高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦随堂练习题

  课时跟踪检测（十七）  两角和与差的余弦

A级——学考水平达标练

1．cos 165°的值是(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选D　cos 165°＝cos(180°－15°)

＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)

＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°

＝－×－×＝.

2．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos等于(　　)

A.   B.

C．－  D．

解析：选B　由题意可得sin α＝，cos α＝，

则cos＝cos cos α－sin sin α＝×－×＝.

3．若α∈[0，π]，sinsin＋coscos＝0，则α的值是(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选D　由已知得coscos＋sinsin＝0，即cos＝cos α＝0，又α∈[0，π]，所以α＝.

4．函数f(x)＝cos x·的最小正周期为(　　)

A．2π  B．π

C.  D．

解析：选A　f(x)＝cos x·

＝cos x·

＝2

＝2cos，∴T＝2π.

5．在△ABC中，若sin Asin C<cos Acos C，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

解析：选C　因为sin Asin C<cos Acos C，所以cos Acos C－sin Asin C>0，即cos(A＋C)>0，所以cos B<0，即B为钝角．

6．设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)

A.   B.

C.  D．或

解析：选C　因为α，β为钝角，sin α＝，

所以cos α＝－

＝－ ＝－.

由cos β＝－，得

sin β＝＝ ＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝.

又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.

7.＝________.

解析：＝

＝＝.

答案：

8．已知cos α＝，cos(β－α)＝，且0<β<α<π，则cos β＝________.

解析：∵cos α＝，cos(β－α)＝，

且0<β<α<π，

∴－π<β－α<0，sin α＝＝，

∴sin(β－α)＝－＝－，

∴cos β＝cos[(β－α)＋α]

＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α

＝×－×＝.

答案：

9．若0<α<，－<β<0，cos α＝，cos＝，求cos的值．

解：由cos α＝，0<α<，所以sin α＝.

由cos＝，－<<0，所以sin＝－.

所以cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝－.

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α＋β)的值．

解：依题意，得cos α＝，cos β＝.

因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝.

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.

B级——高考水平高分练

1．若cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝0，则x的值可能是(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选B　因为cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝cos(5x－2x)＝cos 3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，

所以当k＝0时，x＝.

2．若sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，则角α＋β的值为(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选B　因为＜α＜，所以－＜－α＜0，

因为＜β＜，所以＜＋β＜，

由已知可得cos＝，cos＝－.

则cos(α＋β)＝cos

＝coscos＋sinsin

＝×＋×＝－.

因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝.

3．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

解析：sin α＋sin β＝－sin γ，①

cos α＋cos β＝－cos γ，②

①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－.

答案：－

4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则 sin α·cos α＝________，cos＝________.

解析：由题意可得sin α＝，cos α＝，所以sin αcos α＝×＝；cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.

答案：　

5．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，求cos 2β的值．

解：因为sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，

所以cos(α－β)＝－

＝－ ＝－，

cos(α＋β)＝

＝ ＝，

所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]

＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)

＝×＋×＝－.

6．已知sin α＋sin β＝，求cos α＋cos β的取值范围．

解：由sin α＋sin β＝，平方可得

sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，①

设cos α＋cos β＝m，平方可得

cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝m2，②

①＋②得2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝＋m2，

即m2＝＋2cos(α－β)．

∵cos(α－β)∈[－1,1]，∴m2∈，

∴0≤m2≤，∴－≤m≤，

故cos α＋cos β的取值范围为.