初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试课时练习

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专题10 相似三角形小题重难点题型分类-高分突破（解析版）
题型一：A字模型
1.(师大)如图，，分别是中，边上的点，，下列结论错误的是( )
A. B. C. D.





【解答】解：∵DE∥BC，∴，，，△ADE∽△ABC，
∴．故A，B，C正确，D错误．
故选：D．
2.（北雅）如图，在中，点分别在上，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.2

【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝4，DB＝2，
∴＝＝＝．则的值为．
故选：B．
3.(雅礼)若，若，，，则的长是( )
A. B. C. D.

【解答】解：设EC＝x，∵AC＝6，∴AE＝6﹣x，∵△ABC∽△ADE，∴，
∴，解得：x＝4，
故选：C．
4.(雅礼)如图，小雅同学在利用标杆测量建筑物的高度时，测得标杆高，又知，，则建筑物的高是( )
A. B. C. D.

【解答】解：∵AB＝2m，BC＝16m，∴AB：BC＝1：8，∴AB：AC＝1：9，
∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝＝，∵BE＝1.2，∴CD＝10.8m，
故选：B．
题型二：8字模型
5.(雅礼)如图，在□中，在上，若，则 。

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，
∴，∴．
6.(师大)如图，在平行四边形中，点是延长线上一点，与交于点，若，且，则的长为( )
A. B. C. D.



【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，∴，∵∴，．
故选：A．
7.(明德)如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 .

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝3，AB∥CD，∠ABC＝90°．
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝＝5．
∵E是边AB的中点，∴AE＝AB＝2．∵AB∥CD，∴△CDF∽△AEF，∴＝＝2，
∴CF＝2AF．又∵CF+AF＝AC＝5，∴CF＝×5＝．
8.（明德）如图，△ABC中，DE∥BC，＝，则OE：OB＝（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，又∵＝，∴＝＝，
∵DE∥BC，∴△ODE∽△OCB，∴＝＝，故选：B．
9.(雅礼)如图，，、相交于点，过作交于点，如果，，那么的长等于 .

【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，
故答案为15．
题型三：相似三角形的判定
10.（长语）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）



A. B. C. D.

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和，因为＝，所以A选项中的三角形与△ABC相似．
故选：A．
11.(广益)如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）

A． B．∠B＝∠ADE C． D．∠C＝∠AED
【解答】解：由图得：∠A＝∠A∴当∠B＝∠ADE或∠C＝∠AED或AE：AC＝AD：AB时，△ABC与
△ADE相似；也可AE：AD＝AC：AB．C选项中角A不是成比例的两边的夹角．
故选：C．
12.（稻田中学）如图，下列条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.

【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
13.（明德）如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB
【解答】解：∵∠A是公共角，∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD•AB，即 ＝，也可判定△ABC∽△ACD，
∴选项A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C不能．
故选：C．
题型四：反A模型
14. （师大）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，AB=10，BC=6，过O作OE⊥AB交AC于点E，则OE的长为 .


【解答】解：∵AB是⊙O的直径，且AB＝10，∴AO＝5，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝8，∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，∴∠AOE＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，
∴，∴，∴OE＝．

15.（长语）如图所示，△ABC中，D为△ABC的边AC上一点，若∠ABD＝∠ACB，AD＝3，DC＝1，则AB＝　　.

【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∴＝，
∴AB2＝12，∴AB＝2，
故答案为2.

16.（青竹湖）如图，PA为⊙O的切线，PB与⊙O交于B、C两点，已知PA=6，PB=3,则PC= .

【解答】解：连接AO并延长交⊙O于E，连接BE，AB，∵PA为⊙O的切线，∴∠EAP＝90°，
∴∠EAB+∠PAB＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠EAB＝90°，∴∠E＝∠BAP，∵∠E＝∠C，∴∠C＝∠PAB，∵∠P＝∠P，∴△APB∽△CPA，∴，∴＝，∴PC＝12，
故答案为：12．
题型五：射影定理
17.（青竹湖）如图，在Rt△中， ， 为边上的高，若，，则的长等于__________.

【解答】解：∵AD＝6，BD＝18，∴AB＝AD+BD＝24．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴AC2＝AD•AB＝6×24，∴AC＝12．
故答案是：12．
18.（青竹湖）如图,△ABC中,∠ACB=90∘，CD⊥AB于D. 若BC=4，BD:AD=1:3，则BD的长为（ ）
A.2 B. C. D.3

【解答】解：∵BC=4，BD:AD=1:3，．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴BC2＝BD•AB，∴16＝，∴．
故答案是：A．
19.（长沙2020中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．
（1）+＝　 　．
（2）若PN2＝PM•MN，则＝　 　．

【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ⊥MN，∴∠PQN＝∠MPN＝90°，
∵NE平分∠PNM，∴∠MNE＝∠PNE，∴△PEN∽△QFN，∴，即①，
∵∠PNQ+∠NPQ＝∠PNQ+∠PMQ＝90°，∴∠NPQ＝∠PMQ，∵∠PQN＝∠PQM＝90°，
∴△NPQ∽△PMQ，∴②，∴①×②得，∵QF＝PQ﹣PF，∴＝1﹣，
∴+＝1，故答案为：1；
（2）∵∠PNQ＝∠MNP，∠NQP＝∠NPM，∴△NPQ∽△NMP，∴，∴PN2＝QN•MN，∵PN2＝PM•MN，∴PM＝QN，∴，∵，∴，∴，∴NQ2＝MQ2+MQ•NQ，即，设，则x2+x﹣1＝0，
解得，x＝，或x＝﹣＜0（舍去），


题型六：一线三等角模型
20.（雅礼）如图，点是双曲线上一动点，连接，作，使，当点在双曲线上运动时，点在双曲线上移动，则的值为 .

【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过B作BD⊥y轴于点D，∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，点B在双曲线y＝上移动，∴S△AOC＝×|﹣8|＝4，S△BOD＝|k|，∵OB⊥OA，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，
∴△AOC∽△OBD，∵OA＝2OB，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k|＝2．
∴k＜0，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．

21.（青竹湖）如图，，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点，且轴，过点作，交轴于点，交轴于点，交双曲线于另一点，则的面积为 .

【解答】解：∵反比例函数 的图象过点A（﹣1，a），∴a＝﹣＝4，
∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，
∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，
∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，∴b＝68，
∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，
∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），
∴△OBC的面积＝S△OMN﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，
故答案为510．

22．(广益)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，则CD的长为　　．

【解答】解：在CD上取点F，使∠DEF＝∠ADB，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴AE，∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，∵∠BDA＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF，∴＝，
∵，∴DF＝4，又∵∠CDE+∠C＝45°，∴∠CEF＝∠CDE，∴△CEF∽△CDE，
∴，又∵，∴，∴CF＝1或CF＝5（舍去），∴CD＝CF+4＝5．
故答案为：5．
题型七：位似图形
23.(雅礼)如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.

【解答】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，∵点B的坐标为（﹣1，2），
∴BC＝1，OC＝2，∵△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，∴＝，
∵∠BCO＝∠B1DO＝90°，∠BOC＝∠B1OD，∴△BOC∽△B1OD，
∴OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，∴点B1的坐标为（2，﹣4），
故选：A．
24.(博才)如图，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，若B点坐标为（4，﹣5），则B'的坐标为（　　）

A．（ 2，﹣2.5） B．（﹣2，2.5）
C．（ 2，﹣2.5）或 （﹣2，2.5） D．（ 2，2.5）或 （﹣2，2.5）
【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，若B点坐标为（4，﹣5），
则B'的坐标为（4×，﹣5×）或（﹣4×，5×），即（ 2，﹣2.5）或 （﹣2，2.5），
故选：C．

25．（广益）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是　 　．
【解答】解：∵点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，
∴点E的对应点E′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．

题型八：相似比与周长比、面积比关系
26.(长郡)若△ABC与△DEF相似，且相似比为3，△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　　）
A．54 B．6 C．3 D．2
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3，
∴△DEF的周长＝18×＝6．故选：B．
27.(广益)以三角形三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为 。
【解答】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是．
S△DEF：S△ABC＝．故分别填：；．


28.（青竹湖）如图，在平行四边形中，是的中点，和交于点，若的面积为，则的面积为 ；

【解答】解：如图，设△OEB、△OCD的面积分别为λ、μ；∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC＝AB＝2BE，DC∥BE，∴△OCD∽△OEB，∴＝；∵，μ＝，
∴λ＝4．
故答案为4．

29.(长郡)△ABC中，DE//BC，，△ADE的面积是8，△ABC的面积__________.



【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△ADE的面积是8，
∴△ABC的面积＝18，∴四边形DBCE的面积是10．
故答案为：10．
30.(中培)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为__________.

【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴，∴＝，
故答案为：．
31.(青竹湖)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若△ABC的面积为S△ABC＝36cm2，则梯形EDBC的面积SEDBC为（　　）

A．9 B．18 C．27 D．30
【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴＝
∴S△ADE：S△ABC＝1：4∵S△ABC＝36cm2∴S△ADE＝9cm2∴梯形EDBC的面积SEDBC为：36﹣9＝27cm2
故选：C．