人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算同步练习题

  课时跟踪检测（十六）  向量数量积的坐标运算

A级——学考水平达标练

1．设a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　)

A．11  B．5

C．－14  D．10

解析：选A　因为a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，

所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.

2．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C　设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，解得θ＝.故选C.

3．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)

A.  B．

C．2  D．10

解析：选B　由a⊥b得a·b＝0，

∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2，

∴a＋b＝(3，－1)，

∴|a＋b|＝＝.

4．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选C　设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝.

5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形  B．锐角三角形

C．钝角三角形  D．等边三角形

解析：选A　由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.

∴∠BAC＝90°，

故△ABC是直角三角形．

6．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.

解析：如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.

答案：1

7．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.

解析：设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.

答案：3

8.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

解析：建立平面直角坐标系如图所示．

设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，A(2,0)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．

∴|＋3|2＝25＋(3b－4y)2(0≤y≤b)，

当y＝b时，|＋3|最小，|＋3|min＝5.

答案：5

9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．

(1)求·及|＋|；

(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．

解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，

∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.

∵＋＝(－2，－6)，

∴|＋|＝＝2.

(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，

∴(－t)·＝0，

∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，

∴t＝－1.

10．已知三个点A，B，C的坐标分别为(3，－4)，(6，－3)，(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，求实数m的值．

解：由已知，得＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，

＝(－1－m，－m)．

当∠A为直角时，⊥，则·＝3(2－m)＋1－m＝0，解得m＝.

当∠B为直角时，⊥，则·＝3(－1－m)－m＝0，解得m＝－.

当∠C为直角时，⊥，则·＝(2－m)(－1－m)＋(1－m)(－m)＝0，

即m2－m－1＝0，解得m＝.

综上，当△ABC为直角三角形时，m的值为或－或.

B级——高考水平高分练

1．在平行四边形ABCD中，＝(1,0)，＝(2,2)，则·等于(　　)

A．－4  B．－2

C．2  D．4

解析：选D　·＝(－)·(－2)＝＋2－3·＝8＋2－3×2＝4.故选D.

2．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______；·的最大值为______．

解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．

则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，

设E(1，a)(0≤a≤1)．

所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，

·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，

故·的最大值为1.

答案：1　1

3．已知△ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·≤0，·≥0，则·的最小值为________．

解析：由已知得·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，且·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，即x≤1，且y≥2，所以·＝(x，y)·(－1,2)＝－x＋2y≥－1＋4＝3.

答案：3

4．已知点A(2,3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________．

解析：设B(x，y)(x<0)，则⊥，且||＝||.

∴解得∴B(－3,2)．

答案： (－3,2)

5．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)求和夹角的余弦值；

(3)是否存在实数t满足(－t)·＝·，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

解：(1)由题意知＝(3,5)，＝(－1,1)，

则＋＝(2,6)，－＝(4,4)，

所以|＋|＝2，|－|＝4，

故所求的两条对角线的长分别为2，4.

(2)cos∠BAC＝＝＝，

所以和夹角的余弦值为.

(3)由题设知：＝(－1，－2)，＝(－2，－1)，

－t＝(3＋2t,5＋t)．

假设存在实数t满足(－t)·＝·，

则(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝4，

从而5t＝－15，所以t＝－3.

6．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．

(1)求证：AB⊥AD；

(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值．

解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，

∴＝(1,1)，＝(－3,3)．

又·＝1×(－3)＋1×3＝0，

∴⊥，即AB⊥AD.

(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.

设点C坐标为(x，y)，

则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，

∴解得∴点C的坐标为(0,5)．

由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，

∴·＝8＋8＝16，||＝2，||＝2.

设与的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，

∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.