2021-2022学年广东省深圳市龙岗区七校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市龙岗区七校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 要使分式有意义，则的取值应满足(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列是四届冬奥会会徽的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 前南斯拉夫 B. 加拿大
C. 意大利 D. 中国

3. 在下列不等式中，解集为的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 每年的月日是京东店庆日，在店庆时京东都会推出一系列的大型促销活动．某布偶的成本为元，定价为元，为使得利润率不低于，在实际售卖时该布偶最多可以打折．(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，若，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，在平行四边形中，为边上一点，将沿翻折得到，点在上，且满足若，则为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接若运动过程中的最小值为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 分解因式：______．
12. 如图，已知一次函数的图象经过点，，则关于的不等式解集为______．

13. 若关于的分式方程有增根，则的值为______．
14. 在平面直角坐标系中，，，在轴上，在轴上，若以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______．
15. 如图，中，，，点为边上一点．点为线段上一点，且，，，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 分解因式：；
    解分式方程：．
17. 解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．
     
18. 先化简再求值，选择一个你喜欢的的值代入其中并求值．
19. 在等腰中，，、分别为、边上的中点，连接并延长到，使得，连接、．
    求证：四边形为平行四边形．
    若，，求的长．

20. 为实行乡村振兴计划，某县的果蔬加工公司先后两次购买龙眼，第一次购买龙眼用了元；因龙眼大量上市，价格下跌，该公司第二次购买龙眼用了元，所购进数量是第一次的倍，但进货单价比第一次便宜了元吨．
    求该公司第一次购进龙眼多少吨？
    公司计划把两次购买的龙眼加工成龙眼肉和干龙眼，吨龙眼可加工成龙眼肉吨或干龙眼吨，龙眼肉和干龙眼的销售价格分别是万元吨和万元吨，若全部的销售额不少于万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成龙眼肉？
21. 龙岗区八年级某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
    直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．
    解法：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
    
    请利用上述模型解决下列问题：
    格点应用：如图，边长为的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点是直线上一动点，则的最小值为______；
    几何应用：如图，中，，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为______；
    代数应用：代数式的最小值为______．
22. 如图，为等边三角形，点为边上的一动点点不与、重合，以为边作等边，连接易求______；
    如图，在中，，，点为上的一动点点不与、重合，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接，类比题，请你猜想：线段、、之间的关系，并说明理由；
    如图，在的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接，，求的长．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，不等式的两边同时除以得：，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；
B.，不等式的两边同时除以得：，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；
C.，不等式的两边同时除以得：，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；
D.，不等式的两边同时除以得：，即该不等式的解集符合题意，故本选项符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐一判断即可，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变；在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．
本题考查了解一元一次不等式，熟记不等式的基本性质是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

5.【答案】 

【解析】解：设实际售卖时该布偶打折销售，
依题意得：，
解得：，
在实际售卖时该布偶最多可以打折．
故选：．
设实际售卖时该布偶打折销售，利用利润售价进价，结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分，
，
，，
，
的周长


，
故选：．
根据题意可知垂直平分，即可得到，然后即可得到，从而可以求得的周长．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，根据线段垂直平分线的性质得到是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
，
．
是角平分线，，
．
，
．
故选：．
过作于，根据角平分线的性质得到，即可求出点到边的距离；然后利用三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点角两边的距离相等是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于，如图所示：

则，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
图中阴影部分的面积▱的面积，
故选：．
由直角三角形的性质可求，的长，由平行四边形的面积公式可求平行四边形的面积，由“”可证≌，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由折叠知，，，
，
，
，
，
故选：．
利用折叠性质和等腰三角形的性质分别求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．
本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，延长至，使，连接，

是等边三角形，是的中点，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点在与成的直线上运动，
当时，有最小值，
，
，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，则点在与成的直线上运动，当时，有最小值，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
提公因式法的直接应用，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图中可以看出，当时，，
故答案为：．
一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值小于的自变量的取值范围．
本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：，
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出的值，代入整式方程计算即可求出的值
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：设，，
，，
以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：或，
，
解得：，
；
若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：或，
，
，
若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：或，
，
解得：，
，
故答案为：或或．
需要以已知线段为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点坐标．
本题考查了数形结合的数学思想以及平行四边形的性质应用，以为边和对角线进行分类是本题的关键点所在．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于，作于．

中，，．
．
在中，．
，．
．
．
．
．
．
．
．
∽．
，即．
．
由勾股定理得：．
．
．
．
故答案为：．
利用含角的直角三角形的性质及图形的相似可求的长．
本题考查含角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键．
 

16.【答案】解：

；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
由分式有意义的条件可知：不能取，
当时，
原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

19.【答案】证明：、分别为、边上的中点，
且，
，
且，
四边形为平行四边形．
解：，，为边上的中点，
，，
在中，，
四边形为平行四边形，
，
即的长为． 

【解析】由、分别为、边上的中点可得且，由，得平行且等于，故四边形为平行四边形．
根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边相等解答即可．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

20.【答案】解：设第一次购买龙眼的单价为元吨，根据题意得：
，
解得：，
将代入得第一次购买龙眼吨．

由于第二次购进龙眼数量是第一次购进龙眼数量的二倍，
则易知第二次购进龙眼吨，所以两次一共购进吨龙眼，
设把吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：，
解得：，
至少需要把吨龙眼加工成桂圆肉， 

【解析】设第一次购买龙眼的单价为元吨，则第二次购买龙眼元吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
设把吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，根据题意列出一元一次不等式，解一元一次不等式即可得出答案．
本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的相等关系和不等关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：如图，连接交于，
则的值最小，
，
的最小值为，
故答案为：；
如图，作点关于直线的对称点，连接，
则与直线的交点即为所求的，且的最小值为，
过作交的延长线于，
由题意得：，，
，
，
的最小值为，
故答案为：；
构造图形如图，，，，于，于，
则，
代数式的最小值就是求的值，
作点关于的对称点，过作交的延长线于．
则，，，
，
代数式的最小值为，
故答案为：．
连接交于，则的值最小，再由勾股定理求出的长即可；
作点关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案；
由勾股定理构造图形，再由轴对称--最短路线问题得到最小值就是求的值，然后由勾股定理计算即可．
本题是三角形综合题目，考查了轴对称--最短路线问题、勾股定理以及最小值问题，本题综合性强，解题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．
 

22.【答案】 

【解析】解：和都是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
，
，
故答案为：；

；理由如下：
在中，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
根据勾股定理得，；

由知，，
，
，
，
，
由知，，
，
根据勾股定理得，，
在中，，
．
利用等式的性质判断出，进而得出≌，即可得出答案；
同的方法判断出≌，进而得出，，即可得出结论；
同的方法，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出≌是解本题的关键．