初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试习题

这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试习题，文件包含专题12锐角三角函数重难点题型分类解析版人教版doc、专题12锐角三角函数重难点题型分类原卷版人教版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

专题12 锐角三角函数重难点题型分类-高分突破（解析版）
题型一：求锐角三角函数值
1. （雅礼）如图，中，，，.则的值为( )
A. B. C. D.

【解答】解：∵AB＝25，BC＝7，CA＝24，∴AB2＝252＝625，BC2+CA2＝72+242＝625，
∴AB2＝BC2+CA2，∴∠C＝90°，∴sinA＝＝，故选：A．
2．（模卷三）如图，在菱形中，于点，，则=________。

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵cosA＝，BE＝4，DE⊥AB，
∴设AD＝AB＝5x，AE＝3x，则5x﹣3x＝4，x＝2，即AD＝10，AE＝6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝8，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝2，
故答案为：2．
3. （长郡）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，以为直径的圆经过点、，则的值为（ ）
A． B． C． D．

【解答】解：如图，连接AC、BC．∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．故选：A．
4.（中雅）如图，在△中，，．求的值．

【解答】解：过点C作CD⊥AB，在Rt△CDB中，∵sinB＝＝，设CD＝4x，BC＝5x，则BD＝3x，
∴AD＝10﹣3x，在Rt△CDA中，由勾股定理得，AC2＝AD2+CD2，即102＝（10﹣3x）2+（4x）2，
整理得：25x2﹣60x＝0，解得：x＝2.4或x＝0（舍去），∴CD＝4x＝9.6，在Rt△CDA中，
sinA＝＝＝．
题型二：坡度问题
5．（长郡）某人沿着坡度的山坡向上走了，则他上升的高度为　 　．
【解答】解：如图所示．∵BC：AB＝1：．∴∠A＝30°．∵AC＝300m，∴BC＝300×sin30°＝150（m）．
故答案为：150．

6．（师大）如图，河坝横断面迎水坡AB坡比为1：，坝高BC＝4m，AB长度为（　　）
A．m B．m C．m D．6m

【解答】解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，∴＝，
则AC＝4（m），故AB＝＝＝4（m）．故选：C．
7. （广益）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长是___米.

【解答】解：∵堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1：，∴＝，∴AC＝BC＝6（米）．
故答案为6米．
8. （青一）如图，小明在大楼米高即（米）的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度（即）为，点、、、、在同一个平面上，点、、在同一条直线上，且，则到的距离为 米.

【解答】解：如图作AM⊥BC于M，设AM＝x．∵tan∠ABM＝，∴∠ABM＝30°，
∴AB＝2AM＝2x，∵∠HPB＝30°，∴∠PBH＝90°﹣∠HPB＝60°，∴∠ABP＝180°﹣∠PBH﹣∠ABM＝90°，∴∠BPA＝∠BAP＝45°，∴AB＝BP＝2x，在RT△PBH中，∵sin∠PBH＝，
∴＝，∴x＝10．
故答案为10．
题型三：解直角三角形的应用之用算术方法解直角三角形
9. （广益）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A.米 B.米 C.21米 D.42米
【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42（米）,故选：A．

10．（青一）如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角为，荷塘另一端点与点，在同一直线上，楼房米，米，则荷塘的宽为 米。

【解答】解：由题意知，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝32米，
∵tan∠ABC＝tan30°＝，∴BC＝＝＝32（米），∵CD＝16米，
∴BD＝BC﹣CD＝（32﹣16）（米）．答：荷塘的宽BD为（32﹣16）米，故答案为：（32﹣16）．
11. （雅礼）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小雅同学在南岸处测得对岸处一棵柳树位于北偏东方向，她沿着河岸向东步行米后到达处，此时测得柳树位于北偏东方向，则河面的宽度是 米.

【解答】解：由题意知，∠ABC＝30°，∠ACB＝90°，AC＝32米，
∵tan∠ABC＝tan30°＝，∴BC＝＝＝32（米），∵CD＝16米，
∴BD＝BC﹣CD＝（32﹣16）（米）．答：荷塘的宽BD为（32﹣16）米，故答案为：（32﹣16）．
12. （青一）如图，一架无人机航拍过程中在处测得地面上，两个目标点的俯角分别为和。若，两个目标之间的距离是米，则此时无人机与目标点之间的距离（即的长）为（ ）
A.120米 B.米 C.60米 D.米

【解答】解：易得∠A=∠ACB=，则AB＝BC=120米，所以BE=60米，得CE=60×=60，则AC＝2CE＝120（米）故选：B．
13.某校有一露天舞台,纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB表示楼梯,AE为舞台面,楼梯的坡角∠ABC=45∘,坡长AB=2m,为保障安全,学校决定对该楼梯进行改造,降低坡度,拟修新楼梯AD,使∠ADC=30∘.
(1)求舞台的高AC(结果保留根号)；
(2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树?并说明理由。

【解答】解：（1）已知AB＝2m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（m）
答：舞台的高为m；
（2）∵∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝2（m），CD＝AD•cos30°＝2×＝（m），m＜3m，
故修新楼梯AD时底端D不会触到大树．
14.（广益）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方6米处的点C出发，沿坡度为i＝1：
的斜坡CD前进2米到达点D，在点D处放置测角仪DE，测得旗杆顶部A的仰角为30°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆AB的高度（结果保留整数）．

【解答】解：（1）延长ED交射线BC于点H．由题意得DH⊥BC．在Rt△CDH中，∠DHC＝90°，tan∠DCH＝i＝1：．∴∠DCH＝30°．∴CD＝2DH．∵CD＝2，∴DH＝，CH＝3．答：点D的铅垂高度是米；
（2）过点E作EF⊥AB于F．由题意得，∠AEF即为点E观察点A时的仰角，∴∠AEF＝30°．
∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，∴∠BFE＝∠B＝∠BHE＝90°．∴四边形FBHE为矩形．
∴EF＝BH＝BC+CH＝9．FB＝EH＝ED+DH＝1.5+．在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AF＝EFtan∠AEF＝9×＝3，∴AB＝AF+FB＝3+1.5+＝4+1.5．
答：旗杆AB的高度约为（4+1.5）米．
15．（广益）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为．已知为4米，且、、三点在同一条直线上．
（1）求平房的高度；
（2）请求出古树的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝4m，∠ACB＝30°，∴tan30°＝，∴AB＝m．
（2）在Rt△ACB中，易知AC＝2AB＝m，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠DAC＝60°，
∴CD＝AC＝8，在Rt△CDE中，sin60°＝，∴DE＝4m．
16.如图,已知斜坡AB长为80米,坡角(即∠BAC)为30∘,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角为45∘,求平台DE的长;(结果保留根号)
(2)一座建筑物GH距离A处36米远(即AG为36米),小明在D处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30∘.点B. C. A. G、H在同一个平面内,点C. A. G在同一条直线上,且HG⊥CG,求建筑物GH的高度.(结果保留根号)

【解答】解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角为45°，∴∠BEF＝45°，∵∠DAC＝∠BDF＝30°，AD＝BD＝40，∴BF＝EF＝BD＝20，DF＝，∴DE＝DF﹣EF＝20﹣20，∴平台DE的长为（20﹣20）米；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP＝AD＝×40＝20，PA＝AD•cos30°＝20，
在矩形DPGM中，MG＝DP＝20，DM＝PG＝PA+AG＝20+36．在Rt△DMH中，HM＝DM•tan30°＝（20+36）×＝20+12，则GH＝HM+MG＝20+12+20＝40+12．
答：建筑物GH高为（40+12）米．
17.（2018长沙中考）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建.如图，A、B两地之间有一座山.汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°.
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？

【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×＝40（千米），AC＝＝＝40（千米），
∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．
（2）∵cos30°＝，BC＝80千米，∴BD＝BC•cos30°＝80×＝40（千米），
∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝＝＝40（千米），
∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．
18.（广益）台风是一种自然灾害，有极强的破坏力。据气象观察，距沿海某城市A正南220千米的B处有一台风中心，该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心风力不变，若台风中心的影响范围为以台风中心为圆心，160km为半径的圆形区域，则
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝220，∴（千米），∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160（千米）．∵110＜160，∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．则AE＝AF＝160（千米）．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝60（千米）．
∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．
19.（中雅）如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，，，.
(1)求∠ACB的度数；(2)求线段CB的长度.

【解答】解：（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，∴∠ACB＝75°﹣45°＝30°．
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，
∴BH＝AB•sin45°＝60（m），∵∠BCH＝30°，∴BC＝2BH＝120（m）．
20. （麓山国际）如图，我军的一艘军舰在南海海域巡航，在处时，某岛上的灯塔位于的南偏西方向，距离为20nmile，军舰沿南偏东方向航行一段时间后到达处，此时，灯塔位于的西北方向上．(参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）分别求出和的大小；
（2）求到灯塔的距离．（结果保留1位小数.）

【解答】解：（1）∠PAB＝30°+15°＝45°，∠PBA＝45°﹣15°＝30°；
（2）过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，∵∠PAC＝45°，AP＝20，∴PC＝PA＝10，
在Rt△PCB中，∵∠PBC＝30°，∴PB＝2PC＝20≈28.3海里，
答：B到灯塔P的距离是28.3海里．
21．（长郡）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为．
（1）求新传送带的长度；
（2）如果需要在货物着地点的左侧留出的通道，试判断距离点的货物是否需要挪走，并说明理由．

【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝AB＝4（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝8（m），答：新传送带AC的长度为8m；
（2）在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AC•cos∠ACD＝4（m），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝4（m），∴BC＝CD﹣BD＝（4﹣4）m，∴PC＝BP﹣BC＝4﹣（4﹣4）＝4（m），
∵4＜5，∴货物MNQP需要挪走．
题型四：解直角三角形的应用之用方程方法解直角三角形
22. （青一）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端米的处，测得树顶的仰角为，则树的高度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米

【解答】解：设CE＝x米，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，则AE＝＝x，
在Rt△BCE中，tan∠CBE＝，则BE＝＝x，由题意得，x﹣x＝120，
解得，x＝60，即CE＝60，则AC＝2CE＝120（米）故选：B．
23. （青一）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为
圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为．已知，冬至时
北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的
长）约为（　　）
A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，故选：B．
24.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）

【解答】解如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴∠CBA＝∠BCD，∴BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，∴AC＝2x．由勾股定理得AD＝＝＝x．∵AD+DB＝2.732，
∴x+x＝2，∴x≈0.732．即CD≈0.732＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．
25.如图，海中有一小岛A，在该岛周围40海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45°的B处往东航行20海里后达到该岛南偏西30°的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。

【解答】解：货船继续向东航行不会有触礁的危险，理由：作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
由题意可得，∠DAB＝45°，∠DAC＝30°，BC＝20，∴BD＝AD，CD＝AD•tan30°＝AD，
∴BC＝BD﹣CD＝﹣AD，即20＝x﹣x，解得，x＝10（3+），∵10（3+）＞40，
∴货船继续向东航行不会有触礁的危险．
26.如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45∘，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60∘和30∘，设PQ垂直于AB，且垂足为C.
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，）.

【解答】解：延长PQ交直线AB于点C，（1）∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PC＝x米．在直角△APC中，∠PAC＝45°，则AC＝PC＝x米；∵∠PBC＝60°，
∴∠BPC＝30°．在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，∵AB＝AC﹣BC＝10（米），
∴x﹣x＝10，解得：x＝15+5．则BC＝（5+5）米．
在直角△BCQ中，QC＝BC＝（5+5）＝（5+）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝15+5﹣（5+）＝10+≈15.8（米）．
答：树PQ的高度约为15.8米．

27．（广益）如图，某中学依山而建，校门处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点4米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点。
（1）求坡顶B的高度；
（2）求楼顶C的高度CD。

【解答】解：（1）过点B作BM⊥AD，过点E作EN⊥AD，∵i＝5：12，∴，
∵AB＝13米，设BM＝5a（米），AM＝12a（米），∴（5a）2+（12a）2＝132，∴a＝1，∴BM＝DF＝5米，
则坡顶B的高度是5米；
（2）设EF为x米，则BF＝（4+x）米，∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF＝（4+x）米，∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，解得x＝2+2，∴CF＝（6+2）米，∴CD＝CF+FD＝（11+2）米，
答：DC的长度为（11+2）米．
28.如图,在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站,A在B的正东方向,AB=0(单位：km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60∘的方向,从B测得小船在北偏东45∘的方向。
(1)求点P到海岸线l的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到点C处,此时,从B测得小船在北偏西15∘的方向。求点C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号)

【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝xkm．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝PD＝xkm．∵BD+AD＝AB，∴x+x＝2，x＝﹣1，∴点P到海岸线l的距离为（﹣1）km；
（2） 如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC＝105°，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，
∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝1km．在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝45°．
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝BF＝km，∴点C与点B之间的距离为km．
题型五：解直角三角形的应用之不含特殊角的直角三角形
29.如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）

【解答】解：在Rt△ACD中，tan∠ADC＝tan64°＝＝2，CD＝①．
在Rt△ABE中tan∠AEB＝tan53°＝＝，BE＝AB②．
BE＝CD，得＝＝＝AB，解得AB＝70cm，
AC＝AB+BC＝AB+DE＝70+35＝105cm．
30.（广益）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务，如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长.
(参考数据：，，，，，)

【解答】解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，
在直角三角形ACD中，CD＝AC•cos∠ACD＝27.2海里，
在直角三角形BCD中，BD＝CD•tan∠BCD＝20.4海里．
答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．
31.为响应国家的“节能减排”政策,某厂家开发了一种新型的电动车,如图,它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22∘和31∘,AT⊥MN,垂足为T,大灯照亮地面的宽度BC的长为m.
(1)求BT的长(不考虑其他因素).
(2)一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s,从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离。某人以20km/h的速度驾驶该车,从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是m,请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求(大灯与前轮前端间水平距离忽略不计)，并说明理由。
(参考数据：sin22∘≈,tan22∘≈,sin31∘≈,tan31∘≈)

【解答】解：（1）根据题意及图知：∠ACT＝31°，∠ABT＝22°，∵AT⊥MN∴∠ATC＝90°，
在Rt△ACT中，∠ACT＝31°，∴tan31°＝可设AT＝3x米，则CT＝5x米，在Rt△ABT中，∠ABT＝22°，∴tan22°＝，即：，解得：，∴（m），
∴；（2），，∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．