北京工大附中2020-2021学年八年级上学期期中数学试卷(含解析)

这是一份北京工大附中2020-2021学年八年级上学期期中数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京工大附中八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（3分）如图所示，以BC为边的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线．若∠CAD＝25°，则∠B的度数是（　　）

A．25° B．55° C．65° D．75°
6．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．14 C．13或14 D．8或10
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（　　）

A．m≥4 B．m≤6 C．4＜m＜6 D．4≤m≤6
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）五边形的内角和等于　 　度．
10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是　 　．
11．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是　 　．
12．（3分）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝　 　（用含α的式子表示）．

13．（3分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，请添加一个适当的条件：　 　，使△ABC≌△EDB（不再添加其它字母或辅助线）．

14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是BC延长线上一点，F是CA延长线上一点，∠DBC＝130°，则∠FAB的度数为　 　．

15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于　 　cm．

16．（3分）在△ABC中给定下面几组条件：
①BC＝4cm，AC＝5cm，∠ACB＝30°；
②BC＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；
③BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝90°；
④BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝120°．
若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是　 　（填序号）．
三、解答题（本大题共10个小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．

（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为　 　．
18．下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：OD＝OE；
由②可得：　 　；
由③可知：OC＝OC；
∴　 　≌　 　（依据：　 　）．
∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．

19．填空，完成下列证明过程．
如图，△ABC和△FED中，AB＝FE，BC＝ED，点A，C，D，F在一条直线上，AD＝FC．求证：AB∥EF．
证明：∵AD＝FC（已知），
∴AD﹣　 　＝FC﹣　 　，
即　 　＝　 　．
在△ABC和△FED中，
AB＝FE（已知），
BC＝ED（已知），
　 　＝　 　（已证），
∴△ABC≌△FED（　 　）．
∴∠A＝∠F（　 　）．
∴AB∥EF（　 　）．

20．如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．

21．已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE．

22．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．

23．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．

24．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标；
（4）写出△A1B1C1的面积．

25．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．
（1）补全图形；
（2）求∠AFE的度数；
（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．



参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．（3分）下列交通标志中，轴对称图形的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：第1个是轴对称图形，符合题意；
第2个是轴对称图形，符合题意；
第3个不是轴对称图形，不合题意；
第4个是轴对称图形，符合题意；
故选：B．
2．（3分）如图所示，以BC为边的三角形共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，
故选：C．
3．（3分）△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，
∴1＜a＜5，
∴A符合，
故选：A．
4．（3分）如图，△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，则AD的长是（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
解：∵△ABC≌△CDA，AC＝7cm，AB＝5cm，BC＝8cm，
∴BC＝AD＝8cm．
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线．若∠CAD＝25°，则∠B的度数是（　　）

A．25° B．55° C．65° D．75°
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝25°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝65°，
故选：C．
6．（3分）若一个等腰三角形的两边长分别为4，5，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．14 C．13或14 D．8或10
解：若4是底边，则三角形的三边分别为4、5、5，
能组成三角形，
周长＝4+5+5＝14，
4是腰长，则三角形的三边分别为4、4、5，
能组成三角形，
周长＝4+4+5＝13．
综上所述，这个等腰三角形的周长为14或13．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
解：如图，连接BE，

∵EF是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
根据两点之间线段最短，
PA+PB＝PA+PC＝AC，最小，
此时点P与点E重合．
所以PA+PB的最小值即为AC的长，为4．
所以PA+PB的最小值为4．
故选：B．
8．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（　　）

A．m≥4 B．m≤6 C．4＜m＜6 D．4≤m≤6
解：如右图所示，
当直线l垂直平分OA时，O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝30°，OB＝2，
∴OA＝4，
∵直线l垂直平分OA，点P（m，0）是直线l与x轴的交点，
∴OP＝4，
∴当m＝4；
作BB″∥OA，交过点A且平行于x轴的直线与B″，
当直线l垂直平分BB″和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵四边形OBB″O′是平行四边形，
∴此时点P与x轴交点坐标为（6，0），
由图可知，当OB关于直线l的对称图形为O′B′到O″B″的过程中，点P符合题目中的要求，
∴m的取值范围是4≤m≤6，
故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）五边形的内角和等于　540　度．
解：五边形的内角和＝（5﹣2）•180°＝540°．
故答案为：540．
10．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是　（3，4）　．
解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
11．（3分）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角是　50°或65°　．
解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
12．（3分）如图，AB＝AC，BD⊥AC，∠CBD＝α，则∠A＝　2α　（用含α的式子表示）．

解：∵BD⊥AC，∠CBD＝α，
∴∠C＝（90﹣α）°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（90﹣α）°，
∴∠ABD＝90﹣α﹣α＝（90﹣2α）°
∴∠A＝90°﹣（90﹣2α）°＝2α；
故答案为2α．
13．（3分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，请添加一个适当的条件：　BC＝DB（答案不唯一）　，使△ABC≌△EDB（不再添加其它字母或辅助线）．

解：添加条件为：BC＝DB；理由如下：
在△ABC和△EDB中，，
∴△ABC≌△EDB（SAS）；
故答案为：BC＝DB（答案不唯一）．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是BC延长线上一点，F是CA延长线上一点，∠DBC＝130°，则∠FAB的度数为　100°　．

解：∵∠DBC＝130°，
∴∠ABC＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∵∠FAB＝∠ABC+∠ACB，
∴∠FAB＝100°，
故答案为：100°．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于　7　cm．

解：由折叠的性质知，AE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝3+4＝7cm．
故答案为：7．
16．（3分）在△ABC中给定下面几组条件：
①BC＝4cm，AC＝5cm，∠ACB＝30°；
②BC＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；
③BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝90°；
④BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝120°．
若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是　①③④　（填序号）．
解：①BC＝4cm，AC＝5cm，∠ACB＝30°，满足“SAS”，所以根据这组条件画图，△ABC唯一；
②BC＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°，根据这组条件画图，△ABC可能为锐角三角形，也可为钝角三角形；
③BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝90°；满足“HL”，所以根据这组条件画图，△ABC唯一；
④BC＝4cm，AC＝5cm，∠ABC＝120°，根据这组条件画图，△ABC唯一．
故答案为①③④．
三、解答题（本大题共10个小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．2019年12月18日，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式发布，并将在2020年5月1日起正式实施，这标志着北京市生活垃圾分类将正式步入法制化、常态化、系统化轨道．目前，相关配套设施的建设已经开启．如图，计划在小区道路l上建一个智能垃圾分类投放点O，使得道路l附近的两栋住宅楼A、B到智能垃圾分类投放点O的距离相等．

（1）请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点O的位置；
（2）确定点O位置的依据为　线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等　．
解：（1）如图，点O即为所求．

（2）作图的依据：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
故答案为线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
18．下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角∠AOB．
求作：∠AOB的角平分线．
作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；
③作射线OC．
所以射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：
由①可得：OD＝OE；
由②可得：　CD＝CE　；
由③可知：OC＝OC；
∴　△OCD　≌　△OCE　（依据：　SSS　）．
∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．

解：（1）如图，OC为所作；

（2）由①可得：OD＝OE；
由②可得：CD＝CE；
由③可知：OC＝OC；
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴可得∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．
即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．
故答案为CD＝CE；△OCD，△OCE，SSS．
19．填空，完成下列证明过程．
如图，△ABC和△FED中，AB＝FE，BC＝ED，点A，C，D，F在一条直线上，AD＝FC．求证：AB∥EF．
证明：∵AD＝FC（已知），
∴AD﹣　CD　＝FC﹣　CD　，
即　AC　＝　DF　．
在△ABC和△FED中，
AB＝FE（已知），
BC＝ED（已知），
　AC　＝　DF　（已证），
∴△ABC≌△FED（　SSS　）．
∴∠A＝∠F（　全等三角形对应角相等　）．
∴AB∥EF（　内错角相等两直线平行　）．

解：证明：∵AD＝FC（已知），
∴AD﹣CD＝FC﹣CD，
即AC＝DF，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SSS）．
∴∠A＝∠F（全等三角形对应角相等）．
∴AB∥EF（内错角相等两直线平行）．
故答案为：CD，CD，AC，DF，AC，DF，SSS，全等三角形对应角相等，内错角相等两直线平行．
20．如图，已知AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：∠C＝∠D．

【解答】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB，
∴∠C＝∠D．
21．已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE．

【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF
∴AE+EF＝CF+EF
即：AF＝CE
在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA）．
22．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数．

解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠B＝50°，∠BAC＝21°，
∴∠ECA＝∠B+∠BAC＝71°，
∴∠CAE＝71°．
23．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．

【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是角平分线．
24．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC分别关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标；
（4）写出△A1B1C1的面积．

解：（1）建立如图所示的直角坐标系；
（2）如图，△A1B1C1为所作；

（3）点A关于x轴的对称点的坐标为（﹣4，﹣4）；
（4）△A1B1C1的面积＝3×4﹣×2×1﹣×2×3﹣×2×4＝4．
25．如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E，连接EC并延长，交射线AD于点F．
（1）补全图形；
（2）求∠AFE的度数；
（3）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．

解：（1）补全图形（如图1）

（2）如图2，连接AE，

设∠BAF＝α，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠FAC＝60°﹣α，∠EAC＝2α﹣60°，AE＝AC，
∴∠ACE＝[180°﹣（2α﹣60°）]＝120°﹣α，
∵∠ACE＝∠AFE+∠FAC＝120°﹣α，
∴∠AFE＝（120°﹣α）﹣（60°﹣α）＝60°；
（3）AF＝EF+CF，
理由如下：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．

∵∠FCG＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠FCG，
∴∠ACG＝∠BCF，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF﹣AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．