四川省雅安市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类

这是一份四川省雅安市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类，共34页。试卷主要包含了0+|3﹣|﹣4sin60°，﹣2；，﹣1；，的图象上等内容，欢迎下载使用。
四川省雅安市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2021•雅安）（1）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0+|3﹣|﹣4sin60°．
（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣1．
2．（2020•雅安）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；
（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
二．负整数指数幂（共1小题）
3．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
5．（2020•雅安）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．

7．（2020•雅安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；
（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．

六．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2021•雅安）已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．

七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
八．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
11．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

12．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．

九．矩形的性质（共1小题）
13．（2021•雅安）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
（1）求证：△OAF≌△DAB；
（2）求的值．

一十．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．

一十一．圆内接四边形的性质（共1小题）
15．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．

一十二．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2021•雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

一十三．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．

一十四．相似形综合题（共1小题）
18．（2020•雅安）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．

一十五．概率公式（共1小题）
19．（2020•雅安）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．

一十六．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．

21．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．


参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共2小题）
1．（2021•雅安）（1）计算：（）﹣2+（3.14﹣π）0+|3﹣|﹣4sin60°．
（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝4+1+﹣3﹣4×
＝5+2﹣3﹣2
＝2．
（2）原式＝[﹣]•
＝•
＝•
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
当x＝﹣1时，
∴x+1＝，
∴原式＝﹣（﹣1）
＝﹣2+．
2．（2020•雅安）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；
（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
【解答】解：（1）原式＝1+1×
＝1+
＝；

（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
∵x≠±1，
∴取x＝0，
则原式＝﹣1．
二．负整数指数幂（共1小题）
3．（2022•雅安）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【解答】解：（1）原式＝3+4﹣2
＝5；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义；
当a＝0时，原式＝＝1．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
4．（2022•雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．
（1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）
（2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．
【解答】解：（1）A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
根据题意得：．
解得：
答：A商品每件的进价为100元，B商品每件的进价为60元．
（2）∵A商品m件，∴B商品（80﹣m）件，
∴w＝（150﹣100）x+（80﹣60）（80﹣m）
＝30m+1600．
四．一元一次不等式组的应用（共1小题）
5．（2020•雅安）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
【解答】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，
依题意，得：，
解得：44＜x＜45，
又∵x为正整数，
∴x＝45，3x+86＝221．
答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2022•雅安）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
（1）求m的值和点D的坐标；
（2）求DF所在直线的表达式；
（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．

【解答】解：（1）过A点作AH⊥BO于H，
∵△ABO是等腰直角三角形，A（m，2），
∴OH＝AH＝2，
∴m＝2，
由平移可得D点纵坐标和A点纵坐标相同，设D（n，2），
∵D在y＝图像上，
∴n＝4，
∴D（4，2）．
（2）过D作DM⊥EF于M，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFM＝45°，
∴DM＝MF＝2，
由D（4，2）得F（6，0），
设直线DF的表达式为：y＝kx+b，将F（6，0）和D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴直线DF的表达式为y＝﹣x+6．
（3）延长FD交y＝图像于点G，
，
解得：，，
∴G（2，4），
由（1）得EF＝BO＝2HO＝4，
∴S△EFG＝EF•Gy＝×4×4＝8．

7．（2020•雅安）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；
（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．

【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，
∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝10，
∴点C坐标是（﹣2，10），
∵B（0，6），A（3，0），
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+6．
∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），
∴m＝﹣20，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
（2）由解得或，
∴E的坐标为（5，﹣4）．
（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．

六．反比例函数综合题（共1小题）
8．（2021•雅安）已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，3）．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数y＝的图象上点A的右侧取点C，过点C作x轴的垂线交x轴于点H，过点A作y轴的垂线交直线CH于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，两线相交于点B，求证：O，B，D三点共线；
②若AC＝2OA，求证：∠AOD＝2∠DOH．

【解答】（1）解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（2，3），
∴3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）证明：①过点A作AM⊥x轴于M，过点C作CN⊥y轴于N，AM交CN于点B，连接OB．
∵A（2，3），点C在y＝的图象上，
∴可以设C（t，），则B（2，），D（t，3），
∴tan∠BOM＝＝＝，tan∠DOH＝＝，
∴tan∠BOM＝tan∠DOH，
∴∠BOM＝∠DOH，
∴O，B，D共线．

②设AC交BD于J．
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥CB，
∵AM⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AJ＝JC＝JD＝JB，
∵AC＝2OA，
∴AO＝AJ，
∴∠AOJ＝∠AJO，
∵∠AJO＝∠JAD+∠JDA，
∵AD∥OH，
∴∠DOH＝∠ADJ，
∵JA＝JD，
∴∠JAD＝∠ADJ，
∴∠AOD＝2∠ADJ＝2∠DOH．

七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
八．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．
【解答】解：（1）由题意设二次函数表达式为：y＝a（x+1）•（x﹣3），
∴a•（﹣3）＝﹣3，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4）；
（2）存在点E，使△ACE是直角三角形，过程如下：
设点E（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AE2＝4+m2，CE2＝1+（m+3）2，
当∠EAC＝90°时，
AE2+AC2＝CE2，
∴14+m2＝1+（m+3）2，
∴m＝，
∴E1（1，），
当∠ACE＝90°时，
AC2+CE2＝AE2，
∴11+（m+3）2＝4+m2，
∴m＝﹣，
∴E2（1，﹣），
当∠AEC＝90°时，
AE2+CE2＝AC2，
∴5+m2+（m+3）2＝10，
∴m＝﹣1或﹣2，
∴E3（1，﹣1），E4（1，﹣2），
综上所述：点E（1，）或（1，﹣）或（1，﹣1）或（1，﹣2）；
（3）设AD的中点为I，
∵A（﹣1，0），D（1，﹣4），
∴AD＝＝2，I（0，﹣2），
∴PA⊥PD，
∴∠ADP＝90°，
∴点P在以AB的中点I为圆心，为半径的圆上，
∵BI＝＝，
∴PB最小＝﹣．
11．（2021•雅安）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b．
（1）当该二次函数的图象经过点A（1，0）时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）若对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，求实数b的取值范围．

【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）如图1，对函数y＝x2+2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∴sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴，
设运动时间为t，则：BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，，
∴NQ＝，
∴S△BPQ＝，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为．
（3）①∵二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象开口向上，
∴当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴没有交点或只有1个交点时，x≥1总有y≥0成立（如图2）；
此时△≤0，即（2b）2﹣4（﹣3b）≤0，
解得﹣3≤b≤0；
②当二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象与x轴有2个交点时，
Δ＝（2b）2﹣4（﹣3b）＞0，可得b＞0或b＜﹣3，
设此时两交点为（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝﹣2b，x1•x2＝﹣3b，
要使x≥1的任意实数x，都有y≥0，需x1≤1，x2≤1，即x1﹣1≤0，x2﹣1≤0（如图3），
∴（x1﹣1）+（x2﹣1）≤0且（x1﹣1）•（x2﹣1）≥0，
∴﹣2b﹣2≤0且﹣3b﹣（﹣2b）+1≥0，
解得﹣1≤b≤1，
∴此时0＜b≤1，
总上所述，对满足x≥1的任意实数x，都使得y≥0成立，则﹣3≤b≤1．


12．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．

【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c
则有，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．

（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．

（3）存在．如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），

当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴N″（2，5）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．

九．矩形的性质（共1小题）
13．（2021•雅安）如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B使OB＝OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．
（1）求证：△OAF≌△DAB；
（2）求的值．

【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠OEB＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠BAD，
在△AOF和△ABD中，
，
∴△OAF≌△DAB（ASA），
（2）由（1）得，△OAF≌△DAB，
∴AF＝AB，
连接BF，如图，

∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，
∴＝．
一十．正方形的性质（共1小题）
14．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
故答案为：6．

一十一．圆内接四边形的性质（共1小题）
15．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．
方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积＝＝

一十二．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2021•雅安）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

【解答】证明：（1）连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥CE于F，
由（1）知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE＝＝＝5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP＝，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP＝，
在Rt△CPE中，PE＝＝＝，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，
∴4DF＝×，
∴DF＝，
在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．

一十三．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．

【解答】（1）证明：过点O作OF⊥AB于F，

∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，OC⊥AC，
∴OF＝OC（即OF是⊙O的半径），
∴AB是⊙O的切线；
（2）证明：∴OC是⊙O的半径，OC⊥AC，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，
∴∠EDC+∠DEC＝90°，
∵∠DEC＝∠ECO，
∴∠ACE＝∠EDC，
∵∠EAC＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC；
（3）解：∵＝，△ACE∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AE•AD，
设AE为a，则AC＝2a，AD＝a+12，
∴（2a）2＝a（a+12），
∴a1＝4，a2＝0（舍去），
∴AC＝8，
∴tan∠OAC＝＝．
一十四．相似形综合题（共1小题）
18．（2020•雅安）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；

（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，
∴BE＝8，
∴FG＝CG，
∴EG＝CE+CG＝2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝8，
∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；

（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝10﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，
当EC＝5时，S△ECF最大＝．
一十五．概率公式（共1小题）
19．（2020•雅安）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．

【解答】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，
∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），
则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；
（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；
（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．
一十六．列表法与树状图法（共2小题）
20．（2022•雅安）为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．
（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？
（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；
（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．

【解答】解：（1）50﹣20﹣25﹣2＝3（户），
即这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户；
（2）＝12.4（t），
即估计该小区平均每户用水量约为12.4t；
（3）由（1）知：用水量在20～30t有3户，
由条形统计图可知，用水量在30～40t有2户，
设水量在20～30t的用户用A表示，用水量在30～40t的用户用B表示，
树状图如下所示，

由上可得，一共有20种可能性，其中至少有1户用水量在30～40t的有14种可能性，
∴至少有1户用水量在30～40t的概率是＝．
21．（2021•雅安）为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：
组别
成绩范围
频数
A
60～70
2
B
70～80
m
C
80～90
9
D
90～100
n
（1）分别求m，n的值；
（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如60～70的中间值为65）估计全校学生的平均成绩；
（3）从A组和D组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在D组的概率．

【解答】解：（1）由题意得：n＝20×20%＝4，
则m＝20﹣2﹣9﹣4＝5，
（2）（65×2+75×5+85×9+95×4）＝82.5（分），
即估计全校学生的平均成绩为82.5分；
（3）A组有2名学生，D组有4名学生，
画树状图如图：

共有30种等可能的结果，抽取的2名学生都在D组的结果有12种，
∴抽取的2名学生都在D组的概率为＝．