知识点35 与圆的有关计算2018--2

这是一份知识点35 与圆的有关计算2018--2，共31页。
一、选择题
1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，7，3分） 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
　 A．120° B．180° C．240° D．300°
【答案】B
【解析】首先设出母线长与底面半径，根据题意得出圆锥侧面积等于底面圆的面积的2倍，得出母线与底面圆的半径关系，再利用弧长公式求出即可．
设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．
∵底面周长为2πr，底面面积为πr2，侧面积为πrR＝2πr2．
∴R＝2r．
∵圆锥底面周长为2πr，
∴2πr＝．
∴．
故选B．
【知识点】圆锥的有关计算


2. （2018辽宁省沈阳市，10，2分）如图，正方形ABCD内接于，AB＝，则的长是（ ）
第10题图
A.π B.π C.2π D.π
【答案】A
【解析】如图，连接AC，BD，可知AO=BO=r，∵AB＝，，即.解得r=2.∴的长为==π.故选A.
【知识点】正方形的性质；圆的性质；勾股定理.；圆的弧长公式．


3. （2018山西省，10题，3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O, ⊙O的半径为2。以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E.交AD的延长线于点F.则图中阴影部分的面积是( )
A．4π-4 B．4π-8 C． 8π-4 D．8π-8

【答案】A
【解析】根据对称，阴影面积可以转化为，图（2），则S阴影=S扇形-S∆ABD
∵ S扇形=nπr2360=90π42360=4π
∵S∆ABD=12BD∙AO=12×4×2=4
∴S阴影=4π-4


【知识点】扇形面积、三角形面积


4. （2018内蒙古包头，7，3分）如图2，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是 ( )
A. B. C. D.

【答案】A
【解析】作AM⊥BC于点M，
∵∠ABC＝30°
∴AM＝AB＝1

故选择A.

【知识点】扇形面积的计算；三角形面积的计算；含有30°角的直角三角形的性质

5. （2018内蒙古通辽，5，3分）如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是

A．18π B．24π C．27π D．42π
【答案】C
【解析】这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为6，底面圆的直径为6，所以这个几何体的全面积＝×6π×6＋π×32＝18π＋9π＝27π．故选C．

6.（2018广西南宁，10，3）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，AB＝2，则莱洛三角形（即阴影部分面积）为（ ）
A．p+ B．p－ C．2p－ D．2p－2

【答案】D，【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积，即S阴影＝3×S扇形－2S△ABC．
由题意的，S扇形＝p×22× ＝p．要求等边三角形ABC的面积需要先求高．如图，过A作AD⊥BC于点D，可知，在Rt△ABD中，sin60°＝ ＝，∴AD＝2×sin60°＝ ，∴S△ABC＝×BC×AD＝×2×＝．∴S阴影＝3×S扇形－2S△ABC＝3×p－2×＝2p－2．


7. （2018湖北十堰，9，3分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝12，C是OB的中点，CD⊥OA交于点D，以OC为半径的交OB于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π＋18 B．12π＋36 C．6π＋18 D．6π＋36

【答案】A
【解析】如图，连接OD，AD，

∵点C为OA的中点，∴OC＝OA＝OD，
∵CD⊥OA，∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，
∴△ADO为等边三角形，OD＝OA＝12，OC＝CA＝6，
∴CD＝＝＝6，
∴S扇形AOD＝＝24π，
∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－（S扇形AOD－S△COD）＝ －－（24π－×6×6）＝12π+18．
故选A．

8. （2018辽宁省抚顺市，题号8，分值3）如图，AB是O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是
A. B. C.π D.2π

【答案】B
【解析】由圆周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=60°.∵半径OA=2，阴影部分为扇形，∴=.故选B
【知识点】扇形面积的计算，圆周角定理.


9.（2018·宁夏，6，3）用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 （ ）
A．10 B．20 C．10π D．20π
【答案】A．
【解析】设这个圆锥的底面半径是为r，根据题意，得，解得r＝10，故选A．
【知识点】圆的有关计算；扇形


二、填空题
1. （2018广东省，15，3）如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 .（结果保留π）

题15图
【答案】π
【解析】连接OE，易证四边形ABEO为正方形，则扇形OED的圆.心角为90°，半径为2，因此可求扇形OED的面积，阴影面积看成正方形ABEO+扇形OED-三角形ABD，正方形ABEO和三角形ABD面积均可求，即可求得阴影部分.
【知识点】正方形的判定；扇形面积；转化的数学思想

2. （2018黑龙江省龙东地区，7，3分） 用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为________．
【答案】
【解析】扇形的弧长为＝2π，∴该圆锥的底面圆半径为1，∴圆锥的高为＝．
【知识点】圆锥的侧面展开图；弧长公式；勾股定理；圆的周长公式

3. （2018山东省东营市，16，3分）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 .
【答案】20
【思路分析】将圆锥体侧面展开，得到一个扇形，利用扇形的面积公式可求出侧面积。
16题解答图

【解题过程】解;由题意知,扇形的母线长SB=,再根据圆锥侧面开图的扇形的半径就是母线长，弧长就是底面圆的周长，所以==20。


16．（2018山东省东营市，16，3分）已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 .
【答案】20
【思路分析】将圆锥体侧面展开，得到一个扇形，利用扇形的面积公式可求出侧面积。
16题解答图

【解题过程】解;由题意知,扇形的母线长SB=,再根据圆锥侧面开图的扇形的半径就是母线长，弧长就是底面圆的周长，所以==20。
【知识点】圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式。

4. （2018四川乐山，15，3）如图7，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA=2，AC=1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O＇AC＇，使得点O＇的坐标是（1，），则在旋转的过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为 .

图7
【答案】
【解析】本题考查的是图形的旋转，通过旋转后O的坐标确定旋转角度，再利用割补法确定阴影部分的面积.
解：如下图，过点O＇作O＇H⊥x轴于点H，∵点O＇的坐标是（1，），∴OH=1，O＇H=，又∵AO=AO＇=2，∴∠HAO＇=60°，即旋转∠OAO＇=∠CAC＇=60°，根据旋转性质可知，△OAC≌△O＇AC＇，所以△OAC的面积与△O＇AC＇的面积相等，∴S阴影部分=S扇形OAO＇+S△O＇C＇A-S△OCA-S扇形CAC＇= S扇形OAO＇- S扇形CAC＇==，故答案为.

【知识点】旋转的性质；扇形的面积公式

5. (2018甘肃省兰州市,15,4分) 如图,△ABC的外接圆O的半径为3,∠C=55°,则劣弧AB的长是 .
O
第15题图
A
C
B

【答案】
【解析】因为∠C=55°,所以∠AOB=110°,所以弧AB==｡
【知识点】圆周角 圆心角 弧长计算

6.（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号12，分值3）已知圆锥的底面半径为20，侧面积为400π，则这个圆锥的母线长为________.
【答案】20
【解析】设这个圆锥的母线长为r，由圆锥的特点可知，底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，则，由侧面积公式，得，∴÷=，解得r=20,故答案为20.
【知识点】弧长和扇形面积的计算，圆锥的特点..

7. （2018江苏扬州，13，3）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
【答案】
【思路分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【解题过程】设圆锥的底面圆半径为r，由题意，得：，解得r=cm．故答案为．
【知识点】圆的有关计算，圆锥；

8. （2018青海，11，2分）如图6，用一个半径为20cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的图锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r为 cm.

图4 图5 图6

【答案】7.5
【解析】∵圆锥的侧面积等于扇形铁皮的面积,∴πr×20=150π,∴r=7.5
【知识点】圆锥的侧面积

9.（2018广西贵港，17，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′ 恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）

【答案】4π
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，因此∠ABA′＝120°，经过割补，不难发现：阴影的面积＝大扇形的面积－小扇形的面积＝＝4π，故应填：4π．

10. （2018江苏常州，16，2）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O的半径是_______．

【答案】2； 【解析】连接OB、OC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，弧BC的长为，设半径为r，得，解得r=2.即半径为2.


11. （2018江苏苏州，16，3分）如图，8×8的正方形网格纸上有扇形OAB和扇形OCD，点O，A，B，C，D均在格点上．若用扇形OAB围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r1；若用扇形OCD围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为r2，则的值为 ．

【答案】
【解析】 本题解答时要注意圆锥展开图是扇形，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长.
，，∴ ， ∵AB∥CD，∴，∴


12. （2018江苏徐州，16，3分）如图，扇形的半径为6，圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的底面半径为 .
【答案】2


13. （2018江苏徐州，18，3分）如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点.P为上一动点，延长BP至点Q，使BP•BQ＝AB2.若点P由A运动到C，则点Q的运动路径长为 .


【答案】4

14. （2018江苏镇江，7，2分）圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于，则它的母线长为________．
【答案】3．
【解析】根据圆锥的侧面积公式S侧＝，得＝，解得＝3．

15. （2018云南省昆明市，6，3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和π）．

【答案】．
【思路分析】S阴影＝S正六边形ABCDEF－S扇形BAF，求出正六边形ABCDEF的面积和扇形BAF的面积即可．
【解题过程】如图，设正六边形ABCDEF的中心为点O，则∠CDE＝∠BAF＝＝120°，过点O作OG⊥DE于G，则在Rt△ODG中，∵∠ODG＝∠CDE＝60°，DG＝DE＝，∴OG＝＝，∴S△ODG＝DG·OG＝××＝，∴S阴影＝S正六边形ABCDEF－S扇形BAF＝12S△ODG－S扇形BAF＝12×－＝．
【知识点】多边形内角和公式；扇形面积公式；三角形面积公式；特殊角的三角函数值的应用

16.(2018黑龙江大庆，17，3) 17. 如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将Rt△ABC绕
点A逆时针旋转30°后得到RtΔADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为____________.

【答案】，【解析】先根据勾股定理得到AB＝2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD＝．

17. （2018黑龙江哈尔滨，18，3）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π cm，则此扇形的面积是_________________cm2．
【答案】6π，【解析】弧长公式求得r＝4，S扇＝lr＝×3π ×4＝6π

18. （2018湖北恩施州，15，3分）在Rt△ABC中，AB＝1，∠A＝60°，∠ABC＝90°，如图5所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积为_________．（结果不取近似值∙∙∙∙∙ ）

【答案】 【解析】 在Rt△ABC中，AB＝1，∠A ＝60°∴BC＝，∠ACB′＝150°，
∠B′A′E＝1200，第一次滚动的路径为 ，根据扇形面积公式，第二次滚动之半径为1，故扇形面积；△ABC的面积为，所以总面积为＝．


19.（2018四川眉山，16，3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．

【答案】，【解析】S阴＝S扇ABB`＋S△AC`B`－S扇ACC`－S△ABC＝ S扇ABB`－S扇ACC`
＝

20. （2018云南曲靖，14，3分）如图，图像①②③均是以P0为圆心，1个单位长度为半径的扇形，将图形①②③分别沿东北、正南、西北方向同时平移，每次移动一个单位长度；第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1、P2、P3，第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4、P5、P6，…………，依此规律，＝____________个单位长度.
【答案】673
【解析】2018÷3＝672………2，第672次平移得到的扇形的圆心依次是P2014、P2015、P2016，因此第673次平移得到的三个扇形的圆心依次是P2017、P2018、P2019，所以点P0到P2018的距离673．


三、解答题
1. （2018黑龙江省龙东地区，22，6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．
（1）画△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．

【思路分析】先按要求作图，再分析线段BC扫过的面积．将BC扫过的面积如答图1和答图2进行转化，在答图1中，S阴影＝＝，在答图2中，S阴影＝＝，由此可以得到结论：一条线段绕一点旋转，其扫过的面积等于一个扇环的面积．进一步地，可以得到一个解法：求一条线段绕一点旋转后扫过的面积，就是求一个扇环的面积，而求一个扇环的面积，就是用较大的扇形的面积减去较小的扇形的面积．
【解题过程】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的三角形；
（3）∵OC＝＝，OB＝＝，
∴S＝＝2π．


答图1 答图2
【知识点】轴对称作图；旋转作图；扇形的面积公式

2. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号20，分值8）如图，以△ABC的边AB为直径画O，交AC于点D，半径OE//BD，连接BE，DE，BD，设 BE 交 AC 于点 F，若∠DEB = ∠DBC .
(1)求证：BC是O的切线；
(2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.


【思路分析】（1）由直径AB可得出∠ADB=90°，进而得出∠A+∠ADB=90°，再由“同弧所对应的圆周角相等”得出∠A=∠DEB，进而得出∠A=∠DBC，即∠DBC+∠ABD=90°，最后得出结论；
（2）先由等腰三角形的性质得出∠CBD=∠FBD，再由平行线的性质和“等边对等角”得出∠OEB=∠OBE=∠CBD=30°，即∠C=60°，然后由tan60°=得出AB=，即半径为，最后利用阴影部分面积为计算出结果.
【解题过程】（1）证明：∵AB是O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠A+∠ADB=90°.
∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC，
∴∠A=∠DBC.
∴∠DBC+∠ABD=90°.
∴BC是O的切线.
（2）解：∵BF=BC=2,且∠ADB=90°，
∴∠CBD=∠FBD.
又∵OE∥BD，
∴∠FBD=∠OEB.
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE.
∴∠OEB=∠OBE=∠CBD=∠ADB=30°.
∴∠C=60°.
∵AB⊥BC，
∴在Rt△ABC中，AB=tanC·BC=，即O的半径为.
连接OD，
∴阴影部分的面积为=.
【知识点】圆的性质，切线的判定及性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，扇形面积的计算，平行线的性质.

3. （2018黑龙江绥化，22，6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标为A（-4,1），B(-1，-1)，C（-3,3）.（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
（1）将△ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得出△A1B1C1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1），画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕着坐标原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2（点A1、B1、C1的对应点分别为点A2、B2、C2），画出旋转后的△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1在旋转过程中，点C1旋转到点C2所经过的路径的长.（结果用含π的式子表示）

【思路分析】（1）根据平移的性质得出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1即可；
（2） 根据旋转的性质可得出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，连接A2、B2、C2即可；
（3） 根据弧长公式计算即可.
【解题过程】解：（1）画出平移后的图形.
（2）画出旋转后的图形.

（3）连接OC1、OC2.
∵C1（1,5），
根据勾股定理得OC1=，
∴旋转过程中，点C1旋转到点C2所经过的路径长为：.
【知识点】利用平移变换作图，利用旋转变换作图，弧长计算公式

4. （2018吉林省，20, 7分）如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．
（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
（2）所画图形是　 　对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留π）．

【思路分析】（1）利用旋转变换的性质画出图象即可；
（2）根据轴对称图形的定义即可判断；
（3）利用弧长公式计算即可；
【解题过程】解：（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：

（2）观察图象可知图象是轴对称图形，
故答案为轴对称．
（3）周长=．
【知识点】旋转变换作图，弧长公式、轴对称图形
5. （2018江苏扬州，25，10）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．

【思路分析】（1）过O作AC垂线OH，垂足为H，证明OH=OE即可；
（2）根据“S△AEO﹣S扇形EOF=S阴影”进行计算即可；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为33，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．
【解题过程】（1）1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，∴AO=2OF=3，
而OE=3，∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，∴AE=3OE=33，
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=12×3×33﹣60⋅π⋅32360=93-3π2；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF=PF′，∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′=OF=OE，∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，∴∠F′=∠EAF′，∴EF′=EA=33，即PE+PF最小值为33，
在Rt△OPF′中，OP=33OF′=3，在Rt△ABO中，OB=33OA=33×6=23，
∴BP=23﹣3=3，即当PE+PF取最小值时，BP的长为3．

【知识点】圆的切线的判定，不规则图形的面积计算，最短路径问题
6.（2018•徐州，25，8分）如图，AB为⊙O的直径，点Ｃ在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点Ｄ，∠Ｃ＝90°．
（1）CD与⊙O有怎么的位置关系？请说明理由；
（２）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．

【解答过程】解：（1）连接OD，则OD＝OB，
∴∠2＝∠3，
∵BD平分∠ABC，
∴∠2＝∠1，
∴∠1＝∠3，
∴OD∥BC，

∵∠C＝90°，
∴BC⊥CD，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵∠CDB＝60°，∠C＝90°，
∴∠2＝∠1＝∠3＝30°，
∴∠AOD＝∠2＋∠3＝30°＋30°＝60°，
∵AB＝6，
∴OA＝3，
∴．

7. （2018贵州贵阳，23，10分）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM.
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长.

【思路分析】（1）由M是△OPE的内心，求出∠MOP+∠MPO＝(∠EOP＋∠EPO)再根据三角形内角和定了求出结果；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长是过点O、M、C三点圆的⊙O1的劣弧OC，连接CM，如图所示，可证△OAM≌△OBN. ∠EMO＝∠MOP＝135°，则∠E＝45゜，∠CO1O＝90゜，于是劣弧OC的长为半径为2，圆心角为90゜弧长，同理当可以求出再扇形AOC中的路径与劣弧OC相等.
【解析】（1）∵△OPE的内心为M，∴∠MOP＝，∠MPO＝EPO.
∵PE⊥OC，∴∠PEO＝90゜，∠EOP+∠EPO＝90゜.
∴∠MOP+∠MPO ＝(∠EOP+∠EPO)＝×90゜＝45゜.
∴∠OMP＝180゜－45゜＝135゜.
(2)如图所示，连接CM.∵CM＝OM， ∠COP＝∠POM，CO＝PO∴△COM≌△POM.
∠CMO＝∠POM＝135゜.点M的运动轨迹是两个弧CMO，设弧弧CMO的圆心为O1，因为∠CMO ＝135゜，所以弦CO所对的劣弧的圆周角为45゜，所以∠CO1O ＝90゜，

在Rt△CO1O中，CO1＝sin45°×OC＝×2＝.
当点P在半圆上从点B运动到点C时，内心M所经过的路径为⊙O1的劣弧OC.
∴弧OC＝.
同理，当点P在半圆上从点C运动到点A时，内心M所经过的路径为⊙O2对应的劣弧OC.
与⊙O1的劣弧OC长度相等.
因此，当点P在半圆上从点B运动到点A时，内心M所经过的路径长为＋.

8. (2018黑龙江大庆，27，9) 如图AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O，B重合)，作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.
（1）求证：AC平分∠FAB；
（2）求证：BC²＝CE•CP；
（3）当AB＝4且＝时，求劣弧BD的长度.

【思路分析】（1）证出CD∥AF后结论易得.
（2）BC²＝CE•CP拆分后很容易看出是△BCE∽△PCB的对应边.
（3）半径已知，所以利用三角函数求出∠BOD的度数就可得出结论.
【解答过程】（1）∵CP为切线∴OC⊥FP∴∠OCP＝90°又∵AF⊥PC∴∠F＝∠OCP＝90°
∴OF∥AF∴∠FAC＝∠OCA∵OA＝OC∴∠OAC＝∠OCA∴∠FAC＝∠OAC∴AC平分∠FAB
（2）∵AB、CD为直径∴∠ACB＝∠DBC＝90°∴∠CAB＋∠CBE＝90°∵∠OCP＝90°∴∠D＋∠P＝90°
∵∠CAB＝∠D∴∠CBE＝∠P∵CE⊥AB∴∠CEB＝90°又∵∠CBD＋∠CBP＝180°∴∠CBP＝∠CEB＝90°∴△BCE∽△PCB∴∴BC²＝CE•CP
（3）∵∠FAC＝∠OAC，∠CAB＝∠D∴∠FAC＝∠D又∵∠F＝∠OCP＝90°∴△AFC∽△DCP∴又∵＝∴设AC＝3a，那么DP＝4a∵∠AOC＝∠BOD∴AC＝BD＝3a∴BP＝a∵OC＝OB
∴∠DCB＝∠CBE又∵∠CBE＝∠P∴∠DCB＝∠P∵∠CBD＝∠CBP＝90°∴△DBC∽△CBP∴∴BC²＝DB•BP∴BC²＝3a•a＝3a2解得BC＝a，BC＝－a(舍去)在Rt△DCB中tan∠DCB＝
∴tan∠DCB＝＝，∴∠DCB＝60°∴∠DOB＝120°∴弧BD长＝＝π

9.（2018云南曲靖，22）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D．恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB＝∠ADC，（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝，求四边形OCDB的面积.

【思路分析】（1）通过证明三角形全等，证明直线到圆心距离等于半径.（2）判断四边形为特殊的平行四边形，菱形，结合菱形的面积计算方法求解，这里的菱形是两个等边三角形组合而成，因此面积计算可以运用等边三角形面积的2倍求值.
【解答过程】（1）过点O作OM⊥PM，连接OD．交BC于点E，由于点D为中点，且沿BC折叠与O重合，所以OD．垂直平分BC，OE＝OD＝OB，所以∠OBC＝30°，可以证明△PHO≌△PCO，所以OH＝OC，直线PM到圆心的距离等于半径，因此PM是⊙O的切线.

（2）由于D是中点，且沿BC折叠与点O重合，所以OB＝DB，OC＝OC，又因为OC＝OB，所以OC＝CD＝DB＝BO，所以四边形OCDB是菱形，由（1）得出∠CPO＝30°，
所以OC＝PC×tan30°＝×＝1，△COD是等边三角形，则四边形OCDB的面积为
2××1×（1×）＝，因此四边形OCDB的面积为.

10. （2018云南，22，9分）
如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积．
（第22题图）

【思路分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD．（2）先计算出扇形OAC的面积以及△OAC的面积，再利用S阴影＝S扇形OAC－S△OAC求解．
【解答过程】（1）证明：如答图所示，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∴∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD．
∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°．
∴OC⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．
（第22题答图）

（2）∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠BOC＝60°，OD＝2OC．
∴∠AOC＝120°，∠A＝30°．
设⊙O的半径为，则OB＝OC＝．
∴＝．
解得＝2．
过点O作OE⊥AC，垂足为点E，则AE＝CE
在Rt△OEA中，OE＝OA＝1，AE＝＝＝．
∴AC＝．
∴S阴影＝S扇形OAC－S△OAC＝＝．