•潍坊）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）①CD+DF+FE的最小值为 　　；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵∠DBF＝∠ABE＝60°，
∴∠DBF﹣∠ABF＝∠ABE﹣∠ABF，
∴∠ABD＝∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，
∵tan∠ABC＝30°＝，
∴BC＝，
∵∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴CE＝，
故答案为：；
②证明：∵BD＝BF，∠DBF＝60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD＝60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE＝120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA＝120°，
∴∠ADF＝∠ADB﹣∠BDF＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ADF＝∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，
理由：如图，连接MN，

∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD，MN＝，
PN∥EF，PN＝，
∵△BDA≌△BFE
∴AD＝EF，
∴NP＝MN，
∵AB＝BE且∠ABE＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF＝∠BAD＝α，∠PAN＝β，
则∠AEF＝∠APN＝60°﹣α，
∠EAD＝60°+α，
∴∠PNF＝60°﹣α+β，
∠FNM＝∠FAD＝60°+α﹣β，
∴∠PNM＝∠PNF+∠FNM＝60°﹣α+β+60°+α﹣β＝120°，
∴∠MPN＝（180°﹣∠PNM）＝30°．
14．（2020•潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．
（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；
（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．

【解答】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD；
（2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°，
∴CF⊥BD，
∵AB＝AC＝，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BC＝AB＝，CD＝AC+AD＝，
∴BC＝CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线；
解法二：通过计算证明CD＝DB，ED＝EB，可得结论．
（3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中：

∵AB＝AC＝，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G，
∴AG＝BC＝，∠GAB＝45°，
∴DG＝AG+AD＝，∠DAB＝180°﹣45°＝135°，
∴△BCD的面积的最大值为：，
旋转角α＝135°．
一十一．特殊角的三角函数值（共1小题）
15．（2022•潍坊）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
＝
＝
＝﹣2
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；
　④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0　．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【解答】解：（1）④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0，
原式＝，
＝28，
故答案为：④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0；28；
（2）原式＝（）•，
＝×，
＝，
∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，
所以x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∵x≠3，
∴当x＝﹣1时，原式＝．
一十二．解直角三角形的应用（共1小题）
16．（2022•潍坊）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．

（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．
【解答】（1）证明：连接AO，并延长交⊙O于G，连接BG，

∴∠ACB＝∠AGB，
∵AG是直径，
∴∠ABG＝90°，
∴∠BAG+∠AGB＝90°，
∵AD2＝BD•CD，
∴，
∵∠ADB＝∠CDA，
∴△DAB∽△DCA，
∴∠DAB＝∠ACB，
∴∠DAB＝∠AGB，
∴∠DAB+∠BAG＝90°，
∴AD⊥AO，
∵OA是半径，
∴AD的⊙O的直径；
（2）解：当水面到GH时，作OM⊥GH于M，

∵CA＝CB，∠C＝30°，
∴∠ABC＝75°，
∵AG是直径，
∴∠ABG＝90°，
∴∠CBG＝15°，
∵BC∥GH，
∴∠BGH＝∠CBG＝15°，
∴∠AGM＝45°，
∴OM＝OG＝，
∴筒车在水面下的最大深度为3﹣≈0.9（m）．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
17．（2020•潍坊）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度．

【解答】解：如图示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，


由题意得，∠MCA＝∠A＝60°，∠NCB＝∠B＝45°，CD＝120（米），
在Rt△ACD中，AD＝＝＝40（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝45°，
∴BD＝CD＝120（米），
∴AB＝AD+BD＝（40+120）（米）．
答：桥AB的长度为（40+120）米．
一十四．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
18．（2021•潍坊）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7）

【解答】解：过点C作CD⊥AM，垂足为D，
由题意得，∠CAD＝75°﹣45°＝30°，∠CBD＝75°﹣30°＝45°，
设CD＝a，则BD＝a，BC＝a，AC＝2CD＝2a，
∵两船同时到达C处海岛，
∴t甲＝t乙，
即＝，
∴＝，
∴V甲＝＝v≈1.4v．

一十五．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2022•潍坊）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．
【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．
样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：

样本学生成绩
平均数
方差
中位数
众数
甲校
50
66
66
66
78
80
81
82
83
94
74.6
141.04
a
66
乙校
64
65
69
74
76
76
76
81
82
83
74.6
40.84
76
b
表中a＝　79　；b＝　76　．
请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．
【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．
A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．
请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．
【监测反思】
①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；
②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？

【解答】解：【学科测试】将甲校样本学生成绩从小到大排序为：50，66，66，66，78，80，81，82，83，94，
位于第5个和第6个的数据分别是78和80，
∴a＝＝79，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是76，
∴b＝76，
故答案为：79，76，
由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，
∴乙校成绩更加稳定；
【问卷调查】由题意，甲校学生阅读课外书的平均数量为＝32（本），
乙校学生阅读课外书的平均数量为＝30（本）；
【监测反思】
①通过计算可得小亮、小莹作答相同试卷的概率为，a＝79，b＝76；
甲校样本学生阅读课外书的平均数量为32本，乙校样本学生阅读课外书的平均数量为30本；
从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些；
从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳；
综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量；
②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩．
一十六．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2021•潍坊）从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试，用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为＝76，＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．

【解答】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），
补充完整频数分布直方图如下：

估算参加测试的学生的平均成绩为：＝76.5（分）；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：

共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为＝；
（3）∵样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4，
∴s甲2＜s乙2，
∴甲班的成绩稳定，
∴甲班的数学素养总体水平好．
21．（2020•潍坊）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；
②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；
（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；
（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【解答】解：（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，
因此A档共有：12﹣4＝8人，
8÷20%＝40人，
则C档的人数有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），补全图形如下：


（2）1200×＝480（人），
答：估计全校B档的人数为480．

（3）用A表示七年级学生，用B表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，

因为共有12种等可能的情况数，其中抽到的2名学生来自不同年级的有10种，
所以抽到的2名学生来自不同年级的概率是：＝．