初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定优秀课堂检测

2.8直角三角形全等的判定  浙教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图已知，，，则判定和全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列判断正确的是．(    )

A. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等
B. 有一直角边相等的两个直角三角形全等
C. 腰相等的两个等腰三角形全等
D. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等

4. 下列判断正确的是(    )

A. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
B. 一边及一锐角相等的两个直角三角形全等
C. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等
D. 三个内角对应相等的两个三角形全等

5. 如图，在和中，，添加下列条件不能使两个三角形全等的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 如图，在中，，于点，于点，和交于点，的延长线交于点，则图中全等的直角三角形有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

7. 下列说法中，正确的有(    )
   都含有的两个直角三角形一定全等；
   都含有的两个等腰三角形一定全等；
   底边相等的两个等腰三角形一定全等；
   边长都为的两个等边三角形一定全等；
   如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：恒成立；的值不变；四边形的面积不变；的长不变，其中正确的个数为．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，于点，，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图：中，，，平分交于，于，且，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都不对

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，，，，，点和点分别在线段和射线上运动，且，当          时，与全等．

12. 如图，中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有______对．

13. 如图，、，垂足分别为、，，，，点为边上一动点，当______时，形成的与全等．

14. 如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当______时，以点，，为顶点的三角形与全等．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，在中，平分，于点，于点，求证：．
     

16. 如图，是的角平分线，是的高．

尺规作图：作的高，连接不写作法，保留作图痕迹；

求证：垂直平分．

17. 如图，是的角平分线，于点．

用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接交于点不写作法，保留作图痕迹

在中所作的图形中，求证：．

18. 如图，已知在中，为边的中点，过点作，，垂足分别为、，且求证：．
    
     

19. 如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
     

求证：≌；

若，求度数．

20. 如图，，是上的一点，且，，求证：≌．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】，，

．

在和中，

故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
≌，
故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有、、、、，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 

【解答】

解：斜边相等的两个等腰直角三角形，根据或者均能判定它们全等，故此选项正确； 

B.  有一直角边相等的两个直角三角形不一定全等 ，故本选项错误；

C.腰相等的两个等腰三角形不一定全等，故本选项错误；
D.两个锐角对应相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，故选项错误；
故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是熟记判定三角形全等的方法．
根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可．
【解答】

解：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，
选项A不符合题意；
斜边与一锐角相等的两个直角三角形全等或一直角边与一锐角相等的两个直角三角形全等，
选项B不符合题意；
顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等，利用证两个等腰三角形全等，
选项C符合题意；
三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，
选项D不符合题意．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握直角三角形全等的判定方，，，解答此题的关键是要熟练掌握直角三角形全等的判定方法，然后逐项分析即可得出答案．
【解答】
解：选项，，，
可利用判定≌，
选项AC，可利用判定≌，
选项，，可利用判定≌，
选项，，，不能证明≌．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】略
 

7.【答案】 

【解析】解：都含有的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
都含有的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以错误；
边长都为的两个等边三角形一定全等，因为根据或或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
所以正确的有这个．
故选：．
根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图作于，于只要证明≌，≌，即可一一判断．
【解答】
解：如图作于，于，

，
，
，
，
，
平分，

，

又于，于，

，

在和中，

 ，

≌，
，
在和中，
≌，
，
在和中，
≌，
，，故正确，
，
为定值，故正确，
定值，故正确，
的长度是变化的，故错误．
故选B．

9.【答案】 

【解析】略
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形全等的判定和性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长 

【解答】

解：平分，，，
，
在和中，
，
≌，
，
的周长，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故选A．

11.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．分两种情况：当时；当时；由证明与全等；即可得出结果．
【解答】
解：，
，
，
分两种情况：
当时，
在和中，
≌；
当时，
在和中，
≌；
综上所述：当点运动到或时，与全等；
故答案为或．  

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
≌；
，
，
，
，
≌；
，
，
，
≌；
，
≌；
，
，
，，
≌，≌，
综上所述，共有对全等的直角三角形．
故答案是：．
≌，≌，≌，≌，≌，≌，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
本题考查的是全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、做题时要由易到难，不重不漏．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，≌，
，，
，
、，
，
在和中，
≌，
故答案为：．
当时，≌，由可得，进而可得，，再结合、可得，可利用判定≌．
本题考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握定理．
 

14.【答案】或 

【解析】解：，
，
，
分两种情况：
当时，
在和中，
，
≌；
当时，
在和中，
，
≌；
综上所述：当点运动到或时，与全等；
故答案为：或．
分两种情况：当时；当时；由证明≌；即可得出结果．
本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．
 

15.【答案】证明：平分，，，
，，
在≌中，，
≌，
，
． 

【解析】由平分，，，得出，，由证得≌，得出，即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图

解：如图，设、的交点为，

平分，，，
，
，，
，
在和中，
，，
≌．
，
又，，
≌，
，，
垂直平分． 

【解析】本题主要考查直角三角形全等的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线等，高线的画法的有关知识．
利用尺规作图过一点作已知直线的垂线方法以为圆心，大于点到直线的距离为半径画弧，交直线两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径在直线另一侧画弧，使两条弧相交作图，连接与弧的交点，交于点，再连接即可；
先利用角平分线的性质得到，证明和全等，得到，接着证明出和全等，利用三线合一，所以垂直平分．
 

17.【答案】解：如图，

证明：是的角平分线，，，
，
在和中，
≌，
，
点在线段的垂直平分线上，
而，
所以点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
即． 

【解析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
利用基本作图，过点作于；
先根据角平分线的性质得到，则可判断≌，所以，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到垂直平分．
 

18.【答案】证明：连接，

，，
，
在和中，
≌，
，
是的中点， 
，
在和中，
≌，
，
，
． 

【解析】本题考查了直角三角形全等三角形的判定及性质，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，求出，，根据分别推出≌、≌，进而求解即可．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；

，，
，
，

≌，
，
．

【解析】本题考查直角三角形全等的判定和性质．

由可得，再由，即可证得结论；
由，可得，即可得到的度数，由≌，即可得到的度数，从而求得结果．

20.【答案】证明：，
．
，，
．
和是直角三角形，而．
≌ 

【解析】根据已知条件，利用直角三角形的特殊判定方法可以证明题目结论．
本题考查了直角三角形全等的判定及性质；主要利用了直角三角形全等的判定方法，也利用了等腰三角形的性质：等角对等边，做题时要综合利用这些知识．