高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切课后测评

  课时跟踪检测（十八）  两角和与差的正弦

A级——学考水平达标练

1．已知sin α＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(2α＋β)＝(　　)

A．－   B.

C．－  D．

解析：选A　因为cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋β)＝0，所以sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos α·sin(α＋β)＝×(－1)＋0＝－.

2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)

A．1  B．－1

C．0 D．±1

解析：选C　由于sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.当k为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin 2β－sin 2β＝0；当k为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin 2β＋sin 2β＝0.

综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0.

3．sin θ＋sin＋sin的值为(　　)

A．0   B.

C．1 D．2

解析：选A　原式＝sin θ＋sin θcos＋cos θsin＋sin θcos＋cos θsin＝sin θ－sin θ＋cos θ－sin θ－cos θ＝0.

4．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

解析：选C　∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)．

由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccos B

⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B

⇒sin Bcos C－cos Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0.

∵0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜B－C＜π.

∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．

5．设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选C　∵m·n＝1＋cos(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．

又A＋B＝π－C，整理得sin＝，∵0＜C＜π，∴＜C＋＜，∴C＋＝，∴C＝.

6．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sin αsin＝_____________________.

解析：原式＝sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos α·sin β－2sin αcos β＝2sin αcos β－2sin αcos β＝0.

答案：0

7．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为_______________________．

解析：f(x)＝sin，x∈.

∵－≤x－≤，∴f(x)min＝sin＝－1.

答案：－1

8．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于_________________________．

解析：由题意知，sin B＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.

答案：

9．已知函数f(x)＝asin x＋bcos x的图像经过点和.

(1)求实数a和b的值，并判断f(x)的周期性；

(2)当x为何值时，f(x)取得最大值？

解：(1)依题意，有⇒

故f(x)＝sin x－cos x＝2sin.

∴f(x)的最小正周期为2π.

(2)由(1)知f(x)＝2sin.

因此，当x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.

10．已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．

解：因为<α<，所以<＋α<π，

所以sin＝ ＝.

又因为0<β <，所以<＋β <π，

所以cos＝－＝－，

所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin＝－＝－＝.

B级——高考水平高分练

1．已知f(x)＝sin，若sin α＝，则f＝(　　)

A.  B．－

C. D．－

解析：选B　因为<α<π，sin α＝，所以cos α＝－，因为f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝sin αcos＋cos αsin＝＝－.

2．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，若·＝－1，则sin等于(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选B　＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)＝－1，所以3(sin α＋cos α)＝2，

即3sin＝2，所以sin＝.

3．已知函数f(x)＝sin－sin，则此函数的周期T＝________；若－≤x≤，则此函数的值域是________．

解析：因为f(x)＝sin－sin＝sin xcos ＋cos xsin －sin xcos ＋cos xsin ＝cos x，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝2π. 又－≤x≤，所以≤f(x)≤1.

答案：2π　

4．已知cos＋sin α＝，则sin＝____________________________.

解析：由cos＋sin α＝cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝cos α＋sin α＝，

得cos α＋sin α＝，即sin＝，

所以sin＝sin＝－sin＝－.

答案：－

5．求下列各式的值．

(1)；(2).

解：(1)原式＝

＝

＝＝tan 60°＝.

(2)原式＝

＝

＝＝.

6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x＜.

(1)把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式；

(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．

解：(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x

＝cos x＋··cos x＝cos x＋sin x

＝2＝2

＝2sin.

(2)∵0≤x＜，∴f(x)在上是单调递增函数，在上是单调递减函数．

∴当x＝时，f(x)有最大值为2.