四川省自贡市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类

这是一份四川省自贡市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类，共38页。试卷主要包含了﹣1，，其中x是不等式组的整数解，解不等式组，函数图象是研究函数的重要工具，两点等内容，欢迎下载使用。
四川省自贡市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．
2．（2020•自贡）计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•自贡）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．
三．分式方程的应用（共2小题）
4．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
5．（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
四．解一元一次不等式（共1小题）
6．（2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　 　；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．


六．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
8．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 　 　．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　 　．

七．一次函数的应用（共1小题）
9．（2020•自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
八．反比例函数综合题（共1小题）
10．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．

九．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．


12．（2021•自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．

一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•自贡）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．

一十一．矩形的性质（共2小题）
15．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝　 　，EF＝　 　；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

16．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

一十二．正方形的性质（共1小题）
17．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．

一十三．圆的综合题（共2小题）
18．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．

19．（2020•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．

一十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
20．（2021•自贡）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．

一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
21．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

22．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

一十六．列表法与树状图法（共3小题）
23．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
24．（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是 　 　，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
25．（2020•自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查的学生人数是　 　人，m＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　 　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　 　．

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．
【解答】解：原式＝5﹣7+1＝﹣1．
2．（2020•自贡）计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．
【解答】解：原式＝2﹣1+（﹣6）
＝1+（﹣6）
＝﹣5．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•自贡）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．
【解答】解：•（+1）
＝
＝
＝，
由不等式组，得﹣1≤x＜1，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，
∵当x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣．
三．分式方程的应用（共2小题）
4．（2022•自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，
由题意可得：﹣2＝，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，
答：张老师骑车的速度是15千米/小时．
5．（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【解答】解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x﹣20）件，
根据题意得：，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，
∴70﹣20＝50，
答：A型机平均每小时运送快递70件，B型机平均每小时运送快递50件．
四．解一元一次不等式（共1小题）
6．（2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．
（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？
（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．

∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．
（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是　6　；
②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；

③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
【解答】解：（3）解决问题：
①|x﹣4|+|x+2|＝|x﹣4|+|x﹣（﹣2）|，表示P到A与到B的距离之和，
点P在线段AB上，PA+PB＝6，
当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞6，
∴|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；
故答案为：6；
②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＝|x﹣（﹣3）|+|x﹣1|＞4，表示到﹣3和1距离之和大于4的范围，
当点在﹣3和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在﹣3的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则x范围为x＜﹣3或x＞1；

③当a为﹣1或﹣5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．
五．解一元一次不等式组（共1小题）
7．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．


【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，
由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，
∴在数轴上表示不等式组的解集为：

六．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
8．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．
列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…


a

0
b
﹣2
﹣
﹣
…
（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．
其中正确的是 　②③　．（请写出所有正确命题的番号）
（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 　x＜﹣2或0＜x＜2　．

【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣＝2，
把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣＝﹣，
∴a＝2，b＝﹣，
函数y＝﹣的图象如图所示：

（2）观察函数y＝﹣的图象，
①当﹣2≤x≤2时，函数图象原点对称；错误；
②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；正确；
③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，正确．
故答案为②③；
（3）由图象可知，函数y＝﹣与直线y＝﹣x的交点为（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2）
∴不等式＞x的解集为x＜﹣2或0＜x＜2．
七．一次函数的应用（共1小题）
9．（2020•自贡）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝0.9x，
当0≤x≤100时，y乙＝x，
当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙＝；
（2）当0≤x≤100时，此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即100＜x＜200，此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x＞0.8x+20时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．
八．反比例函数综合题（共1小题）
10．（2022•自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，2），B（m，﹣1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）过点B作直线l∥y轴，过点A作AD⊥l于点D，点C是直线l上一动点，若DC＝2DA，求点C的坐标．

【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴其函数解析式为y＝﹣；
∵B（m，﹣1）在反比例函数的图象上，
∴﹣m＝﹣2，
∴m＝2，
∴B（2，﹣1）．
∵A（﹣1，2），B（2，﹣1）两点在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1；

（2）∵直线l∥y轴，AD⊥l，
∴AD＝3，D（2，2），
∵DC＝2DA，
∴DC＝6，
∵点C是直线l上一动点，
∴C（2，8）或（2，﹣4）．
九．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．


【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，

当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+，
∴﹣＝1+，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2），
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝﹣c时，则y1＝（﹣c）2﹣（1+c）（﹣c）+c＝2c2+c﹣，
当x＝1+3c时，则y2＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
∴y2﹣y1＝（6c2+3c）﹣（2c2+c﹣）＝4（c+）2﹣，
∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣，
∴4（c+）2﹣＞0，
∴y2＞y1．
12．（2021•自贡）如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）（x﹣a），令y＝0，可得x＝﹣1或a，
∴B（﹣1，0），A（a，0），
令x＝0，得到y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
∴OA＝OC＝a，OB＝1，
∴AB＝1+a．
∵∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°．

（2）∵△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵点D是△ABC的外心，
∴∠BDC＝2∠CAB＝90°，DB＝DC，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴△DBC∽△OAC，
∴＝，
∴＝，
解得a＝2，
经检验，a＝2是方程的解，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2．

（3）作点C关于抛物线的对称轴x＝的对称点C′，连接AC′．

∵C（0，﹣2），C′（1，﹣2），
∴C′C∥AB，
∵BC，AC′关于直线x＝对称，
∴CB＝AC′，
∴四边形ABCC′是等腰梯形，
∴∠CBA＝∠C′AB，
∵∠DBC＝∠OAC＝45°，
∴∠ABD＝∠CAC′，
∴当点P与点C′重合时满足条件，
∴P（1，﹣2）．
作点P关于直线AC的对称点E（0，﹣1），则∠EAC＝∠PAC＝∠ABD，作直线AE交抛物线于P′，点P′满足条件，
∵A（2，0），E（0，﹣1），
∴直线AE的解析式为y＝x﹣1，
由，解得（即点A）或，
∴P′（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣，﹣）．
13．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．

【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC＝＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），
∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，

PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD＝＝；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，

DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y＝x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
而直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，
故点Q（0，2﹣），
由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝，
则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），
则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．
一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2022•自贡）如图，△ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．

【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACE＝120°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D＝∠E．
一十一．矩形的性质（共2小题）
15．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝　CD　，EF＝　AD　；
（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，
∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
故答案为：CD，AD；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD；
（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，
∴CH＝DH＝40cm，
在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），
∵EG⊥BC，
∴CH∥EG，
∴△BCH∽△BGE，
∴，
∴＝，
∴EG＝64，
∴EF与BC之间的距离为64cm．
16．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF．
一十二．正方形的性质（共1小题）
17．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．

【解答】证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵CE＝DF，
∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．
一十三．圆的综合题（共2小题）
18．（2021•自贡）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．

（2）证明：如图，连接BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴＝，
∴DF•AC＝AD•DC．

（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，
∵•OD•DC＝•OC•DH，
∴DH＝k，
∴OH＝＝k，
∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，
∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴AC＝5k＝40，AB＝2k＝16，
∴sinC＝＝＝sin∠ABF＝，
∴AE＝10，AF＝4，
∴EF＝AE﹣AF＝10﹣4＝6．

19．（2020•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA＝PC＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．
（1）证明：＝；
（2）若tan∠ABC＝2，证明：PA是⊙O的切线；
（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．

【解答】（1）证明：连接OC．
∵PC＝PA，OC＝OA，
∴OP垂直平分线段AC，
∴＝．

（2）证明：设BC＝a，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，
∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，
∵PA＝PC＝AB，
∴PA＝PC＝3a，
∵∠PDC＝90°，
∴PD＝＝＝4a，
∵DC＝DA，AO＝OB，
∴OD＝BC＝a，
∴AD2＝PD•OD，
∴＝，
∵∠ADP＝∠ADO＝90°，
∴△ADP∽△ODA，
∴∠PAD＝∠DOA，
∵∠DOA+∠DAO＝90°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．

（3）解：法一：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．
∵BC＝2，
由（2）可知，PA＝6，AB＝6，
∵∠PAB＝90°，
∴PB＝＝＝6，
∵PA2＝PE•PB，
∴PE＝＝4，
∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，
∴四边形CDKB是矩形，
∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，
∵PD＝8，
∴PK＝10，
∵EJ∥BK，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EJ＝，PJ＝，
∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，
∴DE＝＝＝．
法二：由（2）可得BC＝2，AC＝4，AB＝6，PA＝6，PB＝6，
在Rt△PBA中，连接AE，可得∠AEB＝90°，
∴∠PEA＝∠PAB＝90°，又∠APE＝∠APB，
∴△PEA∽△PAB，
∴＝，
∴PE＝4，
过E作EJ⊥PD于J，过B作BK⊥PF于K，如图所示，
∴∠BCD＝∠CDF＝∠BKD＝90°，
∴四边形BCDK是矩形，
∴BK＝CD＝2，
在Rt△BPH中，sin∠BPH＝＝，
在Rt△PEN中，sin∠BPH＝，
∴EJ＝，
∴PJ＝＝，
∴JD＝PD﹣PJ＝，
在Rt△JED中，DE＝＝．

一十四．作图—应用与设计作图（共1小题）
20．（2021•自贡）如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线BD（不写作法，保留作图痕迹）．

【解答】解：如图，线段BD即为所求作．

一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
21．（2022•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理
制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，
∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，
∴∠POC＝∠GON；
（2）由题意可得，
KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，
∵tan∠POQ＝，
∴tan60°＝，
解得PQ＝5，
∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），
即树高PH为10.2米；
（3）由题意可得，
O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，
由图可得，tanβ＝，tanα＝，
∴O2D＝，O1D＝，
∵O1O2＝O2D﹣O1D，
∴m＝﹣，
∴PD＝，
∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．
22．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan∠BDA＝＝≈1.33，
∴AD＝≈18.05（米）．
∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
一十六．列表法与树状图法（共3小题）
23．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；
（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；
（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．
【解答】解：（1）n＝＝100，
∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），
条形统计图补充如下：

（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），
∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；
（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，
∴所求概率＝＝．
24．（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．

（1）本次抽样调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图；
（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．
【解答】解：（1）∵由条形统计图可得C等级的人数为25人，由扇形统计图可得C等级的人数占比为25%，
∴样本容量为25÷25%＝100．
∵B等级的人数占比为35%，
∴B等级的人数为：100×35%＝35（人）．
∴D等级的人数：100﹣35﹣35﹣25＝5（人）．
补全条形统计图如下：

故答案为：100．
（2）D等级的学生有：100×5%＝5（人）．
由题意列表如下：

由表格可得，共有20种等可能，其中恰好回访到一男一女的等可能有12种，
∴恰好回访到一男一女的概率为＝．
（3）∵样本中A（优秀）的占比为35%，
∴可以估计该校2000名学生中的A（优秀）的占比为35%．
∴估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：2000×35%＝700（人）．
25．（2020•自贡）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．

（1）本次调查的学生人数是　60　人，m＝　30　；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是　　；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是　　．
【解答】解：（1）12÷20%＝60（人），×100%＝30%，
则m＝30；
故答案为：60，30；
（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：

（3）如果小张同学随机选择连续两天，有4种等可能的结果，即（星期一，星期二）、（星期二，星期三）、（星期三，星期四）、（星期四，星期五），
其中有一天是星期一的概率是；
小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，
∴其中有一天是星期三的概率为＝；
故答案为：，．