知识点14 一元二次方程的几何应用2018

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二、填空题1. （2018年黔三州，16,3）三角形的两边长分别是3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的解，此三角形的周长是          .【答案】13【解析】∵解一元二次方程x2-6x+8=0的解为x1=2,x2=4,当三角形第三边取2时，由于2+3<6，故不处理；当三角形第三边取4时，由于4+3>6，能够组成三角形，故不成立；∴此三角形的周长为4+3+6=13.【知识点】三角形三边关系，解一元二次方程 2. （2018四川巴中，16，3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的解，则此三角形的周长是          .【答案】13.【解析】解x2－6x＋8＝0得x1＝2，x2＝4.根据三角形三边关系，x1＋3＜6，2不能为三角形的第三边，x2＝4为三角形的第三边，∴此三角形的周长＝3＋4＋6＝13. 1. （2018湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为__________【答案】16【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3<x<6+3，即3<x<9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系 2. （2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________．【答案】2，2，－　【解析】∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x，①当P在AD边上时，如解图①，∵AD＝6，∴AP＋PD＝6，∴x＋2x＝6即x＝2，∴AP＝2②当P在DC上时，如解图②在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP，             第12题解图①         第12题解图②③当P在BC边上时，如解图③，DP最大为6，AP最小为6，PD≠2AP，④当P在AB上时，如解图④，在Rt△ADP中，AP2＋AD2＝PD2，∴x2＋62＝(2x)2，解得x1＝2，x2＝－2(舍)，∴AP＝2；                     第12题解图③      第12题解图④       第12题解图⑤      第12题解图⑥⑤当P在AC对角线上时，如解图⑤，在Rt△ADC中，AC＝＝6，∴AO＝AC＝3，在Rt△PDO中，PO＝3－x，PD＝2x，DO＝AO＝3，∴PD2＝PO2＋DO2，(2x)2＝(3)2＋(3－x)2，解得x1＝－，x2＝－－(舍)，∴AP＝－； ⑥当P在DB对角线上时，如解图⑥，在Rt△APO中，AP2＝AO2＋PO2，∴x2＝(2x－3)2＋(3)2，整理得：x2－4x＋12＝0，∴(－4)2－4×1×12＝－16＜0，∴方程无解，综上所述：AP＝2或2或－ 【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理 3. （2018浙江省台州市，16，5分）  如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为          ．【答案】【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF，一是可以得到ΔBCG是直角三角形，二是可以得到ΔBCG的面积，进而求出；利用勾股定理可以求出，这样就可以求出，因而ΔBCG的周长就可以表示出来了.【解题过程】∵在正方形ABCD中，AB=3，            ∴，            ∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，            ∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3，            ∴，            ∵四边形ABCD是正方形，            ∴BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°            ∵CE=DF,            ∴ΔBCE≌CDF(SAS)           ∴∠CBE=∠DCF,∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°，ΔBCG是直角三角形易知，∴，∴，根据勾股定理：，即            ∴，            ∴，            ∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC= 【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；  三、解答题1. （2018山东省东营市，23，9分） 关于的方程有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角。（1）求的值。（2）若关于的方程的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长。【思路分析】(1)利用根的判别式求可求出的值.【解题过程】解:(1)∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△=25sin2A-16=0     ∴sin2A=，∴sinA=∵∠A为锐角，∴sinA=（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2-4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100﹣4（k2-4k+29）≥0，∴﹣（k-2）2≥0，∴（k-2）2≤0，又∵（k-2）2≥0，∴k=2．把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，解得y1=y2=5， ∴△=25sin2A-16=0     ∴sin2A=，∴sinA=∵∠A为锐角，∴sinA=（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2-4k+29=0有两个实数根，则△≥0，∴100﹣4（k2-4k+29）≥0，∴﹣（k-2）2≥0，∴（k-2）2≤0，又∵（k-2）2≥0，∴k=2．把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形,且腰长为5. 分两种情况：①   ∠A是顶角时:如图，过点B作BD⊥AC于点D, 在Rt△ABD中，AB=AC=5 ∵sinA=, ∴AD=3 ，BD=4∴DC=2, ∴BC=. ∴△ABC的周长为. ②   ∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D, 在Rt△ABD中，AB=5 ∵sinA=, ∴A D =DC =3, ∴AC=6.∴△ABC的周长为16. 综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16。 【知识点】根的判别式，三角函数，非负数性质，三角形周长，分类讨论数学思想。 2. （2018黑龙江绥化，25，6分） 已知关于x的一元二次方程有实数根.（1）求m的取值范围；（2）当时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径.【思路分析】（1）根据一元二次方程的判别式即可得出m的范围；（2）将代入方程中，利用根与系数的关系得出，进而得出该矩形对角线长，进而得出该矩形外接圆的直径.【解题过程】解：（1）∵方程有实数根，∴△=(-5)2-4×2m≥0，∴m≤，∴当m≤时，原方程有实数根.（2）当m=时，原方程可化为x2-5x+5=0，设方程的两个根分别为、，则，∴该矩形对角线长为：，∴该矩形外接圆的直径是.【知识点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理，圆内接矩形 3. （2018江苏苏州，28，10分）如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上．小明从点A出发，沿公路l向两走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE＝x米（其中x＞0），GA＝y米．已知y与x之间的函数关系如图②所示．  （1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；  （2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由． 【思路分析】 本题考查一次函数的性质以及动点问题中等腰三角形存在性质的探究.（1）利用待定系数法坟出y与x之间的函数关系式；（2）用含x的代数式来表示AE，AG，GD的长度，然后分EF=FG，FG=EG，EF=EG来进行讨论，利用勾股定理和相似三角形和性质来求x.【解答过程】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y＝kx＋b．∵M，N两点的坐标分别为(30，230)，(100，300)，∴，解这个方程组，得．∴线段MN所在直线的函数表达式为y＝x＋200．（2）①第一种情况：考虑FE＝FG是否成立，连接EC．∵AE＝x，AD＝100，GA＝x＋200，∴ED＝GD＝x＋100．又∵CD⊥EG，∴CE＝CG，∴∠CGE＝∠CEG，∴∠FEG＞∠CGE．∴FE≠FG．②第二种情况：考虑FG＝EG是否成立，∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥EG，∴△FBC≌△FEG．假设FG＝EG成立，则FC＝BC亦成立．∴FC＝BC＝100．∵AE＝x，GA＝x＋200，∴FG＝EG＝AE＋GA＝2x＋200，∴CG＝FG－FC＝2x＋200－100＝2x＋100．在Rt△CDG中，CD＝100，GD＝x＋100，CG＝2x＋100，∴1002＋(x＋100)2＝(2x＋100)2，解这个方程，得x1＝－100，x2＝．∵x＞0，∴x＝．③第三种情况：考虑EF＝EG是否成立．与②同理，假设EF＝EG成立，则FB＝BC亦成立．∴BE＝EF－FB＝2x＋200－100＝2x＋100．在Rt△ABE中，AE＝x，AB＝100，BE＝2x＋100，∴1002＋x2＝(2x＋100)2，解这个方程，得x1＝0，x2＝－（不合题意，均舍去）．综上所述，当x＝时，△EFG是一个等腰三角形．1. （2018浙江杭州，21，10分） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD。（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数；（2）设BC=，AC=①线段AD的长度是方程的一个根吗？说明理由；②若AD=EC，求的值。【思路分析】（1）先求∠B,再根据等腰三角形知识求∠BCD，在用直角求出∠ACD；（2）根据勾股定理表示出AB，表再示出AD，根据一元二次方程的解表示出的解进行对比；由AD=AE,则可得AD=，从而可列方程求解出比值【解题过程】【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换1. （2018湖北鄂州，20，8分）已知关于x的方程．（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且，求k值及该菱形的面积．【思路分析】（1）只需证明根的判别式△≥0，即可证得无论k为何值，原方程都有实数根；（2）利用韦达定理求出k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积．【解析】解：（1）证明：由题意可知，a＝1，b＝－（3k＋3），c＝，△＝b2－4ac＝，∵≥0，∴△≥0，∴无论k为何值，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可知，， ，化简得，，解得k＝2或－7，∵x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1＋x2＝3k＋3，∴3k＋3＞0，∴k＝－7舍去，k＝2，∴该菱形的面积为＝9．【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判别式；菱形的性质；菱形的面积公式  2. （2018湖北宜昌，21，8分）如图，在中，. 以为直径的半圆交于点，交于点.延长至点，使,连接.(1)求证:四边形是菱形；(2) 若，求半圆和菱形的面积. (第21题图)      【思路分析】(1)先由，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到，证明四边形是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形是菱形.(2)    设，则，连接，在Rt△BDA中，,在Rt△BDA中，,∴,从而建立方程，求出x的值，并求出BD的值，求出半圆和菱形的面积.【解析】(1)证明：为半圆的直径，,,,又,∴四边形是平行四边形.又,（或，）∴平行四边形是菱形.(3)    解：连接，∵,设，则， (第21题第2问答图)      ∵为半圆的直径，,在Rt△BDA中，,在Rt△BDA中，,或（舍去）,【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式.