人教b版高中数学必修第一册模块质量检测含答案

  模块质量检测

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|2x2－5x－3≤0}，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B中的元素个数为(　　)

A．2　　B．3

C．4    D．5

解析：A＝{x|2x2－5x－3≤0}＝，B＝{x∈Z|x≤2}，A∩B＝{0,1,2}，故选B.

答案：B

2．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

解析：考虑该命题的逆否命题．綈q：x＝3且y＝1，綈p：x＋y＝4，显然綈q⇒綈p，但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件．

答案：A

3．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B   B．A≥B

C．A<B    D．A>B

解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.

答案：B

4．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab>ac   B．c(b－a)>0

C．cb2<ab2  D．ac(a－c)<0

解析：由题意知c<0，a>0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b＝0时C不正确．

答案：C

5．函数y＝的定义域为(　　)

A．(－∞，1]         B．[－1,1]

C．[1,2)∪(2，＋∞)  D.∪

解析：由函数y＝得

解得

即－1≤x≤1且x≠－，

所以所求函数的定义域为∪.

答案：D

6．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是(　　)

A．t<－3   B．t≤－3

C．t>3     D．t≥3

解析：B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.

答案：A

7．关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)

A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)  B．(1,3)

C．(－1,3)                 D．(－∞，1)∪(3，＋∞)

解析：关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)·(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集为(－1,3)．

答案：C

8．已知0<x<1，则3x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：因为0＜x＜1，所以3x＞0,3－3x＞0，所以3x(3－3x)≤2＝，

当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立，故3x(3－3x)取得最大值时x的值为.故选B.

答案：B

9．函数y＝的图像可能是(　　)

解析：易知函数y＝为奇函数，故排除A、C，当x>0时，y＝ln x，只有B项符合，故选B.

答案：B

10．已知函数f(x)＝－x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3，＋∞)

解析：f(2)＝3－2＝1>0

f(3)＝2－3＝－1<0

∴f(2)·f(3)<0.

答案：C

11．已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b  B．c>b>a

C．a>c>b  D．b>a>c

解析：根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f＝f()，且2<<3，所以b>a>c.

答案：D

12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　)

A．(8，＋∞)  B．(8,9]

C．[8,9]       D．(0,8)

解析：∵f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，

∴不等式f(x)＋f(x－8)≤2可化为

f(x(x－8))≤f(9)，

∵，

解得8<x≤9，

∴x的取值范围是(8,9]，故选B.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)

13．命题∃x∈R，x2－2x>0的否定是________．

解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，即∀x∈R，x2－2x≤0.

答案：∀x∈R，x2－2x≤0

14．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间为________，f(x)max＝________.

解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.

答案：[1,4]　8

15．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

解析：因为x＞0，所以x＋≥2，所以＝≤＝(当且仅当x＝1时取等号)，所以的最大值为，所以由已知不等式恒成立得a≥.故a的取值范围是.

答案：

16．已知a>0，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．

解析：设函数g(x)＝f(x)－ax，

则g(x)＝

即g(x)＝

依题意得，函数g(x)恰有两个零点，即函数g(x)与x轴有两个交点．又因为a>0，

所以或或

所以或或

解得4<a<8.

所以a的取值范围为(4,8)．

答案：(4,8)

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则∴0≤m≤3.

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

18．(12分)已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1<0，当a∈A时，非p为真命题，求集合A.

解析：非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．

若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；

若a≠0，则非p为真⇔⇔0<a≤4.

综上知，所求集合A＝{a|0≤a≤4}．

19．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)当x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．

解析：(1)由f(0)＝2，得c＝2，

又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，

得2ax＋a＋b＝2x－1，

故解得：a＝1，b＝－2.

所以f(x)＝x2－2x＋2.

(2)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1函数f(x)图像的对称轴为x＝1，且开口向上，

所以f(x)单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．

(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，

对称轴为x＝1∈[－1,2]，

故fmin(x)＝f(1)＝1，

又f(－1)＝5，f(2)＝2，

所以fmax(x)＝f(－1)＝5.

20．(12分)已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．

解析：令f(x)＝|x2－6x＋8|＝，

g(x)＝a(a∈R)，在同一坐标系中作出两个函数的图像，

如图所示，由图知：(1)当a<0时，方程无解．

(2)当a＝0时，有两解：x＝2或4.

(3)当0<a<1时，有四解：x＝3±.

(4)当a＝1时，有三解：x＝3或3±.

(5)当a>1时，有两解：x＝3±.

21．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

解析：由f(m)＋f(m－1)>0，

得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．

又因为f(x)在[0,2]上单调递减且f(x)在[－2,2]上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为减函数．

所以1－m>m，

又－2≤m－1≤2，－2≤m≤2，

所以解得－1≤m<.

故m的取值范围是.

22．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

解析：(1)由题意可知当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，显然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是减函数，由已知得解得，

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝

(2)依题意并由(1)可得

f(x)＝

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时， f(x)＝x(200－x)≤2＝，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立，所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．